1、概率论与数理统计自考题分类模拟 13 及答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：23，分数：12.00)1.设总体 X 的均值 与方差 2 都存在，且均为未知参数，而 X 1 ，X 2 ，X n 是该总体的一个样本，记 ，则总体方差 2 的矩估计为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.2.设总体 X 服从泊松分布： (k=0，1，2，)，其中 0 为未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为样本，记 ，则下面几种说法中，错误的是_ A 是 的无偏估计 B 是 的矩估计 C 是 E(X)的矩估计 D （分数：0.50）A.B.C.D.3.在数理统
2、计中，参数估计可分为点估计和_（分数：0.50）A.矩估计B.假设检验C.区间估计D.极大似然估计4.矩估计必然是_（分数：0.50）A.无偏估计B.总体矩的函数C.样本矩的函数D.极大似然估计5.设总体 X 为参数为 的动态分布，今测得 X 的样本观测值为 0.1，0.2，0.3，0.4，则参数 的矩估计值 （分数：0.50）A.0.2B.0.25C.1D.46.设总体 XE()，则 的矩估计和极大似然估计分别为_ A矩估计 ，极大似然估计 B矩估计 ，极大似然估计 C矩估计 ，极大似然估计 D矩估计 ，极大似然估计 （分数：0.50）A.B.C.D.7.总体 X 服从0，上的均匀分布，0，
3、抽取样本 x 1 ，x 2 ，x n ，若用矩估计法求出 的估计量为 ，则 _ A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.8.极大似然估计必然是_（分数：0.50）A.矩估计B.似然函数的极值点C.似然方程的根D.无偏估计9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的样本， 和 2 都未知，则 （分数：0.50）A.B.C.D.10.设 是未知参数 的一个估计量，若 ，则 （分数：0.50）A.极大似然估计B.矩估计C.有效估计D.有偏估计11.样本(X 1 ，X 2 ，X n )来自总体 X，E(X)=，D(X)= 2 ，则有_ AX i (1in)是 的无偏估
4、计 B 是 2 的无偏估计 C 是 2 的无偏估计 D （分数：0.50）A.B.C.D.12.设总体 XN(， 2 )，其中 未知，x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 为来自总体 X 的一个样本，则以下关于 的四个估计： 中，哪一个是无偏估计?_ A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.13.X 1 ，X 2 ，X 10 是总体 X 的一个样本，下列统计量中，不是 E(X)= 的无偏估计量的是_ A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.14.设总体 X 的分布中带有未知参数 ，X 1 ，X 2 ，X n ，为样本， (X 1 ，X 2 ，X n )和 (X 1 ，X 2
5、 ，X n )是参数 的两个无偏估计对任意的样本容量 n，若 为比 有效的估计量，则必有_ A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.15.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的一个样本，X 具有期望值 ，那么下列统计量中_是 的最有效的无偏估计 A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.16.下列结论不一定正确的是_ A总体未知参数的估计量一定是统计量 B无论总体服从什么分布， 是总体均值的无偏估计量 C无论总体服从什么分布， 是总体方差的无偏估计量 D若 是 的两个估计量，如果 （分数：0.50）A.B.C.D.17.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，x
6、 1 ，x 2 ，x 3 为取自 X 的容量为 3 的样本，则 的三个估计量 为_ A三个都不是 的无偏估计 B三个都是 的无偏估计， 最有效 C三个都是 的无偏估计， 最有效 D三个都是 的无偏估计， （分数：0.50）A.B.C.D.18.对总体 XN(， 2 )的均值 作区间估计，得到置信度为 95%的置信区间，其意是指这个区间_（分数：0.50）A.平均含总体 95%的值B.平均含样本 95%的值C.有 95%的机会含 的值D.有 95%的机会含样本的值19.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自 XN(， 2 )的样本，其中 2 已知，令 ，并给定(01)，如果 ，则_不成立 A 为
7、置信水平 B1- 为置信水平 Cn 为样本容量 D （分数：0.50）A.B.C.D.20.设总体 X 服从正态分布 N(， 0 2 )，其中 0 2 已知，X 1 ，X 2 ，X n 为样本，记 ，对于给定的 值(01)，若 的置信水平为 1- 的置信区间下限为 ，则该区间的上限为_ A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.21.设总体 XN(， 2 )，抽取容量为 n 的样本，在置信度为 1- 时， 2 的位置区间为_ A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.22.设总体 XN( 1 ， 1 2 )与总体 YN( 2 ， 2 2 )相互独立， 1 ， 2 ， 1 2 ，
8、 2 2 均为未知参数，X 1 ，X 2 ，X n1 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n2 分别为总体 X，Y 的样本，记 ，则 的置信水平为 0.95 的置信区间为_ A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.23.设 x 1 ，x 2 ，x n1 与 y 1 ，y 2 ，y n2 分别是总体 与总体 的样本且相互独立，其中 为已知， 1 ， 2 未知，则 1 - 2 的 100(1-)%的置信区间为_ A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.二、计算题(总题数：6，分数：24.00)24.设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自正态分布总体 N(， 2 )的样本，求样本分布密度
9、 （分数：4.00）_25.总体 XN(52，6.3 2 )，现抽取容量为 36 的样本，求样本均值 （分数：4.00）_26.设随机变量 2 2 (19)，求满 足的临界值 （分数：4.00）_27.设 X 1 ，X 2 ，X 10 为 N(0，0.3 2 )的一个样本，求 已知 （分数：4.00）_28.设随机变量 FF(8，9)，求满足 PFF 0.95 (8，9)=PFF 0.05 (8，9)=0.05 的临界值 F 0.95 (8，9)和 F 0.05 (8，9) （分数：4.00）_29.来总体 XN(，1)(X 1 ，X 2 ，X n )是取自总体 X 的样本，试求 的最大似然估
10、计量又设总体 XN(0， 2 )，(X 1 ，X 2 ，X n )是取自总体 X 的样本，试求 2 的最大似然估计量 （分数：4.00）_三、综合题(总题数：7，分数：35.00)设总体 XN(40，5 2 )（分数：5.01）(1).抽取容量为 36 的样本，求 （分数：1.67）_(2).抽取容量为 64 的样本，求 （分数：1.67）_(3).取样本容量 n 多大时，才能使 （分数：1.67）_30.设总体 ，总体 ，从两个总体中分别抽样，得到如下结果：n 1 =8， ；n 2 =10， 求概率 （分数：5.00）_假设 x 1 ，x 2 ，x 9 和 y 1 ，y 2 ，y 16 是分
11、别来自 XN( 1 ，2 2 )和 YN( 2 ，2 2 )的两个相互独立的简单随机样本， 为样本 x 1 ，x 2 ，x 9 的样本均值和方差； （分数：5.00）(1). （分数：1.25）_(2). （分数：1.25）_(3). （分数：1.25）_(4). （分数：1.25）_31.设样本方差 ，试证明其简化公式 （分数：5.00）_32.设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自均匀分布总体 U0，c的样本，求样本分布密度 （分数：5.00）_33.设有 N 个产品，其中有 M 个次品，N-M 个正品，进行放回抽样定义 x i 如下： （分数：5.00）_34.设随机变量 X 2 (2)
12、，证明 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：4，分数：29.00)35.设某电话交换台一小时内收到的呼唤次数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，(1)求(X 1 ，X 2 ，X n )的联合分布律；(2)求 （分数：7.00）_36.某种电子元件的使用寿命 X 服从指数分布，其平均寿命为 1000 小时，某厂生产这种电子元件，规定若使用寿命在 500 小时以下为废品，报废掉，若使用寿命在 500 到 1000 小时之间为三等品，产值为 10 元，若使用寿命在 1000 到 1500 小时之间为二等品，产值为 30 元，若使用寿命在
13、 1500 小时以上为一等品，产值为 40 元求该厂这种产品的平均产值 (附：e -0.5 0.61，e -1 0.37，e -1.5 0.22) （分数：7.00）_37.A 牌灯泡平均寿命为 1400 小时，标准差为 200 小时；B 牌灯泡平均寿命为 1200 小时，标准差为 100 小时从两种牌子的灯泡中各取 250 个进行测试，问 A 牌灯泡的平均寿命比 B 牌灯泡的平均寿命至少长 180小时和 230 小时的概率分别是多少? （分数：7.00）_38.设香烟中尼古丁含量服从正态分布，已知某厂原产品中尼古丁含量的均值与方差分别为 18.9(毫克)和4.3(毫克 2 )，随机从现在生产
14、的产品中抽取 8 支，测得尼古丁含量的数据，经计算后得 （分数：8.00）_概率论与数理统计自考题分类模拟 13 答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：23，分数：12.00)1.设总体 X 的均值 与方差 2 都存在，且均为未知参数，而 X 1 ，X 2 ，X n 是该总体的一个样本，记 ，则总体方差 2 的矩估计为_ A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 2.设总体 X 服从泊松分布： (k=0，1，2，)，其中 0 为未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为样本，记 ，则下面几种说法中，错误的是_ A 是 的无偏估计 B 是
15、 的矩估计 C 是 E(X)的矩估计 D （分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 E(X)=， ，从而3.在数理统计中，参数估计可分为点估计和_（分数：0.50）A.矩估计B.假设检验C.区间估计 D.极大似然估计解析：解析 参数估计分为点估计和区间估计，其中点估计的方法包括矩估计和极大似然估计答案为C4.矩估计必然是_（分数：0.50）A.无偏估计B.总体矩的函数C.样本矩的函数 D.极大似然估计解析：解析 依据矩估计的定义答案为 C5.设总体 X 为参数为 的动态分布，今测得 X 的样本观测值为 0.1，0.2，0.3，0.4，则参数 的矩估计值 （分数：0.50）A.0.2B.0
16、.25 C.1D.4解析：解析 虽然不知道动态分布的具体密度函数，但其只有一个未知参数 ，所以，也就只需要一个方程就可以确定用一阶样本矩来估计一阶总体矩6.设总体 XE()，则 的矩估计和极大似然估计分别为_ A矩估计 ，极大似然估计 B矩估计 ，极大似然估计 C矩估计 ，极大似然估计 D矩估计 ，极大似然估计 （分数：0.50）A.B.C. D.解析：解析 由题知，密度函数为 P(x，)=e -x ，x0，由于 故矩估计为 ，似然函数为 解得 7.总体 X 服从0，上的均匀分布，0，抽取样本 x 1 ，x 2 ，x n ，若用矩估计法求出 的估计量为 ，则 _ A B C D （分数：0.5
17、0）A.B. C.D.解析：解析 易知总体 X 的均值 ，由矩法应有 ，由此解得 的矩法估计为 8.极大似然估计必然是_（分数：0.50）A.矩估计B.似然函数的极值点 C.似然方程的根D.无偏估计解析：解析 根据极大似然估计的原理，得到样本观测值 x 1 ，x n 应该这样选取 1 ， k 的值，使似然函数 L( 1 ， k )取最大值，因此极大似然估计必然是似然函数的极值点答案为B9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的样本， 和 2 都未知，则 （分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 是二阶样本中心矩，它既是 2 的极大似然估计，又是 2 的矩估计，且
18、 10.设 是未知参数 的一个估计量，若 ，则 （分数：0.50）A.极大似然估计B.矩估计C.有效估计D.有偏估计 解析：解析 设 是 的一个估计，则 ，称为11.样本(X 1 ，X 2 ，X n )来自总体 X，E(X)=，D(X)= 2 ，则有_ AX i (1in)是 的无偏估计 B 是 2 的无偏估计 C 是 2 的无偏估计 D （分数：0.50）A.B.C. D.解析：解析 由 12.设总体 XN(， 2 )，其中 未知，x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 为来自总体 X 的一个样本，则以下关于 的四个估计： 中，哪一个是无偏估计?_ A B C D （分数：0.50）A. B.
19、C.D.解析：解析 E(X i )=， 同理 则无偏估计是 13.X 1 ，X 2 ，X 10 是总体 X 的一个样本，下列统计量中，不是 E(X)= 的无偏估计量的是_ A B C D （分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 14.设总体 X 的分布中带有未知参数 ，X 1 ，X 2 ，X n ，为样本， (X 1 ，X 2 ，X n )和 (X 1 ，X 2 ，X n )是参数 的两个无偏估计对任意的样本容量 n，若 为比 有效的估计量，则必有_ A B C D （分数：0.50）A.B. C.D.解析：解析 估计量 更有效15.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的一
20、个样本，X 具有期望值 ，那么下列统计量中_是 的最有效的无偏估计 A B C D （分数：0.50）A.B. C.D.解析：解析 设 X 的方差 D(X)= 2 ，容易证明选项 A、选项 B、选项 C、选项 D 都是总体期望 的无偏估计量 16.下列结论不一定正确的是_ A总体未知参数的估计量一定是统计量 B无论总体服从什么分布， 是总体均值的无偏估计量 C无论总体服从什么分布， 是总体方差的无偏估计量 D若 是 的两个估计量，如果 （分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 设 是 的两个无偏估计，如果对任意的 ，则17.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，x 1 ，x 2 ，x
21、 3 为取自 X 的容量为 3 的样本，则 的三个估计量 为_ A三个都不是 的无偏估计 B三个都是 的无偏估计， 最有效 C三个都是 的无偏估计， 最有效 D三个都是 的无偏估计， （分数：0.50）A.B. C.D.解析：解析 ， ，故18.对总体 XN(， 2 )的均值 作区间估计，得到置信度为 95%的置信区间，其意是指这个区间_（分数：0.50）A.平均含总体 95%的值B.平均含样本 95%的值C.有 95%的机会含 的值 D.有 95%的机会含样本的值解析：解析 由于我们所做的区间是个随机区间，而 是一个未知参数，不改变因此当我们将一组 x 1 ，x 2 ，x n 样本值代入时，
22、就得到了一个具体的区间，它有可能包含 ，也可能不包含 置信度为 95%的意思是指这个区间有 95%的机会含 的值，故选择 C答案为 C19.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自 XN(， 2 )的样本，其中 2 已知，令 ，并给定(01)，如果 ，则_不成立 A 为置信水平 B1- 为置信水平 Cn 为样本容量 D （分数：0.50）A. B.C.D.解析：解析 关于术语“置信水平”和“置信度”以及临界值的下标，即使在同一本教材中，也往往是前后不统一地混用，当参数的置信区间 满足 时，把界于 0 与 1 之间的小数 1- 称为置信水平，或称为置信系数或置信度或置信概率，根据 N(0，1)和
23、01，查正态分布表得到满足 的临界值 使得20.设总体 X 服从正态分布 N(， 0 2 )，其中 0 2 已知，X 1 ，X 2 ，X n 为样本，记 ，对于给定的 值(01)，若 的置信水平为 1- 的置信区间下限为 ，则该区间的上限为_ A B C D （分数：0.50）A.B. C.D.解析：解析 的置信水平为 1- 的置信区间的 21.设总体 XN(， 2 )，抽取容量为 n 的样本，在置信度为 1- 时， 2 的位置区间为_ A B C D （分数：0.50）A. B.C.D.解析：解析 由题知：样本方差 s 2 可作为 2 的点估计， 给出 2 的 1- 置信区间为 22.设总体
24、 XN( 1 ， 1 2 )与总体 YN( 2 ， 2 2 )相互独立， 1 ， 2 ， 1 2 ， 2 2 均为未知参数，X 1 ，X 2 ，X n1 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n2 分别为总体 X，Y 的样本，记 ，则 的置信水平为 0.95 的置信区间为_ A B C D （分数：0.50）A.B. C.D.解析：解析 由抽样分布理论可知：23.设 x 1 ，x 2 ，x n1 与 y 1 ，y 2 ，y n2 分别是总体 与总体 的样本且相互独立，其中 为已知， 1 ， 2 未知，则 1 - 2 的 100(1-)%的置信区间为_ A B C D （分数：0.50）A. B.C.D.
25、解析：解析 由题知：本题考查二样本 区间，二、计算题(总题数：6，分数：24.00)24.设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自正态分布总体 N(， 2 )的样本，求样本分布密度 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：总体 X 的概率密度 ；样本(x 1 ，x 2 ，x n )的分布密度 25.总体 XN(52，6.3 2 )，现抽取容量为 36 的样本，求样本均值 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：由 XN(52，6.3 2 )，则 ， 故 26.设随机变量 2 2 (19)，求满 足的临界值 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：如图所示令 =0.975 及 ，查自由
26、度为 19 的 2 分布表得临界值 27.设 X 1 ，X 2 ，X 10 为 N(0，0.3 2 )的一个样本，求 已知 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：X i N(0，0.3 2 )， 令 ，则上式变成：P 2 16=0.1， 即 28.设随机变量 FF(8，9)，求满足 PFF 0.95 (8，9)=PFF 0.05 (8，9)=0.05 的临界值 F 0.95 (8，9)和 F 0.05 (8，9) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解如图所示。今 PFF 0.05 (8，9)=0.05， 查第一自由度为 8、第二自由度为 9 的 F 分布表得临界值 F 0.05 (
27、8，9)=3.23；再根据 F 分布的性质， 令 查第一自由度为 9、第二自由度为 8 的 F 分布表得临界值 F 0.05 (9，8)=3.39， 因而 F 0.95 (8，9)=1/F 0.05 (9，8)=0.29 29.来总体 XN(，1)(X 1 ，X 2 ，X n )是取自总体 X 的样本，试求 的最大似然估计量又设总体 XN(0， 2 )，(X 1 ，X 2 ，X n )是取自总体 X 的样本，试求 2 的最大似然估计量 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：因为 ， 是未知参数，所以似然函数 L(X 1 ，X 2 ，X n ；)= 因此 令 得 ，则 是 的最大似然估计量
28、 又因为 ， 2 是未知参数，所以似然函数 因此 令 得 则 三、综合题(总题数：7，分数：35.00)设总体 XN(40，5 2 )（分数：5.01）(1).抽取容量为 36 的样本，求 （分数：1.67）_正确答案：()解析：解：容量为 36 的样本，样本均值 的分布 所以 (2).抽取容量为 64 的样本，求 （分数：1.67）_正确答案：()解析：解：容量为 64 的样本，样本均值 的分布 所以 (3).取样本容量 n 多大时，才能使 （分数：1.67）_正确答案：()解析：解：设取容量为 n 时，使得 得 从而 查表得 30.设总体 ，总体 ，从两个总体中分别抽样，得到如下结果：n
29、1 =8， ；n 2 =10， 求概率 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由正态总体统计量的抽样分布的性质，得 所以 假设 x 1 ，x 2 ，x 9 和 y 1 ，y 2 ，y 16 是分别来自 XN( 1 ，2 2 )和 YN( 2 ，2 2 )的两个相互独立的简单随机样本， 为样本 x 1 ，x 2 ，x 9 的样本均值和方差； （分数：5.00）(1). （分数：1.25）_正确答案：()解析：解：由正态总体统计量的抽样分布的性质，得 所以 由 2 分布表，得 (2). （分数：1.25）_正确答案：()解析：解：由正态体统计量的抽样分布的性质，得 所以 由标准正态分布表，得
30、 所以 (3). （分数：1.25）_正确答案：()解析：解：由正态总体统计量的抽样分布的性质，得 所以 由 t 分布表，得 所以 (4). （分数：1.25）_正确答案：()解析：解：由正态总体统计量的抽样分布的性质，得 所以 由 F 分布表，得 所以 31.设样本方差 ，试证明其简化公式 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：32.设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自均匀分布总体 U0，c的样本，求样本分布密度 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：总体 X 的概率密度 样本分布密度定义为(x 1 ，x 2 ，x n )的概率密度 33.设有 N 个产品，其中有 M 个次品，
31、N-M 个正品，进行放回抽样定义 x i 如下： （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：x 1 ，x 2 ，x n 可看做总体 X 服从“01”分布的样本，且总体 X 的分布列为： 样本 x 1 ，x 2 ，x n 的分布 P(X 1 =x 1 ，X 2 =x 2 ，X n =x n ) 34.设随机变量 X 2 (2)，证明 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：因为 2 (2)的密度函数 故 四、应用题(总题数：4，分数：29.00)35.设某电话交换台一小时内收到的呼唤次数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，(1)求
32、(X 1 ，X 2 ，X n )的联合分布律；(2)求 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解：因总体 X 具有分布律为 所以(1)样本(X 1 ，X 2 ，X n )的联合分布律 x k =0，1，2，(k=1，2，n)； (2)因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且与总体 X 同服从 P()分布，由泊松分布的可加性知， X i P(n)所以 的分布律为： 的分布律为： 36.某种电子元件的使用寿命 X 服从指数分布，其平均寿命为 1000 小时，某厂生产这种电子元件，规定若使用寿命在 500 小时以下为废品，报废掉，若使用寿命在 500 到 1000 小时之间为三等品，产值为 1
33、0 元，若使用寿命在 1000 到 1500 小时之间为二等品，产值为 30 元，若使用寿命在 1500 小时以上为一等品，产值为 40 元求该厂这种产品的平均产值 (附：e -0.5 0.61，e -1 0.37，e -1.5 0.22) （分数：7.00）_正确答案：()解析：解：解法一：E(X)=1000，x 服从参数为 的 指数分布 该产值为 Y，则 Y 取值为 0，10，30，40 E(Y)=100.24+300.15+400.22=15.70(元) 平均产值约为 15.70 元 解法二：E(X)=1000 X 服从参数为 的指数分布，分布函数为 37.A 牌灯泡平均寿命为 1400 小时，标准差为 200 小时；B 牌灯泡平均寿命为 1200 小时，标准差为 100 小时从两种牌子的灯泡中各取 250 个进行测试，问 A 牌灯泡的平均寿命比 B 牌灯泡的平均寿命至少长 180小时和 230 小时的概率分别是多少? （分数：7.00）_正确答案：()解析：解：设 X 和 Y 分别表示 A 牌灯泡和 B 牌灯光的寿命； 分别表示 250 只 A 牌灯泡的平均寿命和 250 只 B 牌灯光的平均寿命由题设有： E(X)=1400，D(X)=200 2 ； E(Y)=1200，D(Y)=100 2 而 由中心极限定理， 近似地服从正态分布 N(200，200)所
