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    【学历类职业资格】线性代数自考题-12及答案解析.doc

    • 资源ID:1377553       资源大小:175.50KB        全文页数:9页
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    【学历类职业资格】线性代数自考题-12及答案解析.doc

    1、线性代数自考题-12 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、计算题(总题数:23,分数:69.00)1.计算 (分数:3.00)_2.设行列式 (分数:3.00)_3.计算 n 阶行列式 (分数:3.00)_4.计算 (分数:3.00)_5.计算 (分数:3.00)_6.计算 n+1 阶行列式 (分数:3.00)_7.计算行列式 (分数:3.00)_8.计算 n 阶行列式 (分数:3.00)_9.计算 n 阶行列式 (分数:3.00)_10.计算 (分数:3.00)_11.计算行列式 (分数:3.00)_12.计算 (分数:3.00)_13.计算 (分数:3.00)_14.

    2、计算 n 阶行列式 (分数:3.00)_15.计算 (分数:3.00)_16.计算 (分数:3.00)_17.计算 (分数:3.00)_18.求行列式 (分数:3.00)_19.计算行列式 (分数:3.00)_20.计算 (分数:3.00)_21.计算 (分数:3.00)_22.用行列式解线性方程组: (分数:3.00)_23.设 f(x)是二次多项式,已知 f(1)=1,f(-1)=9,f(2)=-3,求出 f(3) (分数:3.00)_二、证明题(总题数:13,分数:31.00)24.设 (分数:3.00)_25.证明 (分数:3.00)_26.证明 (分数:3.00)_27.用数学归纳法

    3、证明 (分数:3.00)_28.证明 (分数:3.00)_29.证明 (分数:2.00)_30.证明 (分数:2.00)_31.证明行列式 (分数:2.00)_32.求证 (分数:2.00)_33.证明行列式 (分数:2.00)_34.设 (分数:2.00)_35.证明等式 (分数:2.00)_36.设 a 1 ,a 2 ,a n 互不相同,求证:下列线性方程组有惟一组解: (分数:2.00)_线性代数自考题-12 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、计算题(总题数:23,分数:69.00)1.计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:直接按对角线法则展开,并整理化

    4、简得 4a 2 b 2 c 2 2.设行列式 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:由于 所以 x=-2,因此 3.计算 n 阶行列式 (分数:3.00)_正确答案:()解析:4.计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:5.计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:6.计算 n+1 阶行列式 (分数:3.00)_正确答案:()解析:7.计算行列式 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:提示第 1 列乘(-a 1 )加到第二列上,第 1 列乘(-a 2 )加到第二列上,第一列乘(-a 3 )加到第三列上,得 D=b 1 b 2 b 3 8.计算 n 阶行列式 (分数:3.0

    5、0)_正确答案:()解析:9.计算 n 阶行列式 (分数:3.00)_正确答案:()解析:10.计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:将各行乘 1 加到第一行上,提取公因子 3a+b,再利用行列式的性质化为三角形,从而得结果为(3a+b)(b-a) 3 11.计算行列式 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:将第 2 列的-a 倍加于第 1 列,第 3 列的-b 倍加于第 1 列,第 4 列的-c 倍加于第 1 列,第 5 列的-d 倍加于第 1 列,行列式等于 12.计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:将第一行乘-1 加到其余各行上,形成三线型,最后得结果为1

    6、3.计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:提示第一行乘 1 加第二行,再让第二行乘 1 加第三行以此类推得 D=114.计算 n 阶行列式 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:提示各行乘 1 加到第一行上,提出公因子(2n-1),再将第 1 行乘(-1)加到其余各行上,得D=(2n-1)(n-1) n-1 15.计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:将第一行乘 1 加到第二行上,再将新的第二行乘 1 加到第三行上,依次类推,最后可得行列式的值为 116.计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:将各行元素乘 1 加到第一行上,提取公因子 10,再利用行列

    7、式的性质化为三角形,从而得值为 16017.计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:将第二列和第三列加到第一列上,提到公因子 2(a+b+c),再利用行列式的性质化为下三角形,从而得结果为 2(a+b+c) 3 18.求行列式 (分数:3.00)_正确答案:()解析:19.计算行列式 (分数:3.00)_正确答案:()解析:20.计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:行列式中第 i 列元素均有 b i (i=1,2,n),把第 1 行的(-1)倍加到其他各行,可简化计算 21.计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:这个行列式看上去比较复杂,但可以利用范得蒙德行

    8、列式来计算因为 a 1 、a 2 、a 3 、a 4 都非零可在第一行提出 ,第二行提出 ,第三行提出 ,第四行提出 ,则原式等于 22.用行列式解线性方程组: (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:用克拉默法则解得:x 1 =1,x=2,x 3 =-123.设 f(x)是二次多项式,已知 f(1)=1,f(-1)=9,f(2)=-3,求出 f(3) (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:设 f(x)=ax 2 +bx+c,则有 二、证明题(总题数:13,分数:31.00)24.设 (分数:3.00)_正确答案:()解析:证明将行列式按第一行展开,得到 D n =2D n-1 -D

    9、 n-2 于是 D n -D n-1 =D n-1 -D n-2 ,即证得D 1 ,D 2 ,D n 是等差数列25.证明 (分数:3.00)_正确答案:()解析:26.证明 (分数:3.00)_正确答案:()解析:证明将第二列与第三列都加到第四列上,提出公因子 p+q+r+s,得到两列相同,从而值为 027.用数学归纳法证明 (分数:3.00)_正确答案:()解析:证明n=1,n=2 时显然成立 28.证明 (分数:3.00)_正确答案:()解析:证明利用行列式的分列相加性,将其分成八个行列式,再化简整理即可得29.证明 (分数:2.00)_正确答案:()解析:证明利用行列式的分列相加性,将

    10、其分成八个行列式,再化简整理即可得30.证明 (分数:2.00)_正确答案:()解析:证明将第二行加到第三行上,得到与第四行成比例,从而可得证31.证明行列式 (分数:2.00)_正确答案:()解析:证明将第 4 列乘 x 加于第 3 列,再将得到的第 3 列乘 x 加于第 2 列,再将得到的第 2 列乘 x 加于第 1 列,最后得 32.求证 (分数:2.00)_正确答案:()解析:证明按第一列展开得原行列式值等于 33.证明行列式 (分数:2.00)_正确答案:()解析:34.设 (分数:2.00)_正确答案:()解析:证明p(x)为范德蒙德行列式,由公式 p(x)=(a-x)(b-x)(

    11、c-x)(b-a)(c-a)(c-b),已知 a,b,c 各不相同,故 x 3 的系数-(b-a)(c-a)(c-b)0,所以 p(x)是 x 的 3 次多项式显然,3 次方程 p(x)=0 的根为 x 1 =a,x 2 =b,x 3 =c35.证明等式 (分数:2.00)_正确答案:()解析:证明记 根据范德蒙德行列式的计算公式,有 D=(b-a)(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)(x-c) =x 3 -(a+b+c)x 2 +(bc+ac+ab)x-abc(b-a)(c-a)(c-b) 又 所以 另外,将 D 按最后一行展开,可得 比较 D 的上述两个结果中的一次项的系数,得到 36.设 a 1 ,a 2 ,a n 互不相同,求证:下列线性方程组有惟一组解: (分数:2.00)_正确答案:()解析:证明由克拉默法则知当方程组的系数行列式不等于零时,方程组有惟一解,而这个线性方程组的系数矩阵是一个范德蒙德行列式(事实上是范德蒙德行列式的转置,由行列式性质知道行列式和其转置的值相同),当 a 1 ,a 2 ,a n 互不相同时,其值不等于零,由此即得结论


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