1、湖北省专升本（高等数学）-试卷 13 及答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：62.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.函数 y=arcsin （分数：2.00）A.1，1B.0，1C.(，1D.2，13.函数 f(x)=2 x cosx 在0，+)内是 ( )（分数：2.00）A.偶函数B.单调函数C.有界函数D.奇函数4.当 x0 时，xarctanx 是 x 2 的 ( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶无穷小，但非等价无穷小5.对于函数 y= （分数：2
2、.00）A.x=1 是第一类间断点，x=1 是第二类间断点；B.x=1 是第二类间断点，x=1 是第一类间断点；C.x=1 是第一类间断点，x=1 是第一类间断点；D.x=1 是第二类间断点，x=1 是第二类间断点；6.设 f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）A.B.1C.2D.47.函数 y=x 4 4x 上切线平行于 x 轴的点为 ( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(1，1)C.(1，3)D.(2，8)8.设 f(u)可导，且 y=f(e x )，则 dy= ( )（分数：2.00）A.f(e x )dxB.f(e x ).e x dxC.f(e x
3、 )D.f(e x )dx9.设 f(x)=ln(x+1)在0，1上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的 =( )（分数：2.00）A.ln2B.ln21C.D.10.函数 u=x+ 在5，1上的最大值为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.函数 f(x)=x （分数：2.00）A.1B.2C.3D.412.设f(x)dx=x 2 e 2x +C，则 f(x)= ( )（分数：2.00）A.2xe 2xB.2x 2 e 2xC.2x(1+x)e 2 xD.13.设 f(x)=e x ，则 （分数：2.00）A.+CB.lnx+CC.+CD.lnx+C14.= ( ) （分数：
4、2.00）A.arctanxB.C.arctanbarctanaD.015.设 f(x)连续，F(x)= （分数：2.00）A.f(x 4 )B.x 2 f(x 4 )C.2xf(x 4 )D.2xf(x 2 )16.下列式子正确的是 ( )（分数：2.00）A. 1 2 lnxdx 1 2 (lnx) 2 dxB. 1 2 lnxdx= 3 4 lnxdxC. 3 4 lnxdx 3 4 (lnx) 2 dxD. 1 2 (lnx) 2 dx= 3 4 (lnx)dx17.设 （分数：2.00）A.B.1ln2C.1D.ln218.空间直线 （分数：2.00）A.互相垂直B.互相平行C.不平
5、行也不垂直D.直线在平面上19.方程 z=x 2 +y 2 表示的二次曲面是 ( )（分数：2.00）A.椭球面B.柱面C.圆锥面D.抛物面20.已知 z= ，nN + ，则 （分数：2.00）A.1B.nC.D.以上都不对21.设 z=e xy ，则 dz= ( )（分数：2.00）A.e xy (xdx+ydy)B.e xy (xdxydy)C.e xy (ydx+xdy)D.e xy (ydxxdy)22.设 I= ，交换积分次序后，I= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.23.二次积分 0 1 dx 0 1 e x+y dy= ( )（分数：2.00）A.e1B.2(e1)C.
6、(e1) 2D.e 224.积分区域 D 为 x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）A.0B.1C.D.25.设 L 为抛物线 y=x 2 上从点 A(0，0)到点 B(2，4)的一段弧，则 L (x2xy 2 )dx+(y2x 2 y)dy= ( )（分数：2.00）A.54B.54C.45D.4526.下利级数中，收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.27.下列级数中，绝对收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.28.幂级数 （分数：2.00）A.(0，2)B.(0，2C.0；2)D.0，229.下列微分方程中，为一阶线性方程的是 ( )（分数：2.00）A
7、.y=e xB.y+x 2 y=cosxC.y=xe yD.yy=x30.微分方程 yy=x 2 满足初始条件 y x=0 的特解为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.31.微分方程 y+2y+y=0 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=Ce xB.y=C 1 e x +C 2C.y=(C 1 +C 2 x)D.y=e x (C 1 +C 2 x)二、填空题(总题数：15，分数：30.00)32.极限 （分数：2.00）填空项 1:_33.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_34.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_35.已知函数 f(x)=(x1)(
8、x2)(x3)(x4)，则方程 f(x)=0 有 1 个根（分数：2.00）填空项 1:_36.设函数 y=y(x)由方程 ln(x 2 +y 2 )=x 3 y+sinx 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_37.不定积分 （分数：2.00）填空项 1:_38.设 （分数：2.00）填空项 1:_39.曲线 y=xe x 的单调增区间为 1，凸区间为 2（分数：2.00）填空项 1:_40.方程 （分数：2.00）填空项 1:_41.z=f(x+y，xy)，且 f 可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_42.设 为连接 O(0，0)，A(0，1)，B(1，2)的圆弧段，则 （分数：
9、2.00）填空项 1:_43.级数 （分数：2.00）填空项 1:_44.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_45.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_46.微分方程 y6y+9y=e x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)47.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_48.求极限 （分数：2.00）_49.设函数 y=x x +2 x .x x ，求 （分数：2.00）_50.求积分(x)dx，其中 f(x 2 1)= （分数：2.00）_51.计算定积分 （分数：2.00）_52.设 z=f 2 (x，xy)
10、，其中 f 具有一阶连续的偏导数，求 （分数：2.00）_53.计算二次积分 （分数：2.00）_54.将 f(x)= （分数：2.00）_55.求微分方程 2x( 1)dx+ （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)56.曲线 y=cosx，x （分数：2.00）_57.曲线过点(1，0)，且曲线上任一点(x，y)处的切线垂直于该点与原点的连线，求曲线方程（分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)58.证明：当 0x 1 x 2 （分数：2.00）_湖北省专升本（高等数学）-试卷 13 答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题
11、数：31，分数：62.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.函数 y=arcsin （分数：2.00）A.1，1B.0，1 C.(，1D.2，1解析：解析：要使函数有意义，须3.函数 f(x)=2 x cosx 在0，+)内是 ( )（分数：2.00）A.偶函数B.单调函数C.有界函数 D.奇函数解析：解析：因 f(x)=2 x cosxf(x)，也不等于f(x)，即 f(x)非奇非偶，选项 A、D 错误；事实上，x0 时，02 x 1，而 cosx 处处有界，进而 2 x cosx 是 x0 区间内的有界函数，选项 C 正确又f(x)=
12、2 x .(1)ln2.cosx+2 x .(sinx)=2 x (ln2.cosx+sinx)，在 x0 的区间内，f(x)有正、有负，进而 f(x)无一致的单调性4.当 x0 时，xarctanx 是 x 2 的 ( )（分数：2.00）A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶无穷小，但非等价无穷小解析：解析：因 5.对于函数 y= （分数：2.00）A.x=1 是第一类间断点，x=1 是第二类间断点；B.x=1 是第二类间断点，x=1 是第一类间断点；C.x=1 是第一类间断点，x=1 是第一类间断点； D.x=1 是第二类间断点，x=1 是第二类间断点；解析：解析：首先肯定
13、，x=1 皆为函数的间断点，因此两点处函数皆无定义又 x1 时，y0，所以x=1 是函数的第一类间断点；又 x1 + 时，y；x1 时，y；故 x=1 也为函数的第一类间断点故选项 C 正确6.设 f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）A. B.1C.2D.4解析：解析：因 f(1)=1所以7.函数 y=x 4 4x 上切线平行于 x 轴的点为 ( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(1，1)C.(1，3) D.(2，8)解析：解析：令 y=4x 3 4=0，得 x=1，于是所求的点为(1，f(1)，即(1，3)8.设 f(u)可导，且 y=f(e x )，则
14、 dy= ( )（分数：2.00）A.f(e x )dxB.f(e x ).e x dx C.f(e x )D.f(e x )dx解析：解析：因 y=f(e x )，故 dy=f(e x ).e x dx，选项 B 正确9.设 f(x)=ln(x+1)在0，1上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的 =( )（分数：2.00）A.ln2B.ln21C. D.解析：解析：因定理结论为：f(b)f(a)=f()(ba)，(ab)所以，对已知的函数及区间，应有：ln2lnl= (10)，进而 =10.函数 u=x+ 在5，1上的最大值为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因
15、 y=1 ，于是得 y=0，得驻点 x= ，又有不可导点：x=1进而计算点 x=，x=1，x=5 处的函数值有： ；f(1)=1，f(5)=5+ ，故函数在5，1上的最大值为11.函数 f(x)=x （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：因 f(x)=12.设f(x)dx=x 2 e 2x +C，则 f(x)= ( )（分数：2.00）A.2xe 2xB.2x 2 e 2xC.2x(1+x)e 2 x D.解析：解析：由不定积分的概念知，f(x)=(x 2 .e 2x +C)=2x.e 2x +x 2 .e 2x .2=2x(1+x)e 2x ，选项 C正确13.设 f(x)
16、=e x ，则 （分数：2.00）A.+CB.lnx+CC.+C D.lnx+C解析：解析：因 =f(lnx)d(lnx)=f(lnx)+C，又 f(x)=e x ，故 =e lnx +C+ 14.= ( ) （分数：2.00）A.arctanxB.C.arctanbarctanaD.0 解析：解析：因为定积分 a b arctanxdx 是一常数，所以其导数为 0，选项 D 正确15.设 f(x)连续，F(x)= （分数：2.00）A.f(x 4 )B.x 2 f(x 4 )C.2xf(x 4 ) D.2xf(x 2 )解析：解析：F(x)=f(x 4 ).(x 2 )=2xf(x 4 )，
17、故选项 C 正确16.下列式子正确的是 ( )（分数：2.00）A. 1 2 lnxdx 1 2 (lnx) 2 dx B. 1 2 lnxdx= 3 4 lnxdxC. 3 4 lnxdx 3 4 (lnx) 2 dxD. 1 2 (lnx) 2 dx= 3 4 (lnx)dx解析：解析：因当 1x2 时，0lnx1，进而，lnxln 2 x，于是由定积分的不等性有： 1 2 lnxdx 1 2 ln 2 xdx，故选项 A 正确；而当 3x4 时，1lnx2，进而，lnxln 2 x，于是 3 4 lnxdx 3 4 ln 2 xdx，选项 C 错误；而对于 B 选项，由于 lnx 为递增
18、函数，且 1x2 时，0lnx1；3x4 时，1lnx2，故 1 2 lnxdx 3 4 lnxdx，所以 B 错误；D 选项也错误，因 1 2 ln 2 xdx 1 2 lnxdx 3 4 lnxdx17.设 （分数：2.00）A.B.1ln2C.1D.ln2 解析：解析：因 ，从而， 0 1 f(x)dx= 18.空间直线 （分数：2.00）A.互相垂直B.互相平行 C.不平行也不垂直D.直线在平面上解析：解析：因空间直线19.方程 z=x 2 +y 2 表示的二次曲面是 ( )（分数：2.00）A.椭球面B.柱面C.圆锥面D.抛物面 解析：解析：该曲面 z=x 2 +y 2 可看做曲线
19、20.已知 z= ，nN + ，则 （分数：2.00）A.1B.nC. D.以上都不对解析：解析：21.设 z=e xy ，则 dz= ( )（分数：2.00）A.e xy (xdx+ydy)B.e xy (xdxydy)C.e xy (ydx+xdy) D.e xy (ydxxdy)解析：解析：因 z=e xy ，故 dz=e xy (ydx+xdy)，选项 C 正确22.设 I= ，交换积分次序后，I= ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因积分区域 d 为： ，如图所示 区域 D 又可表示为： ，故积分 I 交换积分次序后 为 I= 0 4 dy 23.二次积分 0
20、1 dx 0 1 e x+y dy= ( )（分数：2.00）A.e1B.2(e1)C.(e1) 2 D.e 2解析：解析： 0 1 dx 0 1 e x+y dz= 0 1 e x dx 0 1 e y dy=(e1) 2 24.积分区域 D 为 x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）A.0 B.1C.D.解析：解析：积分区域 D：x 2 +y 2 1 可用极坐标表示为： 从而 25.设 L 为抛物线 y=x 2 上从点 A(0，0)到点 B(2，4)的一段弧，则 L (x2xy 2 )dx+(y2x 2 y)dy= ( )（分数：2.00）A.54B.54 C.45D.45解析：解析
21、：将路径 L 的方程代入曲线积分的被积表达式中计算 L (x2xy 2 )dx+(y2x 2 y)dy= 0 2 (x2x 5 )+2(x 2 2x 4 )xdx = 0 2 (x+2x 3 6x 5 )dx= 26.下利级数中，收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：对于选项 A：u n = ，显然 ，于是级数 具有相同的敛散性；而 是p级数，发散，故 A 选项中的级数发散；对于选项 B： ，故级数发散；对于选项 C： ，即选项 C 中的级数是公比大于 0 小于 1 的等比级数，收敛；对于选项 D： 27.下列级数中，绝对收敛的是 ( ) （分数：2.00）A. B
22、.C.D.解析：解析：对于选项 A：其绝对值级数为 ，这是 p= 1 的 p-级数，故收敛，即原级数绝对收敛，选项 A 为正确选项对于选项 B：u n = ，显然，u n 0，(n)，故该级数发散；对于选项 C：其绝对值级数为 ，因 发散，故绝对值级数也发散，即原级数不绝对收敛；对于选项 D：其绝对值级数为 ，这是 p= 28.幂级数 （分数：2.00）A.(0，2)B.(0，2C.0；2)D.0，2 解析：解析：这四个选项中，区间端点相同，故只须验证级数在区间端点是否收敛即可得答案 对于x=0，对应的数项级数为： ，这是绝对收敛的级数，即幂级数在 x=0 处收敛； 对于 x=2，对应的数项级
23、数为： ，这是绝对收敛的级数，即幂级数在 x=0 处收敛；对于 x=2，对应的数项级数为：29.下列微分方程中，为一阶线性方程的是 ( )（分数：2.00）A.y=e xB.y+x 2 y=cosx C.y=xe yD.yy=x解析：解析：选项 A 中的方程是二阶微分方程，不合要求；选项 B 中的方程，是一阶微分方程且 x 2 y 皆为一次的表达式，该方程符合要求；选项 C 中的方程中，含 y 的指数运算，不是线性运算，不合要求；选项 D 中，含 yy项，不是线性30.微分方程 yy=x 2 满足初始条件 y x=0 的特解为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：原方程可化
24、为： (y 2 )=x 2 ，于是方程的通解为： ，将初始条件 y x=0 =2代入通解中，得 C=2，故特解为： 31.微分方程 y+2y+y=0 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=Ce xB.y=C 1 e x +C 2C.y=(C 1 +C 2 x)D.y=e x (C 1 +C 2 x) 解析：解析：因微分方程的特征方程为：r 2 +2r+1=0，于是有特征根：r 12 =1，故微分方程的通解为：y=(C 1 +C 2 x).e x 选项 D 正确二、填空题(总题数：15，分数：30.00)32.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：33
25、.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：34.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：f(0)=35.已知函数 f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4)，则方程 f(x)=0 有 1 个根（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：函数 f(x)在闭区间1，2上满足罗尔定理的条件，则至少存在一点 1 (1，2)，使f( 1 )=0，即方程 f(x)=0 在区间(1，2)上至少有一个根，同理 f(x)=0 在区间(2，3)，(3，4)上分别至少各存在一根，再由于
26、f(x)为三次多项式，即方程 f(x)=0 至多有三个根综上所述，方程 f(x)=0 有三个根分别位于区间(1，2)，(2，3)，(3，4)内36.设函数 y=y(x)由方程 ln(x 2 +y 2 )=x 3 y+sinx 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：方程两端 y 对 x 求导 37.不定积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnsinx+cosx+C）解析：解析：38.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程两端对 x 求导：f(x 2 +x 3 ).(2x+3x 2 )=
27、1，取 x=1，则 f(2)= 39.曲线 y=xe x 的单调增区间为 1，凸区间为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(，1)，(，2)）解析：解析：因 y=xe x ，所以 y=e x xee x =(1x)e x ， y=e x (1 一 x)e x =(x2)e x 令 y0，得曲线的递增区间为(，1)；令 y0，得曲线的凸区间为(，2)40.方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：两条平行直线）解析：解析：由于圆柱面 x 2 +y 2 =4 的母线平行 z 轴且被一平行 z 轴的平面 y=1 去截，显然截痕为两条平行直线。41.z=f(
28、x+y，xy)，且 f 可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 u=x+y，v=xy， 则 z=f(u，v) 所以42.设 为连接 O(0，0)，A(0，1)，B(1，2)的圆弧段，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因 ，所以积分与路径无关，改变积分路径， ，所以原式= 0 1 (1+x)dx+ 0 2 (e y 2y)dy=e 2 43.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ae）解析：解析：44.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：45
29、.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y= ）解析：解析：变形 xyy=x 3 ， 46.微分方程 y6y+9y=e x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=(C 1 +C 2 x)e 3x + ）解析：解析：先求对应齐次方程 y6y+9=0 的通解，因特征方程为 r 2 6r+9=0 所以 r=3 为二重根，故齐次方程的通解为：Y=(C 1 +C 2 x)e 3x ，设 y * =Ae x 为原方程的特解，则 y * =y * =Ae x 代入原方程比较系数可得 A= 所以 y= ， 即原方程的通解为 y=Y+y * =
30、(C 1 +C 2 x)e 3x + 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)47.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：48.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )解析：49.设函数 y=x x +2 x .x x ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 y=x x .(1+2 x )，于是 )解析：50.求积分(x)dx，其中 f(x 2 1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：51.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：52.设 z=f 2 (x，xy)，其中 f 具有一阶连续的偏导数
31、，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 z=f 2 (x，xy)，f 可微，于是： =2f(x，xy).f 1 .(x，xy)+f 2 (x，xy).y=2f(x，xy).f 1 (x，xy)+yf 2 (x，xy) )解析：53.计算二次积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由被积函数知，该二重积分如果先对 y 积分是不易积分的，它易于先对 x 积分，后对 y 积分 因积分区域 D 为： ；区域 D 又可表示为 于是， )解析：54.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)= ， 即所求幂级数为 )解析：55.求微分方程 2x( 1)dx+
32、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一：原微分方程可化为 两边积分，得： 方法二：原方程可化为：y+2x.y=2x ，此方程为一阶线性非齐次微分方程，于是通解为 )解析：四、综合题(总题数：2，分数：4.00)56.曲线 y=cosx，x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=cosx 与两坐标轴所围面积为： cosxdx=1 设曲线 y=cosx 与y=asinx 的交点横坐标为 x 1 ，则 x 1 = 所以 从已知： 所以有： 用同样方法可得 b= )解析：57.曲线过点(1，0)，且曲线上任一点(x，y)处的切线垂直于该点与原点的连线，求曲线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 P(x,y)为所求曲线上任意一点，过该点的切线斜率为 y而直线 OP 的斜率为 ， 由于过 P 点切线垂直 OP，所以 y= ，ydy=xdx 所以 )解析：五、证明题(总题数：1，分数：2.00)58.证明：当 0x 1 x 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
