1、山西省专升本考试大学数学模拟 8 及答案解析(总分：183.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：33.00)1.设 f(x)的定义域为-2，2)，则 f(3x+1)的定义域为_ A-5，7 B C （分数：3.00）A.B.C.D.2.当 x0 时，无穷小 2x 2 -sinx 是 x 的_（分数：3.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小3.若点(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点，则_（分数：3.00）A.f“(x0)=0B.f“(x0)不存在C.f“(x0)=0 或 f“(x0)不存在D.f“(x0)=04.若曲线
2、 y=x 3 -3x 上的切线平行于 x 轴，则其切点是_（分数：3.00）A.(0，0)B.(1，2)C.(1，-2)和(-1，2)D.(-1，-2)5.设 f(x)为可导函数，且满足 （分数：3.00）A.2B.-1C.1D.-26.arctanxdx=_ A Bxarctanx-arctanx+C C D （分数：3.00）A.B.C.D.7.设 z=e xy +3ln(x+y)，则 dz| (1，2) =_ A.(e2+1)(dx+dy) B.(2e2+1)dx+(e2+1)dy C.e2dx D.e2（分数：3.00）A.B.C.D.8.设函数 z=x 3 y+xy 3 ，则 （分数
3、：3.00）A.B.C.D.9.微分方程(x-2y)y“=2x-y 的通解是_ A.x2+y2=C B.y+x=C C.y=x+1 D.x2-xy+y2=C（分数：3.00）A.B.C.D.(1).(经贸类)同时抛掷三枚匀称的硬币，正面与反面都出现的概率为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.(2).(工程类)若级数 收敛，则下列级数中收敛的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：33.00)10.若 z=x+y+f(x-y)，且当 y=0 时 z=x 2 ，则 f(x)= 1 （分数：3.00）11.若函数 （分数：3.00）1
4、2.已知 （分数：3.00）13.曲线方程为 3y 2 =x 2 (x+1)，则在点(2，2)处的切线方程为 1 （分数：3.00）14.曲线 y=x 3 -3x 2 +2x-1 的拐点为 1 （分数：3.00）15. （分数：3.00）16.广义积分 （分数：3.00）17.设向量 a=2，1，2，b=4，-1，10，c=b-a，且 ac，则 = 1 （分数：3.00）18.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，则 （分数：3.00）(1).(经贸类)设学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，在各个交通岗遇到红灯是相互独立的，其概率均为 （分数：3.00）(2).(工程类)过点(1
5、，0，-2)且与平面 x-4z=3 及平面 3x-y-5z=1 的交线平行的直线方程为_（分数：3.00）三、解答题(总题数：10，分数：117.00)19.求极限 （分数：9.00）_20.讨论 （分数：9.00）_21.求不定积分 （分数：9.00）_22.求曲线 （分数：9.00）_23.设 z=f(x 2 +y 2 ，y)+(xy)，其中，f(u，v)和 (x)都可微，求全微分 dz （分数：9.00）_24.计算 （分数：9.00）_25.求微分方程 y“+5y“+4y=0 的通解 （分数：9.00）_(1).(经贸类)求矩阵 X，使 AX=B，其中 （分数：9.00）_(2).(工
6、程类)将函数 f(x)=lgx 展开成 x-1 的幂级数（分数：9.00）_(1).(经贸类)设随机变量 X 的分布函数为 (1)求 （分数：9.00）_(2).(工程类)证明：若 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，g(x)0，则至少存一点 (a，b)，使 f“()g()+2g“()f()=0（分数：9.00）_(1).(经贸类)某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收益函数分别为 C(Q)=100+2Q+0.02Q 2 (元)，R(Q)=7Q+0.01Q 2 (元)，求： (1)产量为 200 千克时的总成本； (2)边际利润函数及当日产量为 2
7、00 千克时的边际利润（分数：9.00）_(2).(工程类)求曲抛物线 y=1-x 2 及其在点(1，0)处的切线和 y 轴所围成图形的面积，并计算该图形绕 y轴旋转一周所成旋转体的体积（分数：9.00）_山西省专升本考试大学数学模拟 8 答案解析(总分：183.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：33.00)1.设 f(x)的定义域为-2，2)，则 f(3x+1)的定义域为_ A-5，7 B C （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由 f(x)的定义域为-2，2)得-23x+12，从而 所以 f(3x+1)的定义域为2.当 x0 时，无穷小 2x 2
8、-sinx 是 x 的_（分数：3.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析 3.若点(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点，则_（分数：3.00）A.f“(x0)=0B.f“(x0)不存在C.f“(x0)=0 或 f“(x0)不存在 D.f“(x0)=0解析：解析 因为拐点存在于二阶导数为零或二阶导数不存在的点处故应选 C4.若曲线 y=x 3 -3x 上的切线平行于 x 轴，则其切点是_（分数：3.00）A.(0，0)B.(1，2)C.(1，-2)和(-1，2) D.(-1，-2)解析：解析 因为切线平行于 x 轴，所以 y“=0，即
9、3x 2 -3=0，x=1，切点是(-1，2)和(1，-2)，故选C5.设 f(x)为可导函数，且满足 （分数：3.00）A.2 B.-1C.1D.-2解析：解析 6.arctanxdx=_ A Bxarctanx-arctanx+C C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 7.设 z=e xy +3ln(x+y)，则 dz| (1，2) =_ A.(e2+1)(dx+dy) B.(2e2+1)dx+(e2+1)dy C.e2dx D.e2（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 8.设函数 z=x 3 y+xy 3 ，则 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析
10、9.微分方程(x-2y)y“=2x-y 的通解是_ A.x2+y2=C B.y+x=C C.y=x+1 D.x2-xy+y2=C（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 可以通过排除验证法确定 A、B、C 均为错误，而将选项 D 的两边对 x 求导后符合方程故应选 D(1).(经贸类)同时抛掷三枚匀称的硬币，正面与反面都出现的概率为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 正面反面都出现，可以是一正二反或二正一反， 即 (2).(工程类)若级数 收敛，则下列级数中收敛的是_ A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 根据无穷级数的运算性质可
11、以断定二、填空题(总题数：10，分数：33.00)10.若 z=x+y+f(x-y)，且当 y=0 时 z=x 2 ，则 f(x)= 1 （分数：3.00）解析：x 2 -x 解析 取 y=0，得 x 2 =x+f(x)，所以 f(x)=x 2 -x11.若函数 （分数：3.00）解析：6 解析 因为 由题设知 12.已知 （分数：3.00）解析：2ln2 解析 13.曲线方程为 3y 2 =x 2 (x+1)，则在点(2，2)处的切线方程为 1 （分数：3.00）解析：4x-3y-2=0 解析 两边对 x 求导得 6yy“=3x 2 +2x，即 切线方程为 14.曲线 y=x 3 -3x 2
12、 +2x-1 的拐点为 1 （分数：3.00）解析：(1，-1) 解析 y“=3x 2 -6x+2，y“=6x-6，令 y“=0 得 x=1， 因为当 x1 时，y“0；当 x1 时，y“1， 所以(1，-1)为曲线的拐点15. （分数：3.00）解析：解析 16.广义积分 （分数：3.00）解析：解析 17.设向量 a=2，1，2，b=4，-1，10，c=b-a，且 ac，则 = 1 （分数：3.00）解析：3 解析 因为 c=4-2，-1-，10-2，ac， 所以 2(4-2)+(-1-)+2(10-2)=0，解得 =318.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，则 （分数：3.0
13、0）解析： 解析 D：02，0r1， 或根据二重积分的几何意义知 (1).(经贸类)设学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，在各个交通岗遇到红灯是相互独立的，其概率均为 （分数：3.00）解析：解析 ，则(2).(工程类)过点(1，0，-2)且与平面 x-4z=3 及平面 3x-y-5z=1 的交线平行的直线方程为_（分数：3.00）解析： 解析 取所求直线的方向向量为 则所求直线方程为 三、解答题(总题数：10，分数：117.00)19.求极限 （分数：9.00）_正确答案：()解析：因为 又 所以 20.讨论 （分数：9.00）_正确答案：()解析：因为 则 所以 f(x)在 x=0
14、处是连续的 21.求不定积分 （分数：9.00）_正确答案：()解析：22.求曲线 （分数：9.00）_正确答案：()解析：当 t=1 时，切点为 x“(t)=t 3 ，y“(t)=t 2 ，z“(t)=2t 曲线在对应 t=1 处的点的切线方向向量为 s=1，1，2 所以所求切线方程为 法平面方程为 即 23.设 z=f(x 2 +y 2 ，y)+(xy)，其中，f(u，v)和 (x)都可微，求全微分 dz （分数：9.00）_正确答案：()解析：令 x 2 +y 2 =u，y=v，则 z=f(u，v)+(xy)， dz=df(u，v)+d(xy) =f u du+f v dv+(xy)d(
15、xy) =f u (2xdx+2ydy)+f v dy+(xy)(xdy+ydx) =2xf u +y(xy)dx+2yf u +f v +x(xy)dy24.计算 （分数：9.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示，在极坐标系下积分区域 所以 25.求微分方程 y“+5y“+4y=0 的通解 （分数：9.00）_正确答案：()解析：由 r 2 +5r+4=0 解得 r 1 =-1，r 2 =-4， 故对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e -x +C 2 e -4x (1).(经贸类)求矩阵 X，使 AX=B，其中 （分数：9.00）_正确答案：()解析：因为|A|0，则 A 可逆，则
16、X-A -1 B (2).(工程类)将函数 f(x)=lgx 展开成 x-1 的幂级数（分数：9.00）_正确答案：()解析： 因为 将上式中 x 换成 x-1，得 (1).(经贸类)设随机变量 X 的分布函数为 (1)求 （分数：9.00）_正确答案：()解析：(1)对应任意指定的实数 a，只要随机变量 x(不管什么类型)的分布函数在点 a 的领域内连续，则 PX=a=0， 故有 PX2=PX2=F X (2)=ln2， P0X3=E X (3)-F X (0)=1-0=1， (2)由于在 fx(x)的连续点处有 即有 (2).(工程类)证明：若 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b
17、)内可导，且 f(a)=f(b)=0，g(x)0，则至少存一点 (a，b)，使 f“()g()+2g“()f()=0（分数：9.00）_正确答案：()解析：证明 设 F(x)=f(x)g 2 (x) 因为 f(x)，g(x)均在a，b上连续，在(a，b)内可导， 所以 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导 又 f(a)=f(b)=0，则 F(a)=F(b)=0， 则由罗尔定理知，在(a，b)内至少存在一点 ，使 F“()=0，即 f“()g 2 ()+f()2g“()g()=0， 又因为 g(x)0，所以 g()0，两边同除以 g()， 得 f“()g()+2f()g“()=0(1).(
18、经贸类)某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收益函数分别为 C(Q)=100+2Q+0.02Q 2 (元)，R(Q)=7Q+0.01Q 2 (元)，求： (1)产量为 200 千克时的总成本； (2)边际利润函数及当日产量为 200 千克时的边际利润（分数：9.00）_正确答案：()解析：(1)C(200)=100+2200+0.02200 2 =13000(元)； (2)总利润函数为 L(Q)=R(Q)-C(Q)=-0.01Q 2 +5Q-100， 所以边际利润函数为 L“(Q)=-0.02Q+5 产量为 200 千克时的边际利润为 L“(200)=-4+5=1(2).(工程类)求曲抛物线 y=1-x 2 及其在点(1，0)处的切线和 y 轴所围成图形的面积，并计算该图形绕 y轴旋转一周所成旋转体的体积（分数：9.00）_正确答案：()解析：平面图形如图所示：因 y“=-2x，所以 k=-2， 从而经过点(1，0)的切线方程为 y=-2x+2 (1)所求平面图形的面积为 (2)该图形绕 y 转旋转一周所成旋转体的体积为
