1、河南省专升本考试高等数学模拟 10 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设 f(x+1)=x 2 +x，则 f(x)=_ A.(x+1)2 B.(x-1)2 C.x(x+1) D.x(x-1)（分数：2.00）A.B.C.D.2.若 f(x)(xR)为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是_ Af(x)-f(-x) Bff(x) Cf(x)+f(-x) D （分数：2.00）A.B.C.D.3.函数 （分数：2.00）A.(0，3)B.0，3)C.(0，3D.0，34.当 x0 时，ln(1+x)是 sinx 2 的_（分数：2
2、.00）A.高阶无穷小B.低价无穷小C.等价无穷小D.同阳但非等价无穷小5.下列极限与 相等的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知 f“(a)存在，则 （分数：2.00）A.3f“(a)B.2f“(a)C.f“(a)D.07.x=0 是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点8.下列方程在区间(0，1)内至少有一个实根的为_ A.x3+5x2-2=0 B.ex-1=0 C.x-lnx=0 D.x2+1-arctanx=0（分数：2.00）A.B.C.D.9.已知 则 _ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.10.已知函
3、数 f(x)可导，且 则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.11.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线12.arcsinx+arccosx=_ A0 B1 C （分数：2.00）A.B.C.D.13.设函数 （分数：2.00）A.极小值点，但不是最大值点B.极大值点，也是最大值点C.极小值点，但不是最小值点D.极小值点，也是最小值点14.由方程 xy=lnxy 确定的隐函数 x(y)的导数 为_ A B Cxy D （分数：2.00）A.B.C.D.15.f“
4、(x 0 )=0 是曲线 f(x)的图形在 x=x 0 处有拐点的_（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件非必要条件C.必要条件非充分条件D.既非必要条件也非充分条件16._ （分数：2.00）A.xf“(x)-f(x)+CB.f(x)-xf“(x)+CC.xf“(x)-f(x)dxD.xf“(x)-f“(x)+C17.设 f(x)在(0，+)上连续，且 则 f“(1)=_ A-2ln2 B2ln2 C-ln(3x 2 +1) D （分数：2.00）A.B.C.D.18.设 f“(x)在1，2上可积，且 则 （分数：2.00）A.-1B.0C.1D.219.下列广义积分中收敛的是_ A
5、 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.下列图形中阴影部分的面积不等于定积分 的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.通解为 y=Ce x (C 为任意常数)的微分方程为_（分数：2.00）A.y“+y=0B.y“-y=0C.yy“=1D.y-y“+1=022.微分方程 y“+3y=x 的通解是_ Ay=2x+Ce 2x +1 By=xe x +Cx-1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.23.平面 x+ky-2z=9 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则 k=_ A1 B2 C D （分数：2.00）A.B.C.D.24._ （分数：2.00）
6、A.0B.1C.2D.不存在25.对于函数 f(x，y)=x 2 +xy，原点(0，0)_（分数：2.00）A.不是驻点B.是驻点但非极值点C.极大值点D.极小值点26.设 D=(x，y)|-1x1，-2y2，则 （分数：2.00）A.-1B.0C.2D.127.设 D 由 x 2 -2ax+y 2 =0(a0)围成，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.设 L 为从点 O(0，0)到点 A(1，0)再到 B(1，1)的折线，则 _ A1 B C （分数：2.00）A.B.C.D.29.若正项级数 收敛，则_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.设
7、幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）A.(-2，4)B.(-3，3)C.(-4，2)D.(-4，4)二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 f(x)=3x+1，则 ff(x)-1= 1 （分数：2.00）32.若 （分数：2.00）33.设函数 f“(lnx)=2x+1，则 f (2016) (x)= 1 （分数：2.00）34.若 则 （分数：2.00）35.若函数 （分数：2.00）36.设 f(x)在0，1连续， 则 （分数：2.00）37.点 M(3，2，-1)到平面 x+y+z-1=0 的距离为 1 （分数：2.00）38.向量 a=4，-3，4在向量
8、 b=2，2，1上的投影为 1 （分数：2.00）39.以 y=C 1 e -3x +C 2 xe -3x 为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为 1 （分数：2.00）40.幂级数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.用夹逼准则求极限 （分数：5.00）_42.设 （分数：5.00）_43.计算不定积分 （分数：5.00）_44.计算 其中 （分数：5.00）_45.求曲面 （分数：5.00）_46.设 且 z=f(u，v)可微，求 （分数：5.00）_47.计算二次积分 （分数：5.00）_48.求微分方程 y“+3y“+2y=3e -x 的通解 （分数：5.
9、00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.求幂级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求抛物线 y=4-x 2 与直线 y=3x 及 y 轴所围成第一象限内平面图形的面积，并求该图形绕 y 轴旋转一周得到旋转体的体积 （分数：7.00）_52.某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x 单位的产品甲与生产 y 单位的产品乙的总费用是 400+2x+3y+0.01(3x 2 +xy+3y 2 ) 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少? （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设函数 f(x)，g(
10、x)均在闭区间a，b上连续，f(a)=g(b)，f(b)=g(a)，且 f(a)f(b)，证明存在(a，b)，使 f()=g() （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学模拟 10 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设 f(x+1)=x 2 +x，则 f(x)=_ A.(x+1)2 B.(x-1)2 C.x(x+1) D.x(x-1)（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 t=x+1，则 x=t-1，则 f(t)=(t-1) 2 +(t-1)=t 2 -t=t(t-1)，所以 f(x)=x(x-1)，故应选
11、D2.若 f(x)(xR)为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是_ Af(x)-f(-x) Bff(x) Cf(x)+f(-x) D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设 F(x)=f(x)+f(-x)， 则 F(-x)=f(-x)+f(x)=-f(x)+f(x)0， 所以 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数，故应选 C3.函数 （分数：2.00）A.(0，3) B.0，3)C.(0，3D.0，3解析：解析 要使函数有意义，须满足4.当 x0 时，ln(1+x)是 sinx 2 的_（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低价无穷小 C.等价无穷小D.同阳但非等价无穷小解析：解析
12、因为 5.下列极限与 相等的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 6.已知 f“(a)存在，则 （分数：2.00）A.3f“(a) B.2f“(a)C.f“(a)D.0解析：解析 7.x=0 是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点 C.跳跃间断点D.第二类间断点解析：解析 由题知 f(x)在 x=0 处无定义，又因为 所以 x=0 是8.下列方程在区间(0，1)内至少有一个实根的为_ A.x3+5x2-2=0 B.ex-1=0 C.x-lnx=0 D.x2+1-arctanx=0（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 利用零点定理进行验证 对
13、于 A，令 f(x)=x 3 +5x 2 -2，则 f(0)=-2，f(1)=4，f(x)在(0，1)内至少有一零点，所以方程 x 3 +5x 2 -2=0 在(0，1)内至少有一个根，故应选 A9.已知 则 _ A B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 10.已知函数 f(x)可导，且 则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为_ A B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 所以 11.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线 D.既无水平又无垂直渐近线解析：解析 因为 所以 y=0 为水平渐近线，又
14、因为12.arcsinx+arccosx=_ A0 B1 C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设 f(x)=arcsinx+arccosx，则 f(x)在-1，1上连续 所以 f(x)=C(C 为常数)，又 从而 13.设函数 （分数：2.00）A.极小值点，但不是最大值点B.极大值点，也是最大值点C.极小值点，但不是最小值点D.极小值点，也是最小值点 解析：解析 f“(x)=x 2 -1，令 是 f(x)在-2，2上的极小值点， 又 14.由方程 xy=lnxy 确定的隐函数 x(y)的导数 为_ A B Cxy D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 两边微分，
15、得 即 所以 15.f“(x 0 )=0 是曲线 f(x)的图形在 x=x 0 处有拐点的_（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件非必要条件C.必要条件非充分条件D.既非必要条件也非充分条件 解析：解析 曲线的拐点只能是二阶导数为零或者不存在的点，所以 f“(x 0 )=0 不是曲线 f(x)的图形在x=x 0 处有拐点的必要条件反之，f“(x 0 )=0，此时 f(x)在 x=x 0 处不一定有拐点，故应选 D16._ （分数：2.00）A.xf“(x)-f(x)+C B.f(x)-xf“(x)+CC.xf“(x)-f(x)dxD.xf“(x)-f“(x)+C解析：解析 xf“(x)
16、dx=xdf“(x)=xf“(x)-f“(x)dx=xf“(x)-f(x)+C故应选 A17.设 f(x)在(0，+)上连续，且 则 f“(1)=_ A-2ln2 B2ln2 C-ln(3x 2 +1) D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 18.设 f“(x)在1，2上可积，且 则 （分数：2.00）A.-1B.0C.1D.2 解析：解析 19.下列广义积分中收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据 p-广义积分 敛散性结论：p1 发散，p1 时收敛，知前三个广义积分都发散，只有第四个积分收敛，事实上， 20.下列图形中阴影部分的面
17、积不等于定积分 的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由定积分的几何意义知，B、C、D 的阴影面积都与21.通解为 y=Ce x (C 为任意常数)的微分方程为_（分数：2.00）A.y“+y=0B.y“-y=0 C.yy“=1D.y-y“+1=0解析：解析 22.微分方程 y“+3y=x 的通解是_ Ay=2x+Ce 2x +1 By=xe x +Cx-1 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 通解为：23.平面 x+ky-2z=9 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则 k=_ A1 B2 C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析
18、：解析 因为两平面垂直，所以两平面的法向量垂直，则 124+k4-23=0，解得 k=1.故应选A24._ （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.不存在解析：解析 25.对于函数 f(x，y)=x 2 +xy，原点(0，0)_（分数：2.00）A.不是驻点B.是驻点但非极值点 C.极大值点D.极小值点解析：解析 26.设 D=(x，y)|-1x1，-2y2，则 （分数：2.00）A.-1B.0 C.2D.1解析：解析 因为 而积分区域 D 既关于 x 轴，又关于 y 轴对称，所以 因此27.设 D 由 x 2 -2ax+y 2 =0(a0)围成，则 _ A B C D （分数：2.00）A
19、. B.C.D.解析：解析 x 2 -ax+y 2 =0，即(x-a) 2 +y 2 =a 2 ，化为极坐标方程为 28.设 L 为从点 O(0，0)到点 A(1，0)再到 B(1，1)的折线，则 _ A1 B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 所以 29.若正项级数 收敛，则_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 收敛，且 a n 0. 所以对于足够大的 n 有 由正项级数的比较判别法知 30.设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）A.(-2，4) B.(-3，3)C.(-4，2)D.(-4，4)解析：解析 幂级数二、填空
20、题(总题数：10，分数：20.00)31.设 f(x)=3x+1，则 ff(x)-1= 1 （分数：2.00）解析：9x+1解析 ff(x)-1=3f(x)-1+1=3f(x)-2=3(3x+1)-2=9x+1.32.若 （分数：2.00）解析：2e 2t 解析 因为 33.设函数 f“(lnx)=2x+1，则 f (2016) (x)= 1 （分数：2.00）解析：2e x 解析 因为 f“(lnx)=2x+1=2e lnx +1，所以 f“(x)=2e x +1，f (2016) (x)=2e x 34.若 则 （分数：2.00）解析：2xg(x 2 ) 解析 35.若函数 （分数：2.0
21、0）解析： 解析 对 两边求导，得 所以 故 36.设 f(x)在0，1连续， 则 （分数：2.00）解析：4A 解析 由于 f(|cosx|)在(-，+)连续，以 为周期，且为偶函数，则根据周期函数在任一周期上的积分相等以及偶函数的积分性质可得 37.点 M(3，2，-1)到平面 x+y+z-1=0 的距离为 1 （分数：2.00）解析：解析 38.向量 a=4，-3，4在向量 b=2，2，1上的投影为 1 （分数：2.00）解析：2解析 39.以 y=C 1 e -3x +C 2 xe -3x 为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为 1 （分数：2.00）解析：y“+6y“+9y=0 解析
22、由 y=C 1 e -3x +C 2 xe -3x 为通解知，特征方程有二重特征根 r=-3，特征方程为(r+3) 2 =0，即 r 2 +6r+9=0，所以微分方程为 y“+6y“+9y=0.40.幂级数 （分数：2.00）解析：e 2x (-x+) 解析 因为 所以 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.用夹逼准则求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：43.计算不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.计算 其中 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.求曲面 （分数：5.00）_正确答案：()解析
23、：设 F x =x，F y =y，F z =-2z，则所求切平面的法向量 n=1，1，0， 所以切平面方程为 1(x-1)+1(y-1)+0(z-0)=0， 即 x+y-2=0， 法线方程为 46.设 且 z=f(u，v)可微，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 47.计算二次积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由 可知，积分区域 D=(x，y)|0y1，yx1， =(x，y)|0x1，0yx， 积分区域如图所示 48.求微分方程 y“+3y“+2y=3e -x 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由 r 2 +3r+2=0 得 r 1 =-1，r 2 =-2
24、， 故对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e -x +C 2 e -2x 又 f(x)=3e -x ，=-1 为特征方程的单根 可设方程的特解为 y * =axe -x ， 代入原方程得 a=3， 所以特解为 y * =3xe -x ， 故所求方程的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e -2x +3xe -x (C 1 ，C 2 为任意常数)49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 当 时，原级数为 收敛， 当 时，原级数为 发散， 故原级数的收敛域为 50.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 而 于是 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求抛
25、物线 y=4-x 2 与直线 y=3x 及 y 轴所围成第一象限内平面图形的面积，并求该图形绕 y 轴旋转一周得到旋转体的体积 （分数：7.00）_正确答案：()解析：平面图形如图所示， 由 得第一象限内的交点为 A(1，3)， 所求面积为 所求体积为 52.某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x 单位的产品甲与生产 y 单位的产品乙的总费用是 400+2x+3y+0.01(3x 2 +xy+3y 2 ) 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少? （分数：7.00）_正确答案：()解析：L(x，y)表示总利润，则有 L(x，y)=(10x+9y)-400+2x
26、+3y+0.01(3x 2 +xy+3y 2 ) =8x+6y-0.01(3x 2 +xy+3y 2 )-400，(x0，y0)， 由方程组 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设函数 f(x)，g(x)均在闭区间a，b上连续，f(a)=g(b)，f(b)=g(a)，且 f(a)f(b)，证明存在(a，b)，使 f()=g() （分数：6.00）_正确答案：()解析：令 F(x)=f(x)-g(x)，则函数 F(x)在区间a，b上也连续， 且 F(a)=f(a)-g(a)，F(b)=f(b)-g(b) 由于 f(a)f(b)，所以 f(a)f(b)或者 f(a)f(b)， 当 f(a)f(b)时，注意到 f(a)=g(b)，f(b)=g(a)，可知 F(a)=f(a)-g(a)=f(a)-f(b)0，F(b)=f(b)-g(b)=f(b)-f(a)0， 于是由零点定理知存在 (a，b)，使 F()=0，即 f()=g() 类似地可证 f(a)f(b)时结论也成立
