1、广东专插本（高等数学）-试卷 56 及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.设 f() 0 1cos sint 2 dt，g() （分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但不等价无穷小3.设 （分数：2.00）A.f()的导数存在，且 f(a)0B.f()取得极大值C.f()取得极小值D.f()的导数不存在4.设 f()是连续函数，且f()dF()C，则下列各式正确的是 ( )（分数：2.00）A.f( 2 )dF( 2 )CB.(
2、32)dF(32)CC.f(e )e dF(e )CD.f(ln2)5.下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有 ( )（分数：2.00）A.ysin2，0，B.y，1，1C.ycos3，0，D.y6.如果级数 （分数：2.00）A.u 1 u 2 u nB.C.D.以上都不是二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.已知 e y 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.广义积分 0 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 yy0 满足条件 y 1 2 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 f()
3、在 0 处可微，且 f( 0 )0，则当很小时，f( 0 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_13.设函数 f() （分数：2.00）_14.求极限 （分数：2.00）_15.函数 yy()是由方程 e y 6y 2 1 所确定，求 y(0)（分数：2.00）_16.求不定积分 （分数：2.00）_17.已知 f(2) （分数：2.00）_18.求二重积分 ，其中 D 由 y，y 和 （分数：2.00）_19.求微分方程 yysin 2 满足 （分数：2.00）_20.判断级数 （分数：2.
4、00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.设抛物线 ya 2 bc 过原点，当 01 时，y0，又已知该抛物线与 轴及 1 所围图形的面积为 （分数：2.00）_22.设函数 f(u)在(0，)内具有二阶导数，且 zf( )满足等式 (1)验证 f(u) （分数：2.00）_广东专插本（高等数学）-试卷 56 答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.设 f() 0 1cos sint 2 dt，g() （分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无
5、穷小 C.等价无穷小D.同阶但不等价无穷小解析：解析：3.设 （分数：2.00）A.f()的导数存在，且 f(a)0B.f()取得极大值 C.f()取得极小值D.f()的导数不存在解析：解析：由极限的保号性知，在 a 的去心邻域内有4.设 f()是连续函数，且f()dF()C，则下列各式正确的是 ( )（分数：2.00）A.f( 2 )dF( 2 )CB.(32)dF(32)CC.f(e )e dF(e )C D.f(ln2)解析：解析：f(e )e d(e )d(e )(e )C故选 C5.下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有 ( )（分数：2.00）A.ysin2，0， B.y，1，1C
6、.ycos3，0，D.y解析：解析：B 选项中，函数在 0 处不可导；C 选项中，y(0)y(3)；D 选项中，函数在 1 处不可导；A 选项中，函数在0， 上连续，在(0， )可导，y(0)y(6.如果级数 （分数：2.00）A.u 1 u 2 u nB.C. D.以上都不是解析：解析：令 S n u k ，若级数 u n 收敛，则极限 S n 存在，即级数 u k 的和 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析： 2，则 y2 是曲线的一条水平渐近线8.已知 e y 2
7、1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程两边同时对 求导 e 2y 0，则 9.广义积分 0 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：所给问题为计算广义积分的反问题，由于 因此，应有 1，故 k10.微分方程 yy0 满足条件 y 1 2 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2）解析：解析： y0，即 11.设函数 f()在 0 处可微，且 f( 0 )0，则当很小时，f( 0 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f( 0 )f( 0 )）解析：解析：当很小时
8、，有 f( 0 ) 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 f()连续，则有 )解析：14.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.函数 yy()是由方程 e y 6y 2 1 所确定，求 y(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(，y)e y 6y 2 1，则 F 6y2，F y e y 6， 故 y ， 当 0 时，y0，y(0)0 则 y )解析：16.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
9、)解析：17.已知 f(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求二重积分 ，其中 D 由 y，y 和 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图，区域 D 可用极坐标表示为 ， )解析：19.求微分方程 yysin 2 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原方程改写成 y sin 2 ，则 将初始条件 代入得C12， 故原方程的特解为 y )解析：20.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又 收敛，故级数 )解析：四、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.设抛物线 ya 2 bc 过原点，当 01 时，y0，又已知该抛物线与 轴
10、及 1 所围图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为抛物线 ya 2 bc 过原点，有 c0，又 01 时，y0，故该抛物线与 轴及 1 所围图形的面积为 0 1 (a 2 b)d ， 于是 2a3b2， 该平面图形绕 轴旋转一周形成的立体体积为 要使 V 最小，令 a ，此时 b 于是a ，b )解析：22.设函数 f(u)在(0，)内具有二阶导数，且 zf( )满足等式 (1)验证 f(u) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求二元复合函数 zf( )的二阶偏导数 中必然包含 f(u)及 f(u)将 的表达式分别代入等式 0 中，就能找出 f(u)与 f(u)的关系式 (2)解可降价的二阶线性微分方程的通解和特解 在方程 f(u) 0 中，令 f(u)g(u)，则 f(u)g(u)，方程变为 g(u) 0，这是可分离变量微分方程，解得 g(u) ，即 f(u) ， 由初始条件 f(1)1 C 1 1，所以 f(u) ，两边积分得 f(u)lnuC 2 ， 由初始条件 f(1)0 )解析：
