1、广东专插本（高等数学）-试卷 53 及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.已知函数 f()，则 ff( （分数：2.00）A.B. 2C.D.3.当 0 时，若 2acos （分数：2.00）A.0B.1C.D.4.已知函数 f()(a)g()，其中 g()在点 a 处二阶可导，则 f(a) ( )（分数：2.00）A.0B.2g(a)C.2g(a)D.2f(a)5.已知函数 f() 0 tsintdt，则 f() ( )（分数：2.00）A.sinB.co
2、sC.cosD.sin6.已知级数 （分数：2.00）A.若 u n 0，则 B.若 u n 的部分和数列S n 有界，则 C.若 u n 收敛，则 D.若 u n 发散，则 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.如果 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.函数 y （分数：2.00）填空项 1:_9.若 f()在a，a上连续，则 -a a f()f()d 1（分数：2.00）填空项 1:_10.f() 3 在1，4上满足拉格朗日定理条件，则 1（分数：2.00）填空项 1:_11.方程 y4y0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：1
3、8.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_13.求极限 （分数：2.00）_14.设 ysin ，求 （分数：2.00）_15.求不定积分 （分数：2.00）_16.过曲线 y 2 (0)上一点 M(1，1)。作切线 l，平面图形 D 由曲线 y 2 ，切线 l 及 轴围成，求： (1)平面图形 D 的面积； (2)平面图形 D 绕 z 轴旋转一周所形成的旋转体的体积（分数：2.00）_17.求 ze cos(y)的全微分（分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.求微分方程 yy1 2 的通解（分数：2.00）_20.判定级数 （分数：2.00）_四
4、、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.设 F() （分数：2.00）_22.设函数 f()在1，3上连续，在(1，3)内可导，且 f(3)0，证明：至少存在一点 (1，3)，使f()lnf()0（分数：2.00）_广东专插本（高等数学）-试卷 53 答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.已知函数 f()，则 ff( （分数：2.00）A.B. 2C. D.解析：解析：因为 f()，则 ，所以3.当 0 时，若 2acos （分数：2.00）A.0B
5、.1C. D.解析：解析：由 2acos 2 (0)，可知 2acos02a10，即 a 4.已知函数 f()(a)g()，其中 g()在点 a 处二阶可导，则 f(a) ( )（分数：2.00）A.0B.2g(a) C.2g(a)D.2f(a)解析：解析：f()g()(a)g()，f()g()g()(a)g()，则f(a)2g(a)，故选 B5.已知函数 f() 0 tsintdt，则 f() ( )（分数：2.00）A.sinB.cosC.cosD.sin 解析：解析：f()( 0 tsintdt)sin6.已知级数 （分数：2.00）A.若 u n 0，则 B.若 u n 的部分和数列S
6、 n 有界，则 C.若 u n 收敛，则 D.若 u n 发散，则 解析：解析：A 项中若 u n ，结论不成立； B 项中若 u n (1) n ，结论不成立； D 项中若u n (1) n 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析： 8.函数 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1，1)）解析：解析：y ()，y9.若 f()在a，a上连续，则 -a a f()f()d 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：令
7、F()f()f()，则 F()f()f()f()f()F()，故 F()为奇函数，又积分区间关于原点对称，故 -a a F()d010.f() 3 在1，4上满足拉格朗日定理条件，则 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f()3 2 1，f()在1，4上满足拉格朗日中值定理，即存在一点 (1，4)，使() 20，解得 或 11.方程 y4y0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 1 e -2 C 2 e 2 ）解析：解析：微分方程对应的特征方程为 2 40，则 1 2， 2 2， 故微分方程的通解为yC 1 e -2
8、C 2 e 2 ，C 1 ，C 2 为任意常数三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用倒代换 让其产生分母，然后通分计算之 )解析：14.设 ysin ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.过曲线 y 2 (0)上一点 M(1，1)。作切线 l，平面图形 D 由曲线 y 2 ，切线 l 及 轴围成，求： (1)平面图形 D 的面积； (2)平面图形 D 绕 z 轴旋转一周所形
9、成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y 2 (0)在点 M(1，1)处切线斜率为 2，过 M 点的切线方程为y21，切线与 轴的交点为 (如图所示) (1)平面图形 D 的面积为 (2)平面图形 D 绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积 )解析：17.求 ze cos(y)的全微分（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求微分方程 yy1 2 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给方程是可分离变量方程，先将方程分离变量，得 ydy 两边积分 ydy 可得 即 )解析：20.判
10、定级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 级数 收敛，故 )解析：四、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.设 F() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)F()2 ，F()2(14 4 ) ，注意到仅当 时 F()0，且在 两侧，F()变号，即知 为曲线 yF()的拐点的横坐标； (2)注意到 2 F()为奇函数，因此 )解析：22.设函数 f()在1，3上连续，在(1，3)内可导，且 f(3)0，证明：至少存在一点 (1，3)，使f()lnf()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f()lnf()0，即 ， lnyln (ln)lnC, 所以 y ，Cf()ln， 令 CF()，则 F()f()ln，1，3 因为 F()在1，3上连续，在(1，3)内可导， F(1)f(1)ln10，F(3)f(3)ln30，满足罗尔定理的条件， 所以至少存在一个 ，使得 F()0，其中 (1，3)， 又 F()f()ln )解析：
