1、山西省专升本考试大学数学模拟 4 及答案解析(总分：183.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：33.00)1.已知 f(2x+1)的定义域是0，1，则 f(x)的定义域为_ A0，1 B C （分数：3.00）A.B.C.D.2.下列极限存在的为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.3.下列说法正确的是_（分数：3.00）A.函数的极值点一定是函数的驻点B.函数的驻点一定是函数的极值点C.二阶导数非零的驻点一定是极值点D.以上说法都不对4.曲线 在 处的法线方程为_ A （分数：3.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)在 x=1 处可导，则
2、（分数：3.00）A.5f“(1)B.-f“(1)C.2f“(1)D.-3f“(1)6.若 则 =_ A B Cxlnx-x+C D （分数：3.00）A.B.C.D.7.设 z=x y ，则 dz| (2，1) =_（分数：3.00）A.dx+dyB.dx+2ln2dyC.0D.3dx+ln2dy8.二元函数 （分数：3.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在9.函数 y=Csinx(其中 C 为任意常数)是微分方程 y“+y=0 的_（分数：3.00）A.通解B.特解C解D.不是解(1).(经贸类)已知 P(A)=0.5，P(B)=0
3、.6，P(B|A)=0.8，则 P(AB)=_（分数：3.00）A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9(2).(工程类)若级数 在 x=0 处条件收敛，则级数 （分数：3.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能判定敛散性二、填空题(总题数：10，分数：33.00)10.函数 （分数：3.00）11.设 （分数：3.00）12.若 则 （分数：3.00）13.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f“(0)= 1 （分数：3.00）14.设 f(lnx)=xln(1+x)，则f(x)dx= 1 （分数：3.00）15. （分数：3.00）16.曲线 y=xe -x 的拐点
4、是 1 （分数：3.00）17.已知 a=-1，1，2，b=3，0，4，则 a 在 b 上的投影为 Prj b a= 1 （分数：3.00）18.设区域 D 为 x 2 +y 2 1，则 （分数：3.00）(1).(经贸类)设工厂甲和工厂乙生产的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从甲厂和乙厂生产的产品分别占60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属甲厂生产的概率是_（分数：3.00）(2).(工程类)向量 a 与 x 轴，y 轴的夹角分别为 60和 120，则向量 a 与 z 轴的夹角为_（分数：3.00）三、解答题(总题数：10，分数：117.00)19. （分数：9
5、.00）_20.已知 （分数：9.00）_21. （分数：9.00）_22.求过点(2，-1，3)与直线 （分数：9.00）_23.设 其中 f(u，v)可微，求 （分数：9.00）_24.计算二次积分 （分数：9.00）_25.求微分方程 y“+ycosx=e -sinx 满足初始条件 y(0)=-1 的特解 （分数：9.00）_(1).(经贸类)设 （分数：9.00）_(2).(工程类)求级 （分数：9.00）_(1).(经贸类)设随机变量 X 的分布列为 X -2? ? ? ? 0? ? ? ? ? 2 P k 0.4? ? ? ? 0.3? ? ? ? 0.3 (1)求 E(X)，E(
6、X 2 )，E(3X 2 +5)； (2)求 D(X)（分数：9.00）_(2).(工程类)证明： 并计算 （分数：9.00）_(1).(经贸类)某商品的需求函数为 （分数：9.00）_(2).(工程类)求由曲面 z=x 2 +2y 2 及 z=3-2x 2 -y 2 所围成立体的体积（分数：9.00）_山西省专升本考试大学数学模拟 4 答案解析(总分：183.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：33.00)1.已知 f(2x+1)的定义域是0，1，则 f(x)的定义域为_ A0，1 B C （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 0x1，得 12x+1
7、3，故应选 D2.下列极限存在的为_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 因为3.下列说法正确的是_（分数：3.00）A.函数的极值点一定是函数的驻点B.函数的驻点一定是函数的极值点C.二阶导数非零的驻点一定是极值点 D.以上说法都不对解析：解析 函数的极值在驻点或导数不存在的点处取得，y=|x|在 x=0 处取得极小值，但在该点导数不存在，A 项不正确；x=0 是 y=x 3 的驻点，但不是极值点，故 B 项不正确；C 选项正确4.曲线 在 处的法线方程为_ A （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 切线斜率 k=0，故法线方程为 5.设函数 f(x)在
8、 x=1 处可导，则 （分数：3.00）A.5f“(1) B.-f“(1)C.2f“(1)D.-3f“(1)解析：解析 6.若 则 =_ A B Cxlnx-x+C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 得 7.设 z=x y ，则 dz| (2，1) =_（分数：3.00）A.dx+dyB.dx+2ln2dy C.0D.3dx+ln2dy解析：解析 dz=yx y-1 dx+x y lnxdy，dz| (2，1) =dx+2ln2dy故应选 B8.二元函数 （分数：3.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在解析：解析
9、 因为 不存在(若沿 x 轴(0，0)时，极限为 0，若沿直线 y=x(0，0)时，极限为 ，所以在(0，0)点函数无极限)所以函数在(0，0)点处不连续 而 同理 9.函数 y=Csinx(其中 C 为任意常数)是微分方程 y“+y=0 的_（分数：3.00）A.通解B.特解C解 D.不是解解析：解析 将 y=Csinx 代入方程 y“+y=0 成立，又因为它只含一个任意常数，所以既不是通解，又不是特解，故应选 C(1).(经贸类)已知 P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.8，则 P(AB)=_（分数：3.00）A.0.6B.0.7 C.0.8D.0.9解析：解析 由于(2
10、).(工程类)若级数 在 x=0 处条件收敛，则级数 （分数：3.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.不能判定敛散性解析：解析 由已知条件知，收敛半径为 R=2所以级数在(0，4)内绝对收敛，在(-，0)和(4，+)内发散，由此可知在 x=5 处发散，故选 C二、填空题(总题数：10，分数：33.00)10.函数 （分数：3.00）解析：x 2 -x+2 解析 11.设 （分数：3.00）解析： 解析 由 得 又 f“ - (0)=f“ + (0)，所以 12.若 则 （分数：3.00）解析：a解析 13.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f“(0)= 1 （分数：3
11、.00）解析：n!解析 14.设 f(lnx)=xln(1+x)，则f(x)dx= 1 （分数：3.00）解析：(1+e x )ln(1+e x )-e x +C 解析 设 lnx=t，则 x=e t ，f(t)=e t ln(1+e t )， 15. （分数：3.00）解析： 解析 设 x=asint，则 dx=acostdt， 或根据定积分几何意义可知 16.曲线 y=xe -x 的拐点是 1 （分数：3.00）解析：(2，2e -2 ) 解析 因为 y“=(1-x)e -x ，y“=(x-2)e -x ，令 y“=0 得 x=2， 当 x2 时，y“0，当 x2 时，y“2，故拐点坐标为
12、(2，2e -2 )17.已知 a=-1，1，2，b=3，0，4，则 a 在 b 上的投影为 Prj b a= 1 （分数：3.00）解析：1 解析 a 在 b 上投影为 而 18.设区域 D 为 x 2 +y 2 1，则 （分数：3.00）解析：0 解析 因为区域 D 是关于 y 轴对称的，而被积函数满足 f(-x，y)=-f(x，y) 根据二重积分的对称性可知 (1).(经贸类)设工厂甲和工厂乙生产的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从甲厂和乙厂生产的产品分别占60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属甲厂生产的概率是_（分数：3.00）解析： 解析 设 A 1 、
13、A 2 分别表示甲、乙两厂生产的产品为次品，则 P(A 1 )=1%，P(A 2 )=2%B 表示产品为甲厂生产，则 P(B)=0.6， 依题意可知所求的概率为 (2).(工程类)向量 a 与 x 轴，y 轴的夹角分别为 60和 120，则向量 a 与 z 轴的夹角为_（分数：3.00）解析：45或 135 解析 因为 cos 2 +cos 2 +cos 2 =1，即 cos 2 60+cos 2 120+cos 2 =1， 三、解答题(总题数：10，分数：117.00)19. （分数：9.00）_正确答案：()解析：20.已知 （分数：9.00）_正确答案：()解析：因为 所以 故 21.
14、（分数：9.00）_正确答案：()解析：22.求过点(2，-1，3)与直线 （分数：9.00）_正确答案：()解析：因为 s 1 =1，0，-1，n=4，3，0， 由题设知 又因直线过点(2，-1，3)，所以所求直线方程为 23.设 其中 f(u，v)可微，求 （分数：9.00）_正确答案：()解析： 其中 24.计算二次积分 （分数：9.00）_正确答案：()解析：由 可知积分区域为 D=(x，y)|0x1，xy1， 积分区域也可表示为 D=(x，y)|0y1，0xy， 从而交换积分次序，得 25.求微分方程 y“+ycosx=e -sinx 满足初始条件 y(0)=-1 的特解 （分数：9
15、.00）_正确答案：()解析：微分方程的通解为 (1).(经贸类)设 （分数：9.00）_正确答案：()解析：由 AX=A+2X，得 AX-2X=A，(A-2E)X=A， (2).(工程类)求级 （分数：9.00）_正确答案：()解析：这是一个缺项的幂级数 由 解得-3x3，所以级数的收敛区间为(-3，3) 当 x3 时，得级数 (1).(经贸类)设随机变量 X 的分布列为 X -2? ? ? ? 0? ? ? ? ? 2 P k 0.4? ? ? ? 0.3? ? ? ? 0.3 (1)求 E(X)，E(X 2 )，E(3X 2 +5)； (2)求 D(X)（分数：9.00）_正确答案：()
16、解析：(1)X 的分布列为 X -2 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?2 p k 0.4 ? ? ? ? 0.3 ? ? ? ? ? ?0.3 E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2 由随机变量函数的数学期望的定理，知 E(X 2 )=(-2) 2 0.4+0 2 0.3+2 2 0.3=2.8， E(3X 2 +5)=3(-2) 2 +50.4+3(0) 2 +50.3+3(2 2 )+50.3 =13.4 若利用数学期望的性质，则有 E(3X 2 +5)=3E(X 2 )+5=32.8+5=13.4； (2)D(X)=E(X 2 )-E 2 (X)=2.8
17、-(-0.2) 2 =2.76(2).(工程类)证明： 并计算 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明 令 x=-t，dx=-dt，当 x=0 时 t=， 当 x= 时 t=0， 又定积分与积分变量无关，即 整理得 (1).(经贸类)某商品的需求函数为 （分数：9.00）_正确答案：()解析：(1) (2) (3)因为 P=6 时， 属于缺乏弹性的商品，故若价格 P 上涨 1%，总收益会增加增加多少?下面来求总收益 R 增长的百分数，即求当 P=6 时，总收益 R 对价格 P 的弹性 因为总收益 所以收益弹性函数为 所以 (2).(工程类)求由曲面 z=x 2 +2y 2 及 z=3-2x 2 -y 2 所围成立体的体积（分数：9.00）_正确答案：()解析：此立体的体积可看成两个曲顶柱体的体积之差(如图)， 从方程组 中消去 z， 得 x 2 +y 2 =1，故两曲顶柱体的底面为 xOy 面上的圆域 x 2 +y 2 1，所以
