1、湖北省专升本（高等数学）-试卷 9 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：15，分数：30.00)1.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_2.设 （分数：2.00）填空项 1:_3.设 （分数：2.00）填空项 1:_4.函数 f(x)=ln(arcsinx)的连续区间是 1（分数：2.00）填空项 1:_5.设 f(x)=(x1)x1，则 f(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.由方程 y x =x y 所确定的隐函数 y=(x)的导数 （分数：2.00）填空项 1:_7.若 f(x)是可导函数，y=f(sin 2 x)+f(cos
2、 2 x)，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.曲面 2x 3 ye z ln(z+1)=0 在点(1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 y=f(x)是方程 y2y+4y=0 的一个解，若 f(x 0 )0，且 f(x 0 )=0，则函数在 x 0 有极 1值（分数：2.00）填空项 1:_10.满足 f(x)+xf(x)=x 的函数 f(x)是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.定积分 (x 2 +sinx)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 a，b，c 为非零向量，目两两不平行，但 a+b 与 c 平行，b+c 与 a
3、平行，则 a+b+c= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.u= （分数：2.00）填空项 1:_14.交换二次积分次序 0 1 dx 0 x f(x，y)dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 y6y+9y=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：9，分数：18.00)16.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_17.求极限 （分数：2.00）_18.设函数 f(x)=xln2x，且 f(x 0 )=2，求 f(x 0 )（分数：2.00）_19.求不定积分 （分数：2.00）_20.计算定积分 1 2 x.ln 2 xdx（
4、分数：2.00）_21.设 z=x 2 e xy ，求 （分数：2.00）_22.计算 ，其中 D 为曲线 y= （分数：2.00）_23.将函数 f(x)= （分数：2.00）_24.求微分方程 xy2y=x 3 +x 的通解（分数：2.00）_三、综合题(总题数：2，分数：4.00)25.一商店按批发价 3 元购进一批商品零售若零售价定为每件 5 元，估计可售出 100 件，若每件售价降低 02 元，则可多售出 20 件若需求函数(即售出量与价格间关系)是一次函数，请问该店应批发进多少件每件售价多少才可获最大利润，最大利润是多少?（分数：2.00）_26.过曲线=x 2 (x0)上某点 A
5、 作切线若过点 A 作的切线，曲线 y=x 2 及 x 轴围成的图形面积为 （分数：2.00）_四、证明题(总题数：1，分数：2.00)27.证明：方程 ln(1+x 2 )=x1 有且仅有一个实根（分数：2.00）_湖北省专升本（高等数学）-试卷 9 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：15，分数：30.00)1.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：2.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：3.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解
6、析：4.函数 f(x)=ln(arcsinx)的连续区间是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，1）解析：解析：f(x)=lnarcsinx 的连续区间就是它的定义区间(0，15.设 f(x)=(x1)x1，则 f(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：6.由方程 y x =x y 所确定的隐函数 y=(x)的导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程 y x =x y 改写为 y x x y =0 令 F=y x x y ，F x =y x lnyyx y1 ，F y =zy x1
7、 x y lnx，则 7.若 f(x)是可导函数，y=f(sin 2 x)+f(cos 2 x)，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sin2x=f(sin 2 x)f(cos 2 x)）解析：解析：y=f(sin 2 x)+f(cos 2 x)则 y=f(sin 2 x).2sinx.cosx+f(cos 2 x).2cosx(sinx) =sin2xf(sin 2 x)f(cos 2 x)8.曲面 2x 3 ye z ln(z+1)=0 在点(1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6xy3z4=0）解析：解析
8、：令 F(x，y，z)=2x 3 ye z ln(z+1)，则曲面上任一点处的切平面的法向量为： n=F x ，F y ，F z =6x 2 ，e z ，ye z 9.设 y=f(x)是方程 y2y+4y=0 的一个解，若 f(x 0 )0，且 f(x 0 )=0，则函数在 x 0 有极 1值（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：大）解析：解析：由已知 f(x 0 )=2f(x 0 )4f(x 0 )0故 f(x)在 x 0 取极大值10.满足 f(x)+xf(x)=x 的函数 f(x)是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：已知 f(x
9、)+xf(x)=x，令 x 取值x，得 f(x)xf(x)=x，联立两方程，解得 f(x)=11.定积分 (x 2 +sinx)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.已知 a，b，c 为非零向量，目两两不平行，但 a+b 与 c 平行，b+c 与 a 平行，则 a+b+c= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：已知 a，b，c 为非零向量，且两两不平行，但(a+b)c，(b+c)a则 0=(a+b)c=ac+bc=ac+bc+cc=(a+b+c)c 0=(b+c)a=ba+ca=aa+ba+ca=(a+b+
10、c)a 由此 a+b+c 既与 c 平行又与 a 平行，而 a13.u= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.交换二次积分次序 0 1 dx 0 x f(x，y)dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 1 dy 1 y f(x，y)dx）解析：解析：首先根据已知二次积分 0 1 dy x y f(x，y)dy 画出积分区域 D，已知二次积分把 D 看做X 型我们把它看做 Y 型则原式= 0 1 dy 1 y f(x，y)dx15.微分方程 y6y+9y=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
11、案：y=e 3x (C 1 +C 2 x)）解析：解析：y6y+9y=0 对应的特征方程为 r 2 6r+9=0得特征根为 r 1，2 =3故微分方程的通解为 y=C 1 e 3x +C 2 xe 3x =e 3x (C 1 +C 2 x)二、解答题(总题数：9，分数：18.00)16.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设函数 f(x)=xln2x，且 f(x 0 )=2，求 f(x 0 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=xln2x，f(x)=ln2x+1，所以 f(x 0 )
12、=ln2x 0 +1=2 )解析：19.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于计算不定积分 ，常规的方法是： 令 x=2sect，由于该积分的具体情况，我们也可令 =t，x 2 =t 2 +4 )解析：20.计算定积分 1 2 x.ln 2 xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 z=x 2 e xy ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算 ，其中 D 为曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先画出积分区域 D，计算出曲线 y= 与直线 y=1 的交点(1，1)，该题应把D 看做 Y 型，否则不便计
13、算 )解析：23.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求微分方程 xy2y=x 3 +x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：微分方程 xy2y=x 3 +x 属 y=f(x，y)型 令 p=y，方程可整理为 p =x 2 +1利用公式法解此一阶线性微分方程 )解析：三、综合题(总题数：2，分数：4.00)25.一商店按批发价 3 元购进一批商品零售若零售价定为每件 5 元，估计可售出 100 件，若每件售价降低 02 元，则可多售出 20 件若需求函数(即售出量与价格间关系)是一次函数，请问该店应批发进多少件每件售价多少才可获最大利润，最
14、大利润是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知，商品售出数 Q 与价格 p 之间的关系是一次函数，设 Q=a+bpp=5 元时， Q=100 件；P=48 元时，Q=120 件代入函数 )解析：26.过曲线=x 2 (x0)上某点 A 作切线若过点 A 作的切线，曲线 y=x 2 及 x 轴围成的图形面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 点坐标(x 0 ，x 0 2 )由 y=2x，得切线方程为 yx 0 2 =2x 0 (xx 0 )或 x= ，由已知 ， 所以 x 0 =1，A(1，1)，切线方程为 2xy1=0 切线与 x 轴交点为 x= 于是 )解析：四、证明题(总题数：1，分数：2.00)27.证明：方程 ln(1+x 2 )=x1 有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程：ln(1+x 2 )=x1 知，变量的取值范围为：x1 令 f(x)=ln(1+x 2 )x+1，于是 f(x)= 0，故 f(x)为严格递减函数又 =ln20，而 )解析：
