1、线性代数自考题-15 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：42，分数：100.00)1.设 （分数：3.00）2.设矩阵 A、B、C 满足方程 AX+B=3C，其中 （分数：3.00）3.设矩阵 （分数：3.00）4. （分数：3.00）5.设矩阵 （分数：3.00）6.已知 （分数：3.00）7.设矩阵 （分数：3.00）8.设 （分数：3.00）9.设矩阵 （分数：3.00）10.设矩阵 （分数：3.00）11.设矩阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，B=(b 1 ，b 2 ，b 3 )并且 （分数：3.00）12.已知 A 21 =(3，2)，
2、A 22 =(5，1)，又 （分数：3.00）13.设 A，B 都为 n 阶对称矩阵，则 AB 也为对称矩阵的充要条件为 1 （分数：3.00）14.设 A，B 都是三阶矩阵，且|A|=2，B=-2E，则|A -1 B|= 1 （分数：3.00）15.设三阶方阵 A 的行列式 （分数：3.00）16.设 A 是 n 阶方阵(n2)，|A|=-2，则|A 2 |= 1 （分数：3.00）17.设 A 为 n 阶方阵且|A|=3，则|(3A T ) -1 |= 1 （分数：2.00）18.设三阶方阵 A 的行列式|A|=-3，则|-2A|= 1 （分数：2.00）19.设 A、B 均为三阶矩阵，|
3、A|=3，|B|=-2，则|-2A T B -1 |= 1 （分数：2.00）20.设 （分数：2.00）21.设 A，B 为 n 阶方阵，且 AB=E，A -1 B=B -1 A=E，则 A 2 +B 2 = 1 （分数：2.00）22.设 A 2 -3A+2E=0，则 A -1 = 1 （分数：2.00）23.设 （分数：2.00）24.若 （分数：2.00）25.设 （分数：2.00）26.已知 A 是三阶矩阵，|A|=2， （分数：2.00）27.设 （分数：2.00）28. （分数：2.00）29.设 A，B 均为三阶矩阵，I 是三阶单位矩阵，已知 （分数：2.00）30.矩阵 （分
4、数：2.00）31.设 A 为三阶方阵且|A|=3，B=2A -1 -(2A) -1 ，则|B|= 1 （分数：2.00）32.设 A 为 n 阶方阵且|A|0，则 A*可逆并且(A*) -1 = 1 （分数：2.00）33.设三阶矩阵 （分数：2.00）34.设三阶矩阵 （分数：2.00）35.设分块矩阵 （分数：2.00）36.设 （分数：2.00）37.用初等变换将矩阵 （分数：2.00）38.若 （分数：2.00）39.设 A 为 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，则矩阵 B=AC 的秩为 1 （分数：2.00）40.设 （分数：2.00）41.设 A=(a i
5、j ) nn 为非零矩阵，A ij 为 a ij 的代数余子式，若 a ij =A ij ，r(A)= 1 （分数：2.00）42.齐次线性方程组 （分数：2.00）线性代数自考题-15 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：42，分数：100.00)1.设 （分数：3.00）解析： 解析 (A+B) 2 -(A 2 +AB+B 2 ) =(A+B)(A+B)-(A 2 +AB+B 2 ) =A 2 +B 2 +AB+BA-A 2 -AB-B 2 =BA 2.设矩阵 A、B、C 满足方程 AX+B=3C，其中 （分数：3.00）解析： 解析 AX=3C-B，即
6、 所以 3.设矩阵 （分数：3.00）解析： 解析 4. （分数：3.00）解析：3M 解析 5.设矩阵 （分数：3.00）解析： 解析 6.已知 （分数：3.00）解析： 解析 7.设矩阵 （分数：3.00）解析：(14，0) 解析 8.设 （分数：3.00）解析： 解析 9.设矩阵 （分数：3.00）解析： 解析 利用矩阵乘法结合律并注意单位矩阵与每个矩阵都可交换，或把矩阵 A 化为对角矩阵计算由矩阵乘法易得 从而有 A 4 =I， 于是， 10.设矩阵 （分数：3.00）解析： 解析 11.设矩阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，B=(b 1 ，b 2 ，b 3 )并且 （分数：3
7、.00）解析：(2) 11 解析 由于 AB T =(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) 11 ，而 12.已知 A 21 =(3，2)，A 22 =(5，1)，又 （分数：3.00）解析： 解析 13.设 A，B 都为 n 阶对称矩阵，则 AB 也为对称矩阵的充要条件为 1 （分数：3.00）解析：AB=BA 解析 A、B 为 n 阶对称矩阵，则 A T =A，B T =B，因为 AB 也是对称矩阵(AB) T =B T A T =BA=AB，故 A、B 都为 n 阶对称矩阵，则 AB 也为对称矩阵的充要条件为 AB=BA14.设 A，B 都是三阶矩阵，且|A|=2，B=
8、-2E，则|A -1 B|= 1 （分数：3.00）解析：-4 解析 15.设三阶方阵 A 的行列式 （分数：3.00）解析： 解析 16.设 A 是 n 阶方阵(n2)，|A|=-2，则|A 2 |= 1 （分数：3.00）解析：4 解析 |A 2 |=|AA|=|A|A|=417.设 A 为 n 阶方阵且|A|=3，则|(3A T ) -1 |= 1 （分数：2.00）解析： 解析 18.设三阶方阵 A 的行列式|A|=-3，则|-2A|= 1 （分数：2.00）解析：24 解析 |-2A|=(-2) 3 |A|=-8(-3)=2419.设 A、B 均为三阶矩阵，|A|=3，|B|=-2，
9、则|-2A T B -1 |= 1 （分数：2.00）解析：12 解析 20.设 （分数：2.00）解析：-3解析 由 AB=O，知 r(A)+r(B)3，且 r(B)1，故 r(A)2，因此|A|=7t+21=0，故 t=-321.设 A，B 为 n 阶方阵，且 AB=E，A -1 B=B -1 A=E，则 A 2 +B 2 = 1 （分数：2.00）解析：2E 解析 A 2 +B 2 =ABB -1 A+BA -1 AB=EE+EE=E+E=2E22.设 A 2 -3A+2E=0，则 A -1 = 1 （分数：2.00）解析： 解析 A 2 -3A+2E=0，则 A 2 -3A=-2E A
10、(A-3E)=-2E， 23.设 （分数：2.00）解析： 解析 24.若 （分数：2.00）解析：6 解析 由 可知，矩阵 A、B 的特征值都是是 25.设 （分数：2.00）解析： 解析 由于 所以 A*=|A|A -1 ， 又|A|=1，所以 26.已知 A 是三阶矩阵，|A|=2， （分数：2.00）解析：8 解析 |B|=|A*A|=|A|E|=2 3 =827.设 （分数：2.00）解析：3 解析 a 为行列式 D 的 a 23 项，故 a 的代数余子式为 A 23 ， 且 28. （分数：2.00）解析： 解析 本题考查利用伴随矩阵 A*求逆矩阵 因为|A|=10，故 A 可逆，
11、又 从而有 29.设 A，B 均为三阶矩阵，I 是三阶单位矩阵，已知 （分数：2.00）解析： 解析 30.矩阵 （分数：2.00）解析： 解析 31.设 A 为三阶方阵且|A|=3，B=2A -1 -(2A) -1 ，则|B|= 1 （分数：2.00）解析： 解析 32.设 A 为 n 阶方阵且|A|0，则 A*可逆并且(A*) -1 = 1 （分数：2.00）解析： 解析 由于|A|0，故 A 可逆且 所以 A*=|A|A -1 ， 因此 33.设三阶矩阵 （分数：2.00）解析： 解析 34.设三阶矩阵 （分数：2.00）解析：6E 解析 35.设分块矩阵 （分数：2.00）解析：解析
12、由转置矩阵的定义知36.设 （分数：2.00）解析：-8 解析 将矩阵 A 分块，得 37.用初等变换将矩阵 （分数：2.00）解析： 解析 对 A 进行初等变换，有 38.若 （分数：2.00）解析：k1 且 k-2 解析 39.设 A 为 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，则矩阵 B=AC 的秩为 1 （分数：2.00）解析：r解析 根据矩阵的秩的定理 2.6.1 推论：设 A 为 mn 矩阵，P 和 Q 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)可推出 r(B)=r(AC)=r(A)=r40.设 （分数：2.00）解析：2 解析 用矩阵的初等行变换将矩阵化成梯形矩阵 41.设 A=(a ij ) nn 为非零矩阵，A ij 为 a ij 的代数余子式，若 a ij =A ij ，r(A)= 1 （分数：2.00）解析：n 解析 本题考查利用定义求矩阵的秩，就是利用矩阵的行列式是否为零来确定矩阵的秩因为A0，所以至少有一个元素 a ij 0；将|A|按第 i 行展开，有 42.齐次线性方程组 （分数：2.00）解析：8 解析
