1、概率论与数理统计自考题分类模拟 6 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、综合题(总题数：9，分数：60.00)某气象站天气预报的准确率为 0.8，且各次预报之间相互独立 试求：（分数：7.00）(1).5 次预报全部准确的概率声 p 1 （分数：3.50）_(2).5 次预报中至少有 1 次准确的概率声 p 2 （分数：3.50）_设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分钟)具有概率密度 （分数：7.00）(1).求该顾客未等到服务而离开窗口的概率 PX9（分数：3.50）_(2).若该顾客一个月内要去银行 5 次，以 Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，即事件X
2、9在 5 次中发生的次数，试求 PY=0（分数：3.50）_1.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：3.50）_已知随机变量 X 的密度为 且 （分数：7.00）(1).求 a，b（分数：3.50）_(2).计算 （分数：3.50）_2.设 F(x)为连续型随机变量的分布函数，而且 F(0)=0，试证明 （分数：3.50）_设随机变量 X 的概率密度为 且 （分数：10.50）(1).常数 a，b（分数：3.50）_(2).X 的分布函数 F(x)（分数：3.50）_(3).E(X)（分数：3.50）_设随机变量 X 的分布函数为： （分数：7.00）(1).系数 A（分数：3.50）_(2
3、).P(0.3X0.7)（分数：3.50）_司机通过某高速路收费站等候的时间 X(单位：分钟)服从参数为 （分数：7.00）(1).求某司机在此收费站等候时间超过 10 分钟的概率声 p（分数：3.50）_(2).若该司机一个月要经过此收费站两次，用 Y 表示等候时间超过 10 分钟的次数，写出 Y 的分布律，并求 Py1（分数：3.50）_求 Y=X 2 的概率密度 f Y (y)，假设：（分数：7.50）(1).X 具有概率密度 f X (x)（分数：3.75）_(2).X 服从标准正态分布 N(0，1)（分数：3.75）_二、应用题(总题数：8，分数：40.00)3.抛掷硬币 10 次，
4、写出国徽向上次数 X 的分布列，并求国徽向上次数不小于 3 的概率 （分数：3.50）_电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求：（分数：7.00）(1).每分钟恰有 6 次呼唤的概率（分数：3.50）_(2).每分钟呼唤次数不超过 10 的概率（分数：3.50）_4.设连续型随机变量 X 的密度函数为 （分数：3.50）_设随机变量 的分布函数为 （分数：10.50）(1).常数 A（分数：3.50）_(2). 的密度函数 p(x)（分数：3.50）_(3).P1（分数：3.50）_设某种元件的寿命(以小时计)的概率密度为： （分数：5.00）(1).最初 1500 小时内没
5、有一个损坏的概率（分数：2.50）_(2).只有一个损坏的概率（分数：2.50）_5.对圆片直径进行测量，测量值 X 服从均匀分布 U(5，6)，求圆片面积 Y 的概率密度 （分数：3.50）_6.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在 0.01 以下来设计的，设男子身长 X 服从=170(厘米)，=6(厘米)的正态分布，即 XN(170，6 2 )，问车门高度应如何确定? （分数：3.50）_7.设电压 V=Asin，其中 A 是一个正常数，相角 是一个随机变量，服从均匀分布 （分数：3.50）_概率论与数理统计自考题分类模拟 6 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)
6、一、综合题(总题数：9，分数：60.00)某气象站天气预报的准确率为 0.8，且各次预报之间相互独立 试求：（分数：7.00）(1).5 次预报全部准确的概率声 p 1 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解：p 1 =(0.8) 5 0.328(2).5 次预报中至少有 1 次准确的概率声 p 2 （分数：3.50）_正确答案：()解析：p 2 =1-(0.2) 5 0.99971设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分钟)具有概率密度 （分数：7.00）(1).求该顾客未等到服务而离开窗口的概率 PX9（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：(2).若该顾客一个月内要去银行
7、5 次，以 Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，即事件X9在 5 次中发生的次数，试求 PY=0（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：由题设知 YB(5，e -3 )，则 1.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解：在 F(x)的连续点 x，显然有 P(X=x)=F(x)-F(x-0)=F(x)-F(x)=0， 而在间断点有 P(X=-1)=F(-1)-F(-1-0)=0.4-0=0.4， P(X=1)=F(1)-F(1-0)=0.8-0.4=0.4， P(X=3)=F(3)-F(3-0)=1-0.8=0.2 故 X 的分布律为 已知随机变量 X 的密
8、度为 且 （分数：7.00）(1).求 a，b（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：由 及 可知 得 即 得 (2).计算 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解：由题知 2.设 F(x)为连续型随机变量的分布函数，而且 F(0)=0，试证明 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解：(1)显然有 0G(x)1 (2)G(x)单调不减，事实上，当 x 1 x 2 1 时，G(x 1 )=G(x 2 )=0； 当 x 1 1x 2 时， ，从而 所以 当 x 2 x 1 1 时， ，于是 F(x 1 )F(x 2 )， ，故 即在整个数轴上 G(x)单调不减 (3)G(x)右连续事实
9、上，当 x 0 1 时， 当 x 0 1 时，由 F(x)为连续型随机变量的分布函数，从而为连续函数，于是 设随机变量 X 的概率密度为 且 （分数：10.50）(1).常数 a，b（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：由 解得 (2).X 的分布函数 F(x)（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：当 x0 时，F(x)=0； 当 0x2 时， 当 x2 时，F(x)=1， 即 X 的分布函数为 (3).E(X)（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：设随机变量 X 的分布函数为： （分数：7.00）(1).系数 A（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：由于 X 的分布函
10、数 F(x)对任意自变量 x 是右连续的，因此有(2).P(0.3X0.7)（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：P(0.3X0.7)=P(X0.7)-p(X0.3)=F(0.7)-F(0.3)=0.7 2 -0.3 2 =0.4司机通过某高速路收费站等候的时间 X(单位：分钟)服从参数为 （分数：7.00）(1).求某司机在此收费站等候时间超过 10 分钟的概率声 p（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：(2).若该司机一个月要经过此收费站两次，用 Y 表示等候时间超过 10 分钟的次数，写出 Y 的分布律，并求 Py1（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：YB(2，e -
11、2 )， Py1=1-PY=0 =1-(1-e -2 ) 2 =2e -2 -e -4 求 Y=X 2 的概率密度 f Y (y)，假设：（分数：7.50）(1).X 具有概率密度 f X (x)（分数：3.75）_正确答案：()解析：解：当 y0 时，Y 的分布函数 F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y)=0，所以 f Y (y)=0 当 y0 时，Y 的分布函数 上式两边对 y 求导数得： 从而 (2).X 服从标准正态分布 N(0，1)（分数：3.75）_正确答案：()解析：解：当 XN(0，1)时， 从而 二、应用题(总题数：8，分数：40.00)3.抛掷硬币 10 次，写出国徽
12、向上次数 X 的分布列，并求国徽向上次数不小于 3 的概率 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解：(1)设 A=国徽向上，则 P(A)=0.5抛掷 10 次硬币，即做了 10 次重复独立试验，国徽向上的次数 X 服从二项分布，所以 X 的分布列为： (k=0，1，2，10) (2)P(X3)=1-P(X3) =1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2) 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求：（分数：7.00）(1).每分钟恰有 6 次呼唤的概率（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：设每分钟的呼唤次数为 X，由于呼唤次数 X 服从泊松分布，则有： (2).每分钟
13、呼唤次数不超过 10 的概率（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：4.设连续型随机变量 X 的密度函数为 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解： 由于被积函数 f(t)为分段函数，因此需要对积分上限 x 进行讨论 (1)当 x0 时，F(x)=0 (2)当 时， (3)当 时， (4)当 时， (5)当 时，F(x)=1 故分布函数为 另外，f(x)和 F(x)的图形如下： 设随机变量 的分布函数为 （分数：10.50）(1).常数 A（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：由(2). 的密度函数 p(x)（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：(3).P1（分数：3.50
14、）_正确答案：()解析：设某种元件的寿命(以小时计)的概率密度为： （分数：5.00）(1).最初 1500 小时内没有一个损坏的概率（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：设 X=一个元件能使用 1500 小时以上，最初 1500 小时内没有一个损坏，即三个元件都能使用到 1500 小时以上 所以三个元件在 1500 小时内没有损坏的概率为： (2).只有一个损坏的概率（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：设 Y 表示三个元件能使用到 1500 小时损坏的个数，则 (Y=0，1，2，3)则只有一个损坏的概率为：5.对圆片直径进行测量，测量值 X 服从均匀分布 U(5，6)，求圆片面
15、积 Y 的概率密度 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解：由于 XU(5，6)，所以 X 的概率密度 当 时， ，f Y (y)=F “ Y (y)=0； 当 时， 且 f Y (y)=F Y (y)，根据积分上限函数导数的性质有 当 y9 时， 从而 f Y (y)=0则 的概率密度 6.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在 0.01 以下来设计的，设男子身长 X 服从=170(厘米)，=6(厘米)的正态分布，即 XN(170，6 2 )，问车门高度应如何确定? （分数：3.50）_正确答案：()解析：解：设车门高度为 h 厘米，按设计要求有 P(Xh)0.01 或 P(Xh)0.99 故 查表得 (2.33)=0.99010.99 所以 7.设电压 V=Asin，其中 A 是一个正常数，相角 是一个随机变量，服从均匀分布 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解：随机变量 的概率密度 函数 =Asin 在 上是单增函数，故其反函数 在对应的区间(-A，A)上也是单增函数，于是随机变量 的概率密度
