1、湖北省专升本（高等数学）-试卷 11 及答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：62.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0，1B.(3，1)C.3，0D.3，13.函数 f(x)=arctan(sinx)在 xOy 平面上的图形 ( )（分数：2.00）A.关于 x 轴对称B.关于 y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线 y=一 x 对称4.点 x=0 是函数 y= （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5.设函数 f(x)在点
2、 x 0 处连续，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.=0B.存在C.当 xx 0 时，f(x)f(x 0 )为无穷小D.当 xx 0 时，f(x)f(x 0 )不是无穷小6.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.设 f(x)是可导函数，且 （分数：2.00）A.1B.2C.0D.18.若 f(t)= （分数：2.00）A.e 2t (2t+1)B.e 2tC.t+1D.9.函数 f(x)=2x 2 lnx 单调增加的区间是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.函数 y=x 2 +px+q，当 x=1 时，有最小值 y=3，则 ( )（分数：
3、2.00）A.p=1，q=2B.p=2，q=2C.p=2，q=4D.p=1，q=411.曲线 y=ln(1+x 2 )的凹区间是 ( )（分数：2.00）A.(2，2)B.(1，0)C.(1，1)D.(0，1)12.设函数 y=y(x)由参数方程 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 f(x)=arctanx 2 ，则 （分数：2.00）A.xf(x 2 )B.xf(x 2 )C.2xf(x 2 )D.2xf(x 2 )14.下列关系式正确的是 ( )（分数：2.00）A.df(x)dx=f(x)B.f(x)dx=f(x)C.f(x)dx=f(x)D.f(x)dx=f(x)+C1
4、5.设 f(lnx)=1+x，则 f(x)= ( )（分数：2.00）A.lnx+x 2 +CB.lnx+x+CC.D.x+e x +C16.定积分 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.17.广义积分 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.18.a=1，b=5，a.b=3，则ab= ( )（分数：2.00）A.4B.C.5D.1019.平面 x+ky2z=9 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则 k= ( )（分数：2.00）A.1B.2C.D.20.设 z=z(x，y)由方程 2x 2 y 2 +3xy+z 3 +z=1 确定，则 = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.2
5、1.I= f(rcos，rsin)rdr 化为先对 y 积分后对 X 积分，则 I= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.22.设区域 D 由直线 x+y=1，x=0 及 y=0 围成，估计 （分数：2.00）A.0IB.0I8C.0I1D.1I423.C 为平面区域 D 的正向边界，则曲线积 C (1x 2 )ydx+x(1+y 2 )dy 化为二重积分为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.24.幂级数 的收敛半径为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.25.设曲线 y=f(x)满足 y=x，且过点(0，1)并与直线 y= +1 在该点相切，则曲线方程为 ( )（分数：2
6、.00）A.B.C.D.26.函数 y=10 x1 2 的反函数是 ( )（分数：2.00）A.y=B.y=log x 2C.y=D.y=1+lg(x+2)27.已知 x0 时， （分数：2.00）A.B.C.3D.328.函数 y= （分数：2.00）A.atctane x+1B.arctane x1C.arctan(e x +1)D.arctane x +129.设 a，b 均为非零向量，且 ab，则必有 ( )（分数：2.00）A.a+b=a+bB.ab=abC.a+b=abD.a+b=ab30.平面 x+2yx6=0 与直线 （分数：2.00）A.平行B.垂直C.即不平行也不垂直D.直
7、线在平面内31.函数 f(x)= （分数：2.00）A.B.C.1D.1二、解答题(总题数：9，分数：18.00)32.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_33.求极限 （分数：2.00）_34.设函数 y=y(x)由方程 y= （分数：2.00）_35.求不定积分e x .ln(1+e x )dx（分数：2.00）_36.计算定积分 （分数：2.00）_37.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f(u，v)可微，求 （分数：2.00）_38.计算 （分数：2.00）_39.将函数 f(x)=lnx 展开成(x2)的幂级数，并指出收敛区间（分数：2.00
8、）_40.求解微分方程 2xy=y+2x 2 满足 y x=1 =1 的特解（分数：2.00）_三、综合题(总题数：2，分数：4.00)41.求由曲线 xy=a(a0)及直线 x=a，x=2a，y=0 所围图形的面积，该图形分别绕 x 轴，y 轴旋转一周所生成的立体体积（分数：2.00）_42.已知 3f(x) （分数：2.00）_四、证明题(总题数：1，分数：2.00)43.证明：当 x0 时，x （分数：2.00）_湖北省专升本（高等数学）-试卷 11 答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：62.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项
9、是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0，1B.(3，1)C.3，0D.3，1 解析：解析：f(x)= ，(x)=x+1，则 f(x)= 3.函数 f(x)=arctan(sinx)在 xOy 平面上的图形 ( )（分数：2.00）A.关于 x 轴对称B.关于 y 轴对称C.关于原点对称 D.关于直线 y=一 x 对称解析：解析：f(x)=arctan(sinx)，f(x)=arctansin(x)=arctan(sinx)=arctan(sinx)=f(x)，f(x)为奇函数，所以它的图形关于原点对称4.点 x=0 是函数 y= （分数：2.00）
10、A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点 D.第二类间断点解析：解析：显然 x=0 是 y= 的间断点，而5.设函数 f(x)在点 x 0 处连续，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.=0B.存在C.当 xx 0 时，f(x)f(x 0 )为无穷小 D.当 xx 0 时，f(x)f(x 0 )不是无穷小解析：解析：f(x)在 x=x 0 连续，则 =f(x 0 )，所以 A 错，B 即 f(x 0 )存在，这和“连续不一定可导”矛盾，所以 B 错，由于 6.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：f(x)= 7.设 f(x)是可导函数，且 （分数：
11、2.00）A.1B.2 C.0D.1解析：解析：8.若 f(t)= （分数：2.00）A.e 2t (2t+1) B.e 2tC.t+1D.解析：解析：f(t)= 9.函数 f(x)=2x 2 lnx 单调增加的区间是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：f(x)=2x 2 lnx，f(x)= ，令 f(x)=0得驻点 10.函数 y=x 2 +px+q，当 x=1 时，有最小值 y=3，则 ( )（分数：2.00）A.p=1，q=2B.p=2，q=2C.p=2，q=4 D.p=1，q=4解析：解析：y=x 2 +px+q，y=2x+p，y(1)=0得 p=2，又 y(1)
12、=3，得 p+q=2，有 q=411.曲线 y=ln(1+x 2 )的凹区间是 ( )（分数：2.00）A.(2，2)B.(1，0)C.(1，1) D.(0，1)解析：解析：y=ln(1+x 2 )，y= 12.设函数 y=y(x)由参数方程 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：13.设 f(x)=arctanx 2 ，则 （分数：2.00）A.xf(x 2 ) B.xf(x 2 )C.2xf(x 2 )D.2xf(x 2 )解析：解析：14.下列关系式正确的是 ( )（分数：2.00）A.df(x)dx=f(x)B.f(x)dx=f(x)C.f(x)dx=f(x) D.f
13、(x)dx=f(x)+C解析：解析：由于f(x)dx=F(x)+C，所以15.设 f(lnx)=1+x，则 f(x)= ( )（分数：2.00）A.lnx+x 2 +CB.lnx+x+CC.D.x+e x +C 解析：解析：f(lnx)=1+x，令 x 取值 e x ，则 f(x)=1+e x ，于是，f(x)=(1+e x )dx=x+e x +C16.定积分 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：17.广义积分 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：18.a=1，b=5，a.b=3，则ab= ( )（分数：2.00）A.4 B.C.5D.10解析：解析：
14、19.平面 x+ky2z=9 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则 k= ( )（分数：2.00）A.1 B.2C.D.解析：解析：平面 x+ky2x=0 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则它们的法向量垂直，于是它的点积为0，1，k，2.2，4，3)=2+4k60 得 k=120.设 z=z(x，y)由方程 2x 2 y 2 +3xy+z 3 +z=1 确定，则 = ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 F=2x 2 x 3 +3xy+z 3 +z1 则 F x =4x+3y，F z =3z 2 +1，所以 21.I= f(rcos，rsin)rdr 化为先对 y
15、积分后对 X 积分，则 I= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由 I= f(rcos，rsin)rdr 知 r=2acos，r 2 =2arcos，化为直角坐标为 x 2 +y 2 =2ax 此为一圆，又由 ，可画出积分区域图 D，由题意把 D 看做 X 型，于是 I= 22.设区域 D 由直线 x+y=1，x=0 及 y=0 围成，估计 （分数：2.00）A.0I B.0I8C.0I1D.1I4解析：解析：令 z=xy，z x =y=0，z y =x=0，驻点(0，0)不在 D 内，z 在 D 的两直角边上的值都为 0，我们看在 D 的斜边 x+y=1 上，z=xy
16、的最大值，最小值，变条件极值为无条件极值z=x(1x)=xx 2 ，z x =12x， 令 z x =0，得 x= 代入直线方程， ，而 z 在斜边两端点处的值都为 0故 0z 所以 0=0.S D I 23.C 为平面区域 D 的正向边界，则曲线积 C (1x 2 )ydx+x(1+y 2 )dy 化为二重积分为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析： =(1+y 2 )(1x 2 )=x 2 +y 2 ，所以 C (1x 2 )ydx+x(1+y 2 )dy= 24.幂级数 的收敛半径为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为题给级数属于缺项类型，所
17、以求收敛半径用以下方法25.设曲线 y=f(x)满足 y=x，且过点(0，1)并与直线 y= +1 在该点相切，则曲线方程为 ( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：y=f(x)满足方程 y=x，y= +C， y= +C 1 x+C 2 ，又 y(0)=1，得 C 2 =1，又y(0)= 得 26.函数 y=10 x1 2 的反函数是 ( )（分数：2.00）A.y=B.y=log x 2C.y=D.y=1+lg(x+2) 解析：解析：y=10 x1 2，解出 x=lg(y+2)+1，所求即 y=1+lg(x+2)27.已知 x0 时， （分数：2.00）A.B. C.3D.3解
18、析：解析：28.函数 y= （分数：2.00）A.atctane x+1B.arctane x1C.arctan(e x +1)D.arctane x +1 解析：解析：y=29.设 a，b 均为非零向量，且 ab，则必有 ( )（分数：2.00）A.a+b=a+bB.ab=abC.a+b=ab D.a+b=ab解析：解析：由 ab，可知以 a，b 为邻边可构成一个长方形，其中两条对角线应等长，由向量加减法可知a+b=ab30.平面 x+2yx6=0 与直线 （分数：2.00）A.平行B.垂直C.即不平行也不垂直D.直线在平面内 解析：解析：直线的方向向量 s=2，1，0，平面的法向量 n=1
19、，2，1，因 n.s=0 可知直线与平面平行，而进一步取直线上一点(2，0，4)，可验证它在平面上，故直线在平面内31.函数 f(x)= （分数：2.00）A.B.C.1D.1 解析：解析：f(x)= 在 x=1 处泰勒展开式为二、解答题(总题数：9，分数：18.00)32.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：33.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.设函数 y=y(x)由方程 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.求不定积分e x .ln(1+e x )dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用分部积分法
20、积分 原式=ln(1+e x )d(e x +1)=(1+e x ).ln(1+e x ) )解析：36.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一：凑微分法 方法二：第二换元法 )解析：37.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f(u，v)可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，f(u，v)可微；所以， =f 1 (e x siny，x 2 +y 2 ).e x siny+f 2 (e x siny，x 2 +y 2 ).2x =e x siny.f 1 (e x siny，x 2 +y
21、2 )+2x.f 2 (e x siny，x 2 +y 2 ) 同理， )解析：38.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图：因二重积分的被积函数 f(x，y)= ，它适宜于“先对 y 积分，后对 x 积分”，故。可用不等式表示为： )解析：39.将函数 f(x)=lnx 展开成(x2)的幂级数，并指出收敛区间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=lnx=ln2+(x2)= )解析：40.求解微分方程 2xy=y+2x 2 满足 y x=1 =1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因原方程可化为 y= +x，此为一阶线性微分方程 P(x)= ，
22、Q(x)=x由通解公式可得 通解为： 将初始条件 y x=1 =1 代入通解中，得 C= ，故所求特解为：)解析：三、综合题(总题数：2，分数：4.00)41.求由曲线 xy=a(a0)及直线 x=a，x=2a，y=0 所围图形的面积，该图形分别绕 x 轴，y 轴旋转一周所生成的立体体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作图，当 x=a 时，y=1；x=2a，y= ，由曲线及直线所围图形的面积为：该图形绕 x 轴旋转所成的体积为： 该图形绕 y 轴旋转所成的体积为： )解析：42.已知 3f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =t，则有 3 f(t)=t，或写成 3 f(x)=x， )解析：四、证明题(总题数：1，分数：2.00)43.证明：当 x0 时，x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=ln(1+x)x+ x 2 ， 于是，f(x)= 0， (x0 时) 即函数 f(x)在 x0 时单调递增，又 f(0)=0，从而 x0 时，f(x)f(0) 即 ln(1+x)x+ x 2 0，也即 x )解析：
