1、河南省专升本考试高等数学模拟 11 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.下列各对函数中相同的是_ A By=lnx 2 与 y=2lnx Cy=(|x|-x)(|-x|+x)与 y=0 D （分数：2.00）A.B.C.D.2.设 f(x)为奇函数，则 F(x)=f(x)(e x -e -x )为_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法确定3.设函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 f(lnx)的定义域为_（分数：2.00）A.(-，+)B.1，eC.0，1D.(0，e4. （分数：2.00）A.B
2、.C.D.5.下列各式成立的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.当 x0 时， （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小7.设函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点8.已知 f(x)在 x=0 的某邻域内连续， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f“(0)=2C.取得极大值D.取得极小值9.设 f(x)=xe x ，则 f (n) (x)=_ A.(n+x)ex B.xex C.nxex D.nex（分数：2.00）A.B.C.D.10.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，
3、且 f(a)=f(b)，则曲线 y=f(x)在(a，b)内平行于 x 轴的切线_（分数：2.00）A.仅有一条B.至少有一条C.有两条D.不存在11.设 f(x)为偶函数且可导，则_（分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处取得极值B.f“(x)=0C.(0，f(0)是曲线的拐点D.f“(0)=012.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=f(b)，但 f(x)不恒为常数，则在(a，b)内_（分数：2.00）A.必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点 ，使 f“()=013.函数 （分数：2.00）A.一个极值点B.二个极值点C.三个极值点
4、D.零个极值点14.若在区间-1，1上有 f“(x)=(x-1) 2 ，则曲线 f(x)在区间-1，1上是_（分数：2.00）A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的15.曲线 （分数：2.00）A.有极值点 x=5 但无拐点B.有拐点(5，2)但无极值点C.有极值点 x=5 及拐点(5，2)D.既无极值点又无拐点16.若 f(x)=e -x ，则f“(lnx)dx=_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.17.极限 _ A1 B （分数：2.00）A.B.C.D.18._ （分数：2.00）A.0B.-CD.219. _ A B C D （分数：
5、2.00）A.B.C.D.20.由曲线 y=x 2 ，直线 x=1 与 x 轴所围成的区域的面积为_ A1 B2 C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.若方程 y“+P(x)y=xsinx 有特解 y=-xcosx，则其通解为_（分数：2.00）A.y=CxcosxB.y=C-xcosxC.y=-xcos(Cx)D.y=Cx-xcosx22.微分方程 y“+y=cosx 的特解可设为_ A.y*=acosx+bsinx B.y*=axcosx C.y*=x2(acosx+bsinx) D.y*=x(acosx+bsinx)（分数：2.00）A.B.C.D.23.已知向量 a，b 的夹
6、角为 ，且 则|a+b|=_ A15 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.24.设 z=e x cosy，则 （分数：2.00）A.B.C.D.25.函数 （分数：2.00）A.(0，0)B.0C.(0，0，1)D.(1，0)26.设 D=(x，y)|x|2，|y|1，则 （分数：2.00）A.8B.4C.2D.027.设 f(x，y)为连续函数，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.若曲线 L 是上半圆 x 2 +y 2 =a 2 (y0)，取顺时针方向，则 _ A0 B Ca 2 D （分数：2.00）A.B.C.D.29.下列级数收敛的是_ A B C
7、 D （分数：2.00）A.B.C.D.30.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设函数 f(x 2 +1)=x 4 +4x 2 +3，则 f(x-2)= 1 （分数：2.00）32. （分数：2.00）33.若 （分数：2.00）34.已知 f(x)=sinx 为可导函数，f(x)在点 x=0.002 处的近似值为 1 （分数：2.00）35.不定积分为 （分数：2.00）36.定积分 （分数：2.00）37.设方程 e z =xyz 确定隐函数 x=x(y，z)，则 （分数：2.00）38.若 a=1，
8、2，3，b=-1，0，1，以 a，b 为邻边的平行四边形面积为 1 （分数：2.00）39.以 y=C 1 e x +C 2 xe x 为通解的微分方程是 1 （分数：2.00）40.设 S n 是级数 的前 n 项和，则 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.设函数 y=(x 2 -3x) cos2x ，求 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.求过点(2，0，-1)且与直线 （分数：5.00）_46.设 z=z(x，y)是由方程 x 2 z+2y 2 z 2 +y=
9、0 确定，求 dz （分数：5.00）_47.计算 （分数：5.00）_48.求微分方程 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.判断级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.设两抛物线 y=2x 2 ，y=3-x 2 及 x 轴所围成的平面图形为 D求： (1)平面图形 D 的面积； (2)平面图形 D 绕 y 轴旋转一周得到旋转体的体积 （分数：7.00）_52.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为 x，y(千件)，甲厂的月生产成本是 C 1 =x 2 -2x+5(千元)，乙厂的生产成本是 C 2 =y 2 +2y+3(千元)
10、，若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂的最优产量和相应的最小成本 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：当 x1 时，不等式 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学模拟 11 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.下列各对函数中相同的是_ A By=lnx 2 与 y=2lnx Cy=(|x|-x)(|-x|+x)与 y=0 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 从定义域与对应法则两个方面验证，只有 C 是完全相同的，故应选 C2.设 f(x)为奇
11、函数，则 F(x)=f(x)(e x -e -x )为_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.无法确定解析：解析 因为 F(-x)=f(-x)(e -x -e x )=f(x)(e x -e -x )=F(x)所以 F(x)为偶函数，故应选 B3.设函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 f(lnx)的定义域为_（分数：2.00）A.(-，+)B.1，e C.0，1D.(0，e解析：解析 f(x)的定义域为0，1，对于 f(lnx)来说应满足 0lnx1，即 1xe，故应选 B4. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 5.下列各式成立的是_ A B C D （
12、分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 故应选 B 而 6.当 x0 时， （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小 C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小解析：解析 因为 所以 7.设函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点 D.第二类间断点解析：解析 因为 8.已知 f(x)在 x=0 的某邻域内连续， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f“(0)=2C.取得极大值D.取得极小值 解析：解析 又由极限的保号性可知存在 x=0 的某去心邻域，使得 9.设 f(x)=xe x ，则 f (n) (x)=_ A.(n+x)ex B.xex C.nxex
13、D.nex（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 f“(x)=(x+1)e x ，f“(x)=(x+2)e x ，f“(x)=(x+3)e x ，f (n) (x)=(x+n)e x 故选 A10.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，则曲线 y=f(x)在(a，b)内平行于 x 轴的切线_（分数：2.00）A.仅有一条B.至少有一条 C.有两条D.不存在解析：解析 由题设知，f(x)在a，b上满足罗尔定理的条件，由定理的几何意义知，平行于 x 轴的切线至少有一条故应选 B11.设 f(x)为偶函数且可导，则_（分数：2.00）A.f(x)在 x
14、=0 处取得极值B.f“(x)=0C.(0，f(0)是曲线的拐点D.f“(0)=0 解析：解析 由 f(-x)=(x)得-f“(-x)=f“(x)，把 x=0 代入得-f“(0)=f“(0)，所以 f“(0)=0，故应选 D12.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=f(b)，但 f(x)不恒为常数，则在(a，b)内_（分数：2.00）A.必有最大值或最小值 B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点 ，使 f“()=0解析：解析 由连续函数在闭区间的最值定理知：在a，b上一定有最大值和最小值，但 f(a)=f(b)，所以至少有一个最值在(a，b)内部取得，故应选
15、 A13.函数 （分数：2.00）A.一个极值点 B.二个极值点C.三个极值点D.零个极值点解析：解析 14.若在区间-1，1上有 f“(x)=(x-1) 2 ，则曲线 f(x)在区间-1，1上是_（分数：2.00）A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的 D.单调增加且是凹的解析：解析 在(-1，1)上 f“(x)0，所以在区间-1，1上 f(x)单调增加， 又 f“(x)=2(x-1)0，所以曲线 f(x)是凸的，故应选 C15.曲线 （分数：2.00）A.有极值点 x=5 但无拐点B.有拐点(5，2)但无极值点 C.有极值点 x=5 及拐点(5，2)D.既无极值点又无
16、拐点解析：解析 16.若 f(x)=e -x ，则f“(lnx)dx=_ A B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 17.极限 _ A1 B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 18._ （分数：2.00）A.0 B.-CD.2解析：解析 被积函数 是奇函数，积分区间 是关于原点对称的，所以19. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 20.由曲线 y=x 2 ，直线 x=1 与 x 轴所围成的区域的面积为_ A1 B2 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意，所求面积为21.若方程 y“+P(x)y=xsinx
17、有特解 y=-xcosx，则其通解为_（分数：2.00）A.y=CxcosxB.y=C-xcosxC.y=-xcos(Cx)D.y=Cx-xcosx 解析：解析 将 y=-xcosx 代入方程，解得 从而微分方程为 而 22.微分方程 y“+y=cosx 的特解可设为_ A.y*=acosx+bsinx B.y*=axcosx C.y*=x2(acosx+bsinx) D.y*=x(acosx+bsinx)（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 f(x)=e 0x cosx 中 0+i=i 是对应齐次方程 y“+y=0 的特征根，因此特解可设为 y * =xe 0x (acosx
18、+bsinx)，即 y * =x(acosx+bsinx)，故应选 D23.已知向量 a，b 的夹角为 ，且 则|a+b|=_ A15 B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 24.设 z=e x cosy，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 25.函数 （分数：2.00）A.(0，0) B.0C.(0，0，1)D.(1，0)解析：解析 令 f x (x，y)=0，f y (x，y)=0，可得 x=y=0， 当 x 2 +y 2 0 时，f(x，y)1， 故 f(x，y)的极大值点为(0，0)，故应选 A26.设 D=(x，y)|x|2，|y|1，则 （分数
19、：2.00）A.8 B.4C.2D.0解析：解析 因为27.设 f(x，y)为连续函数，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设知，积分区域为 因此 28.若曲线 L 是上半圆 x 2 +y 2 =a 2 (y0)，取顺时针方向，则 _ A0 B Ca 2 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 曲线 L 的参数方程为 所以29.下列级数收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 而 收敛，所以30.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 是 的 p-级
20、数，所以级数二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设函数 f(x 2 +1)=x 4 +4x 2 +3，则 f(x-2)= 1 （分数：2.00）解析：x 2 -2x 解析 f(x 2 +1)=x 2 +4x 2 +3=(x 2 +1) 2 +2(x 2 +1)，f(t)=t 2 +2t，再用 t=x-2 代入得 f(x-2)-(x-2) 2 +2(x-2)=x 2 -2x32. （分数：2.00）解析：解析 33.若 （分数：2.00）解析：ln2 解析 34.已知 f(x)=sinx 为可导函数，f(x)在点 x=0.002 处的近似值为 1 （分数：2.00）解析：0.002
21、 解析 f(x 0 +x)f(x 0 )+f“(x 0 )x， 故 f(0.002)f(0)+f“(0)0.002 =sin0+cos00.002 =0.002.35.不定积分为 （分数：2.00）解析：ln|x+sinx|+C解析 36.定积分 （分数：2.00）解析：0解析 37.设方程 e z =xyz 确定隐函数 x=x(y，z)，则 （分数：2.00）解析： 解析 设 F(x，y，z)=e z -xyz， 则 F x =-yz，F z =e z -xy， 38.若 a=1，2，3，b=-1，0，1，以 a，b 为邻边的平行四边形面积为 1 （分数：2.00）解析： 解析 所以平行四边
22、形面积 39.以 y=C 1 e x +C 2 xe x 为通解的微分方程是 1 （分数：2.00）解析：y“-2y“+y=0 解析 由题知，特征方程有二重特征根 r=1， 从而特征方程为 r 2 -2r+1=0， 所以微分方程为 y“-2y“+y=0.40.设 S n 是级数 的前 n 项和，则 （分数：2.00）解析：解析 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.设函数 y=(x 2 -3x) cos2x ，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：两边同取自然对数，得 lny=cos2xln(x 2 -3x)， 两边同对
23、x 求导，得 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 由于|sinx|是以 为周期的周期函数， 又周期函数在任一周期上的积分相等， 因此 45.求过点(2，0，-1)且与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由于所求直线与已知直线平行，所以可取已知直线的方向向量 s，作为它的方向向量，又 又因为所求直线过点(2，0，-1)， 所以，所求直线的方程为 46.设 z=z(x，y)是由方程 x 2 z+2y 2 z 2 +y=0 确定，求 dz （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程两边微分得 d(x 2 z)
24、+2d(y 2 z 2 )+dy=0， 即 2xzdx+x 2 dz+4yz 2 dy+4zy 2 dz+dy=0， 所以(x 2 +4zy 2 )dz=-2xzdx-(4yz 2 +1)dy， 即 47.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示， 则 D=(x，y)|0x1，x-1y1-x， 48.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：原方程化为 y“+2xy=xe -x2 ， 所求方程的通解为 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 x-3=t，则级数化为 它的收敛半径为 当 t=4 时，级数化为 是收敛的， 当 t=-4 时，级数化
25、为 也是收敛的， 故 的收敛域为-4，4， 由-4x-34，得-1x7， 所求级数 50.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 所以 所以 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.设两抛物线 y=2x 2 ，y=3-x 2 及 x 轴所围成的平面图形为 D求： (1)平面图形 D 的面积； (2)平面图形 D 绕 y 轴旋转一周得到旋转体的体积 （分数：7.00）_正确答案：()解析：平面图形如图所示 取 y 的积分变量区间为0，2 (1)根据对称性，平面图形 D 的面积为 (2)所求体积为 52.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为 x，y(千件)，甲厂的
26、月生产成本是 C 1 =x 2 -2x+5(千元)，乙厂的生产成本是 C 2 =y 2 +2y+3(千元)，若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂的最优产量和相应的最小成本 （分数：7.00）_正确答案：()解析：总成本为 z=f(x，y)=x 2 +y 2 -2x+2y+8， 满足条件 x+y=8， 作拉格朗日函数 L=x 2 +y 2 -2x+2y+8+(x+y-8)， 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：当 x1 时，不等式 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 构造函数 则 当 x1 时，f“(x)0，所以 f(x)在1，+)上单调增加 又因为 f(1)=0，所以当 x1 时，f(x)0 恒成立， 即
