1、概率论与数理统计自考题分类模拟 8 及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：9，分数：50.00)1.设二维随机变量(X，Y)的等可能值为(0，0)，(0，1)，(1，0)(1，1)，求(X，Y)的联合分布函数 （分数：2.50）_袋中有四个球，分别标有数字 1，2，2，3，从袋中任取一球后，不放回，再取第二次，分别以 X、Y 记为第一次、第二次取得球上标有的数字 求：（分数：7.50）(1).X，Y 的联合概率分布（分数：2.50）_(2).X，Y 的边缘分布（分数：2.50）_(3).X 与 y 是否独立?（分数：2.50）_设(X，Y)的联合密度 （分数：
2、7.50）(1).系数 C（分数：2.50）_(2).(X，Y)落在以(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的正方形内的概率（分数：2.50）_(3).问 X、Y 是否独立?（分数：2.50）_设二维随机向量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：7.50）(1).常数 a（分数：2.50）_(2).边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)（分数：2.50）_(3).随机变量(X，Y)落入区域 D=(x，y)|x+y1内的概率（分数：2.50）_2.设随机变量 X 和 Y 相互独立，而且服从相同的 01 分布 B(1，p)又设 （分数：2.50）_设随机变量 X 与 Y 相互独
3、立，且 X 服从0，1上的均匀分布，Y 服从 =1 的指数分布 求：（分数：7.50）(1).X 与 Y 的联合分布函数（分数：2.50）_(2).X 与 Y 的联合密度函数（分数：2.50）_(3).PXy（分数：2.50）_3.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的密度函数为 f(x)，Y 的分布律为 P(Y=a i )=p i ，i=1，2，n试求 Z=X+Y 的密度函数 （分数：2.50）_4.设 X 与 Y 相互独立且同服从参数为 的指数分布 求：Z=minX，Y的概率密度函数 （分数：2.50）_设随机变量 x 服从区间0，0.2上的均匀分布，随机变量 Y 的概率密度为 （分数：
4、9.99）(1).X 的概率密度（分数：3.33）_(2).(X，Y)的概率密度（分数：3.33）_(3).PXY（分数：3.33）_二、综合题(总题数：9，分数：33.00)设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度 （分数：3.00）(1).P(X1，Y1)（分数：1.50）_(2).P(XY)（分数：1.50）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度 （分数：7.50）(1).常数 k（分数：2.50）_(2).P(0X1，0Y2)（分数：2.50）_(3).(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)（分数：2.50）_5.设随机向量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）_6.设随机向量(X，Y
5、)服从二维正态分布 N(0，0，10 2 ，10 2 ，0)，其概率密度 （分数：2.50）_7.某种商品一周需要量是一个随机变量，其概率密度 （分数：2.50）_8.设随机向量(，)的联合密度为 （分数：2.50）_9.设二维随机向量(X，Y)的联合密度为 （分数：2.50）_若(X，Y)的联合分布律为 （分数：7.50）(1).a+b（分数：2.50）_(2).当 X 与 Y 独立时，a，b 的值（分数：2.50）_(3).E(5X-3Y)（分数：2.50）_10.已知相互独立的随机变量 X，Y 的概率密度分别为： （分数：2.50）_三、应用题(总题数：5，分数：17.00)已知随机变量
6、 和 的分布律分别为 （分数：4.50）(1).求(，)的联合分布律（分数：2.25）_(2). 与 是否相互独立?为什么?（分数：2.25）_箱子里装有 12 件产品，其中 2 件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取两次。定义随机变量 X，Y 如下 分别就下面两种情况求出二维随机变量(X，Y)的联合分布列和关于 X，Y 的边缘分布列：（分数：5.00）(1).放回抽样（分数：2.50）_(2).不放回抽样（分数：2.50）_11.假设射手甲、乙的命中率分别为 p 1 和 p 2 ，现独立地各射击一次，以 X 和 Y 分别表示甲和乙命中的次数，求二维随机变量(X，Y)的联合分布函数 F(x，
7、y) （分数：2.50）_两个朋友，相约在早 7 点到 8 点在某地会面，并约定先到者等 20 分钟，过时即离去，X 表示甲到达的时刻，Y 表示乙到达的时刻，设甲、乙两人等可能地在 7 点到 8 点中任一时刻到达，且两人到达的时间是相互独立的，求：（分数：2.50）(1).二维随机变量(X，Y)的概率密度（分数：1.25）_(2).两人会面的概率（分数：1.25）_12.已知随机变量 X 与 Y 相互独立，且二者都服从参数 =2 的指数分布，问：(X，Y)的联合分布函数如何表示? （分数：2.50）_概率论与数理统计自考题分类模拟 8 答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、计算
8、题(总题数：9，分数：50.00)1.设二维随机变量(X，Y)的等可能值为(0，0)，(0，1)，(1，0)(1，1)，求(X，Y)的联合分布函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：(1)x0，或 y0 时，F(x，y)=P(Xx，Yy)=0 (2)0x1，0y1 时， (3)0x1，y1 时，F(x，y)=P(Xx，Yy)=P(0，0)+P(0，1) (4)x1，0y1 时，F(x，y)=PXx，Yy=P(0，0)+P(1，0) (5)x1，y1 时，F(x，y)=P(Xx，Yy) =P(0，0)+(0，1)+P(1，0)+P(1，1) 所以(X，Y)的联合分布函数为： 袋中有四个
9、球，分别标有数字 1，2，2，3，从袋中任取一球后，不放回，再取第二次，分别以 X、Y 记为第一次、第二次取得球上标有的数字 求：（分数：7.50）(1).X，Y 的联合概率分布（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：(2).X，Y 的边缘分布（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：(3).X 与 y 是否独立?（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：由 设(X，Y)的联合密度 （分数：7.50）(1).系数 C（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：(2).(X，Y)落在以(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的正方形内的概率（分数：2.50）_正确答案：()解
10、析：解：(3).问 X、Y 是否独立?（分数：2.50）_正确答案：()解析：解： 设二维随机向量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：7.50）(1).常数 a（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：由联合密度的性质有， (2).边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)（分数：2.50）_正确答案：()解析： 当 0x1 时，有 当 x0 或 x1 时，有 所以 同样可以求出 (3).随机变量(X，Y)落入区域 D=(x，y)|x+y1内的概率（分数：2.50）_正确答案：()解析：2.设随机变量 X 和 Y 相互独立，而且服从相同的 01 分布 B(1，p)又设 （分数：2.50）
11、_正确答案：()解析：解：先求 Z 的分布律 P(Z=0)=P(X+Y=0)+P(X+Y=2) =P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1) =(1-p) 2 +p 2 ， P(Z=1)=1-P(Z=0)=2p(1-p) 其次，要使 Z 与 X 独立，则必须有 P(Z=i，X=j)=P(Z=i)P(X=j)，i，j=0，1 而且反之亦成立将 i，j 分别代入计算可得 解得 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从0，1上的均匀分布，Y 服从 =1 的指数分布 求：（分数：7.50）(1).X 与 Y 的联合分布函数（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：XU0，1 (2).X 与 Y
12、 的联合密度函数（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：(3).PXy（分数：2.50）_正确答案：()解析：解： 3.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的密度函数为 f(x)，Y 的分布律为 P(Y=a i )=p i ，i=1，2，n试求 Z=X+Y 的密度函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：因为 Z 的分布函数为 F Z (z)=P(Zz)=P(X+Yz) 因此，Z 的密度函数为 4.设 X 与 Y 相互独立且同服从参数为 的指数分布 求：Z=minX，Y的概率密度函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：XE()，密度函数为 分布函数为 Z=minX，Y的
13、分布函数为 F Z (z)=PZz=PminX，Yz=1-PminX，Yz =1-PXz，Yz=1-PXzPY2 =1-1-F X (z)1-F Y (z)=1-1-F X (z) 2 ， 设随机变量 x 服从区间0，0.2上的均匀分布，随机变量 Y 的概率密度为 （分数：9.99）(1).X 的概率密度（分数：3.33）_正确答案：()解析：解：X 的概率密度为(2).(X，Y)的概率密度（分数：3.33）_正确答案：()解析：解：X 与 Y 相互独立， (3).PXY（分数：3.33）_正确答案：()解析：解：积分区域如图 二、综合题(总题数：9，分数：33.00)设二维随机变量(X，Y)
14、的联合概率密度 （分数：3.00）(1).P(X1，Y1)（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：(2).P(XY)（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：设二维随机变量(X，Y)的概率密度 （分数：7.50）(1).常数 k（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：由(X，Y)的联合概率密度的性质，有 (2).P(0X1，0Y2)（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：(3).(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：当 x0 或 y0 时，F(x，y)=P(Xx，Yy)=0；当 x0 且 y0 时， 所以(X，y)的联合分布函数 5.设
15、随机向量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解： 其中积分区域 G 如图 所以 6.设随机向量(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0，10 2 ，10 2 ，0)，其概率密度 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解： G 如图 所以 7.某种商品一周需要量是一个随机变量，其概率密度 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：设第 i 周(i=1，2，3)的商品需要量为 T i ，由已知条件，它们是相互独立且服从相同分布的随机变量 两周商品的需要量为 Z=T 1 +T 2 ，其概率密度 8.设随机向量(，)的联合密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解
16、： 所以 a=2 9.设二维随机向量(X，Y)的联合密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解： 当 x0 或 x1 时，f(x，y)=0，故 f X (x)=0， 当 0x1 时， 当 0x1 时， 所以 当 y1 或 y0 时， ，故 f Y (y)=0， 当 0y1 时， 所以 若(X，Y)的联合分布律为 （分数：7.50）(1).a+b（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：(2).当 X 与 Y 独立时，a，b 的值（分数：2.50）_正确答案：()解析：解： X 与 Y 独立 PX=1，Y=2=PX=1PY=2即 (3).E(5X-3Y)（分数：2.50）_正确答案：(
17、)解析：解： 10.已知相互独立的随机变量 X，Y 的概率密度分别为： （分数：2.50）_正确答案：()解析：解： 因 故当 z0 时，f Z (z)=0； 当 0z1 时， (当 0z1 时，z-10，积分域为 0 至 z) 当 z1 时， 故 三、应用题(总题数：5，分数：17.00)已知随机变量 和 的分布律分别为 （分数：4.50）(1).求(，)的联合分布律（分数：2.25）_正确答案：()解析：解：设(，)的联合分布律为： 因为 P=0=1，所以 P0=1-P=0=1-1=0，b=P=-1，=1=0，f=P=1，=1=0 根据联合分布与边缘分布之间的关系有： ，解得 ，c=0，得
18、(，)的联合分布律为： (2). 与 是否相互独立?为什么?（分数：2.25）_正确答案：()解析：解：因为箱子里装有 12 件产品，其中 2 件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取两次。定义随机变量 X，Y 如下 分别就下面两种情况求出二维随机变量(X，Y)的联合分布列和关于 X，Y 的边缘分布列：（分数：5.00）(1).放回抽样（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：放回抽样，由事件的独立性和概率的古典定义，有： 所以(X，Y)的联合分布列和关于 X，Y 的边缘分布列为： (2).不放回抽样（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：不放回抽样由乘法公式有： 所以(X，Y)的联合分
19、布列和关于 X，Y 的边缘分布列为： 11.假设射手甲、乙的命中率分别为 p 1 和 p 2 ，现独立地各射击一次，以 X 和 Y 分别表示甲和乙命中的次数，求二维随机变量(X，Y)的联合分布函数 F(x，y) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：(1)当 x0 或 y0 时， F(x，y)=P(Xx，Yy)=0 (2)当 0x1，0y1 时， F(x，y)=P(Xx，Yy) =P(0，0)=(1-p 1 )(1-P 2 ) (3)当 0x1，y1 时， F(x，y)=P(Xx，Yy)=P(0，0)+P(0，1) =(1-p 1 )(1-p 2 )+(1-p 1 )p 2 =1-p 1
20、 (4)当 x1，0y1 时， F(x，y)=P(Xx，Yy) =P(0，0)+P(1，0) =(1-P 1 )(1-p 2 )+p 1 (1-p 2 )=1-p 2 (5)当 x1，y1 时， F(x，y)=P(Xx，Yy) =P(0，0)+P(0，1)+P(1，0)+P(1，1) =(1-p 1 )(1-p 2 )+(1-p 1 )p 2 +p 1 (1-p 2 )+p 1 p 2 =1 所以二维随机变量(X，Y)的联合分布函数 两个朋友，相约在早 7 点到 8 点在某地会面，并约定先到者等 20 分钟，过时即离去，X 表示甲到达的时刻，Y 表示乙到达的时刻，设甲、乙两人等可能地在 7 点
21、到 8 点中任一时刻到达，且两人到达的时间是相互独立的，求：（分数：2.50）(1).二维随机变量(X，Y)的概率密度（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：由题设得，X 服从 U7，8，Y 服从 U7，8，又 X 和 Y 是相互独立的，则有 (2).两人会面的概率（分数：1.25）_正确答案：()解析：解：两人会面的概率为： 积分区域如图所示 12.已知随机变量 X 与 Y 相互独立，且二者都服从参数 =2 的指数分布，问：(X，Y)的联合分布函数如何表示? （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：由题意 X 的密度函数为 由此分布函数为 同理 Y 的分布函数为 根据 X 与 Y 相互独立，有联合分布函数为 F(x，y)=F X (x)F Y (y)
