1、概率论与数理统计自考题分类模拟 7 及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、一单项选择题(总题数：16，分数：40.00)1.下列函数中可以作为某个二维随机变量的分布函数的是 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.2.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，其边缘分布函数 F X (x)是_ A B （分数：2.50）A.B.C.D.3.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)，则_不成立（分数：2.50）A.Px1Xx2，y1Yy2=F(x2，y2)-F(x1，y1)B.PXx=F(x，+)C.F(-，y)=0D.F(-，+)=14.设二维随
2、机向量(，)的联合分布律为 ，则有_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.5.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 则 PXY=2=_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.6.(X，Y)的联合分布律为 关于 x 是边缘分布律为 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.7.下列函数中，可以作为某个二维连续型随机变量的密度函数的是_ Af 1 (x，y)=sinx，(x，y)R 2 B C D （分数：2.50）A.B.C.D.8.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则 P0X1，0Y1=_ A B C （分数：2.50）A.B.C.D.9.设二维随机变量(X
3、，Y)的概率密度为 则当 0y1 时，(X，Y)关于 Y 的边缘概率密度为 f Y (y)=_ A B2x C （分数：2.50）A.B.C.D.10.F(x，y)，F X (x)，F Y (y)分别是二维随机变量(X，Y)的分布函数和边缘分布函数，f(x，y)，f X (x)，f Y (y)分别是(X，Y)的联合密度和边缘密度，则一定有_（分数：2.50）A.F(x，y)=FY(x)FY(y)B.f(x，y)=fX(x)fY(y)C.X 与 Y 独立时，F(x，y)=FX(x)FY(y)D.f(x，y)=fX(x)+fY(y)11.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.50）A.a
4、=0.2，b=0.6B.a=-0.1，b=0.9C.a=0.4，b=0.4D.a=0.6，b=0.212.设二维随机变量(X，Y)的密度函数为 （分数：2.50）A.独立且有相同分布B.不独立但有相同分布C.独立而分布不同D.不独立也不同分布13.， 独立并且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则_服从相应区间或区域上的均匀分布_ A. 2 B.- C.+ D.(，)（分数：2.50）A.B.C.D.14.设随机变量 X i 的分布律为 i=1，2，且 P(X 1 X 2 =0)=1，则 P(X 1 -X 2 )为_ A0 B C （分数：2.50）A.B.C.D.15.设随机变量 XN(-1，
5、2 2 )，YN(-2，3 2 )，且 X 与 Y 相互独立，则 XY_ AN(-3，-5) BN(-3，13) D （分数：2.50）A.B.C.D.16.设二维随机变量 ，且 X 与 Y 相互独立，则_ A 1 = 2 B=0 C D （分数：2.50）A.B.C.D.二、填空题(总题数：21，分数：52.00)17.设随机变量 X 与 Y 的联合分布为 （分数：2.50）18.同时抛掷一枚五分硬币和一枚二分硬币，设 ， （分数：2.50）19.若二维随机变量(x，y)的分布为 （分数：2.50）20.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.50）21.设平面区域 D 由曲线 （分
6、数：2.50）22.二元随机变量 X、Y 的联合概率密度为 （分数：2.50）23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）24.设二维连续随机向量(X，Y)是 C：x 2 +y 2 R 2 上的均匀分布，其概率密度 （分数：2.50）25.(X，Y)服从矩形区域 D=(x，y)|0x2，0y2上的均匀分布，则 P0X1，1Y2= 1 （分数：2.50）26.设 D 为平面上的有界区域，其面积为 S(S0)，如果二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）27.设二维连续随机向量(X，Y)的概率密度 （分数：2.50）28.设 X 与 Y 均服从正态分布 N(0， 2
7、 )，而且 （分数：2.50）29.若二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 （分数：2.50）30.随机变量 X，Y 相互独立且服从同一分布， （分数：2.50）31.设随机变量 X，Y 相互独立，概率密度分别为 （分数：2.50）32.如要 X 与 Y 独立，且都服从0，1上的均匀分布，则二维随机变量(X，Y)的密度函数为 1 （分数：2.50）33.设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为 （分数：2.50）34.若 X 与 Y 独立，密度函数分别为 （分数：2.50）35.若 XN(0，1)，YN(0，1)，X 与 Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度函数
8、f Z (z)= 1. （分数：2.50）36.设 X，Y 是二维连续随机变量，其概率密度为 f(x，y)，关于 X、Y 的边缘概率密度为 f X (x)、f Y (y)X、Y 相互独立，则 Z=X+Y 的概率密度为 f Z (z)为 1 （分数：2.50）37.若随机变量 X 与 Y 相互独立，且有相同分布 N(0，1)，则 X+Y 1 （分数：2.00）三、计算题(总题数：2，分数：8.00)38.设事件 A，B 满足 令 （分数：2.50）_某灯箱广告牌上有七只灯棒分成两排，第一排三只，第二排四只设 X，Y 分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯棒数，且(X，Y)取任一可能值的概
9、率相等，试写出(X，Y)的概率函数及概率分布表，并求下列事件的概率： 在规定时间内：（分数：5.49）(1).第一排烧坏的灯棒不超过一个（分数：1.83）_(2).两排烧坏的灯棒数相等（分数：1.83）_(3).第一排烧坏的灯棒数不超过第二排烧坏的灯棒数（分数：1.83）_概率论与数理统计自考题分类模拟 7 答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、一单项选择题(总题数：16，分数：40.00)1.下列函数中可以作为某个二维随机变量的分布函数的是 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 作为二维随机变量分布函数 F(x，y)对于任意的 x 1 x 2 ，y
10、1 y 2 应有 F(x 2 ，y 2 )-F(x 2 ，y 1 )-F(x 1 ，y 2 )+F(x 1 ，y 1 )02.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，其边缘分布函数 F X (x)是_ A B （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 (X，Y)的分布函数 F(x，y)=P(Xx，Yy)，y+表示-Y+，这是 X 的边缘分布所要求的3.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)，则_不成立（分数：2.50）A.Px1Xx2，y1Yy2=F(x2，y2)-F(x1，y1) B.PXx=F(x，+)C.F(-，y)=0D.F(-，+)=1解析：解析 由 F
11、(x，y)=PXx，Yy直接推出 B、C、D，但 F(-，y)=P(Yy，Px 1 Xx 2 ，y 1 Yy 2 =F(x 2 ，y 2 )+F(x 1 ，y 1 )-F(x 1 ，y 2 )-F(x 2 ，y 1 )，如图 4.设二维随机向量(，)的联合分布律为 ，则有_ A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 由分布律性质知5.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 则 PXY=2=_ A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 PXY=2=PX=1，Y=2+PX=2，Y=1 6.(X，Y)的联合分布律为 关于 x 是边缘分布律为 A B C D （
12、分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 P(x=0)=0.1+0.1+0.3=0.5 P(x=1)=1-P(x=0)=1-0.5=0.5 x 的边缘分布律为 7.下列函数中，可以作为某个二维连续型随机变量的密度函数的是_ Af 1 (x，y)=sinx，(x，y)R 2 B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 概率密度 f(x，y)应满足以下性质(1)f(x，y)0；(2)8.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则 P0X1，0Y1=_ A B C （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 二维随机变量(x，y)的概率密度为： 9.设二维随机变量(X，Y)的概
13、率密度为 则当 0y1 时，(X，Y)关于 Y 的边缘概率密度为 f Y (y)=_ A B2x C （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 0y1 时，10.F(x，y)，F X (x)，F Y (y)分别是二维随机变量(X，Y)的分布函数和边缘分布函数，f(x，y)，f X (x)，f Y (y)分别是(X，Y)的联合密度和边缘密度，则一定有_（分数：2.50）A.F(x，y)=FY(x)FY(y)B.f(x，y)=fX(x)fY(y)C.X 与 Y 独立时，F(x，y)=FX(x)FY(y) D.f(x，y)=fX(x)+fY(y)解析：解析 若对于任意实数 x，y 有 F(x，
14、y)=F X (x)F Y (y)则称 x 与 y 相互独立反之也成立11.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.50）A.a=0.2，b=0.6B.a=-0.1，b=0.9C.a=0.4，b=0.4 D.a=0.6，b=0.2解析：解析 X 与 Y 相互独立，P(XY)=P(X)P(Y)，由此得出 P(X=0，Y=0)=0.2(0.1+a)=0.1，P(X=1，Y=1)=(0.1+b)(a+b)=b， 同时，由概率定义得(0.1+a)+(0.1+b)=112.设二维随机变量(X，Y)的密度函数为 （分数：2.50）A.独立且有相同分布 B.不独立但有相同分布C.独立而分布不同D.不
15、独立也不同分布解析：解析 分别求出 X，Y 的边缘分布得： 13.， 独立并且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则_服从相应区间或区域上的均匀分布_ A. 2 B.- C.+ D.(，)（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 14.设随机变量 X i 的分布律为 i=1，2，且 P(X 1 X 2 =0)=1，则 P(X 1 -X 2 )为_ A0 B C （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 将(X 1 ，X 2 )的边缘分布律和联合分布律列表如下： 由 P(X 1 X 2 =0)=1 得 P(X 1 X 2 0)=0，即 p 11 =p 13 =p 31 =p 33 =0
16、，于是推出 15.设随机变量 XN(-1，2 2 )，YN(-2，3 2 )，且 X 与 Y 相互独立，则 XY_ AN(-3，-5) BN(-3，13) D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 X-Y=N(-1，2 2 )-N(-2，3 2 )=N(-1+2，2 2 +3 2 )=N(1，13)16.设二维随机变量 ，且 X 与 Y 相互独立，则_ A 1 = 2 B=0 C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 若 X 与 Y 相互独立，则对任意的 x，y 有 f(x，y)=f X (x)f Y (y)， 现令 x=u 1 ，y=u 2 代入 f(x，y)有 从而
17、得 二、填空题(总题数：21，分数：52.00)17.设随机变量 X 与 Y 的联合分布为 （分数：2.50）解析：0.6解析 0.16+0.24=0.4，+=1-0.4=0.618.同时抛掷一枚五分硬币和一枚二分硬币，设 ， （分数：2.50）解析：19.若二维随机变量(x，y)的分布为 （分数：2.50）解析： 解析 由题意 0.25+0.25+0.3+=1，=0.2，故 Y 的边缘分布为 20.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.50）解析：0.2 解析 PX1，Y2 一 PX=0，Y=1+PX=0，Y=2 =0.1+0.1=0.221.设平面区域 D 由曲线 （分数：2.5
18、0）解析： 解析 因为 D 的面积为 于是(X，Y)的联合密度为 又 X 的边缘密度为 故 x=2 处，边缘密度的值为 22.二元随机变量 X、Y 的联合概率密度为 （分数：2.50）解析：解析 23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）解析：解析 24.设二维连续随机向量(X，Y)是 C：x 2 +y 2 R 2 上的均匀分布，其概率密度 （分数：2.50）解析：解析 由題意知(x，y)为服从圆形区域 D 上的均匀分布，则(x，y)的概率密度为25.(X，Y)服从矩形区域 D=(x，y)|0x2，0y2上的均匀分布，则 P0X1，1Y2= 1 （分数：2.50）解析： 解
19、析 矩形的面积为 4， 26.设 D 为平面上的有界区域，其面积为 S(S0)，如果二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）解析：区域 D 上的均匀分布解析 本题考查二维连续型随机变量的均匀分布的定义，由定义可知(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布27.设二维连续随机向量(X，Y)的概率密度 （分数：2.50）解析：解析 28.设 X 与 Y 均服从正态分布 N(0， 2 )，而且 （分数：2.50）解析： 解析 P(X2，Y-2) =1-P(X2)(Y-2) =1-P(X2)-P(Y-2)+P(X2，Y-2) 29.若二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 （分数：2.50）解
20、析： 解析 由题意知 30.随机变量 X，Y 相互独立且服从同一分布， （分数：2.50）解析： 解析 分析：由 x、y 的独立性可得 P(X=Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1) 31.设随机变量 X，Y 相互独立，概率密度分别为 （分数：2.50）解析：解析 由于 X 与 Y 相互独立，所以32.如要 X 与 Y 独立，且都服从0，1上的均匀分布，则二维随机变量(X，Y)的密度函数为 1 （分数：2.50）解析： 解析 X，Y 都服从0，1上的均匀分布 又因为 X，Y 相互独立，所以 33.设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为 （分数：2.50）
21、解析： 解析 Z=max(X，Y)的可能取值为 0，1，且 P(Z=0)=P(max(X，Y)=0) =P(X=0，Y=0) =P(X=0)P(Y=0) P(Z=1)=P(max(X，Y)=1) =P(X=0，Y=1) =P(X=1，Y=0) =P(X=1，Y=1) 故 Z 的分布律为 也可利用对立事件的概率公式得到 34.若 X 与 Y 独立，密度函数分别为 （分数：2.50）解析： 解析 X 与 Y 独立，则(X，Y)的概念率密度函数 35.若 XN(0，1)，YN(0，1)，X 与 Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度函数 f Z (z)= 1. （分数：2.50）解析： 解析 令 得
22、36.设 X，Y 是二维连续随机变量，其概率密度为 f(x，y)，关于 X、Y 的边缘概率密度为 f X (x)、f Y (y)X、Y 相互独立，则 Z=X+Y 的概率密度为 f Z (z)为 1 （分数：2.50）解析：或 解析 由独立随机变量和的卷积公式即得37.若随机变量 X 与 Y 相互独立，且有相同分布 N(0，1)，则 X+Y 1 （分数：2.00）解析：N(0，2) 解析 X 与 Y 独立同分布于 N(0，1)，则 X+YN(， 2 )，其中 =E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0， 2 =D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2， 即 X+YN(0，2)三、计算题(总题数：2，分数
23、：8.00)38.设事件 A，B 满足 令 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：由已知条件可得 于是 故(X，Y)的联合分布律为 某灯箱广告牌上有七只灯棒分成两排，第一排三只，第二排四只设 X，Y 分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯棒数，且(X，Y)取任一可能值的概率相等，试写出(X，Y)的概率函数及概率分布表，并求下列事件的概率： 在规定时间内：（分数：5.49）(1).第一排烧坏的灯棒不超过一个（分数：1.83）_正确答案：()解析：解：X 的可能取值为 0，1，2，3 Y 的可能取值为 0，1，2，3，4 (X，Y)的可能取值共有 20 个，(X，Y)的概率函数为 ，i=0，1，2，3，j=0，1，2，3，4 Px1=PX=0+PX=1 (2).两排烧坏的灯棒数相等（分数：1.83）_正确答案：()解析：解： (3).第一排烧坏的灯棒数不超过第二排烧坏的灯棒数（分数：1.83）_正确答案：()解析：解：
