1、山西省专升本考试大学数学模拟 3 及答案解析(总分：183.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：33.00)1.函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 的定义域为_ A0，1 B C D （分数：3.00）A.B.C.D.2.下列各式成立的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.3.设 f(x)具有二阶连续导数， （分数：3.00）A.f(2)是 f(x)的极大值B.f(2)是 f(x)的极小值C.(2，f(2)是曲线的拐点D.(2，f(2)不是曲线的拐点4.已知函数 f(x)可导，且 则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为_ A B
2、（分数：3.00）A.B.C.D.5.下列方程在区间(0，1)内至少有一个实根的为_ A.x3+5x2-2=0 B.ex-1=0 C.x-lnx=0 D.x2+1-arctanx=0（分数：3.00）A.B.C.D.6.sin2x 的一个原函数是_ A2cos2x B C-cos 2 x D （分数：3.00）A.B.C.D.7.若 z=x y ，则 =_ A （分数：3.00）A.B.C.D.8.设函数 z=x 3 y-xy 3 ，则 （分数：3.00）A.B.C.D.9.微分方程(x 2 +y 2 )dx+2xydy=0 的通解为_ A Bx 3 +xy 2 =C C D （分数：3.00
3、）A.B.C.D.(1).(经贸类)设 A，B 是 n 阶方阵，且 r(A)=r(B)，则_（分数：3.00）A.r(A-B)=0B.r(A+B)=2r(A)C.r(A-B)=2r(A)D.r(A+B)r(A)+r(B)(2).(工程类)幂级数 （分数：3.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.无法确定二、填空题(总题数：10，分数：33.00)10.设 （分数：3.00）11.设函数 （分数：3.00）12.设 （分数：3.00）13.曲线 （分数：3.00）14.设 y=f(sinx 2 )，f 为可导函数，则 （分数：3.00）15.函数 y=x 2 在1，3上的平均值为 1 （分数
4、：3.00）16.定积分 （分数：3.00）17.设向量 b 和 a=1，-2，3共线，且 ab=56，则 b= 1 （分数：3.00）18.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，则 （分数：3.00）(1).(经贸类)已知 （分数：3.00）(2).(工程类)点(1，2，3)关于 y 轴的对称点为_（分数：3.00）三、解答题(总题数：10，分数：117.00)19.求极限 （分数：9.00）_20.设 （分数：9.00）_21.设 求 （分数：9.00）_22.求过直线 （分数：9.00）_23.设 u=f(x，xy，xyz)其中 f 具有一阶连续偏导数，求 （分数：9.00）_24.
5、计算二重积分 （分数：9.00）_25.求微分方程 （分数：9.00）_(1).(经贸类)已知矩阵 （分数：9.00）_(2).(工程类)求幂级数 （分数：9.00）_(1).(经贸类)设随机变量 X 的分布函数为 (1)求 （分数：9.00）_(2).(工程类)设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)上可导，且 f(a)=f(b)=0证明：至少一点(a，b)使 f“()+2f()=0（分数：9.00）_(1).(经贸类)某工厂对其产品的销售情况进行大量统计分析后，得出总利润 L(Q)(元)与每月产量 Q(吨)的关系为 L=L(Q)=250Q-5Q 2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨
6、，35 吨的边际利润，并做出经济解释（分数：9.00）_(2).(工程类)求由曲面 z=x 2 +y 2 ，与平面 x+y=1，及三个坐标面所围成立体的体积（分数：9.00）_山西省专升本考试大学数学模拟 3 答案解析(总分：183.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：33.00)1.函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 的定义域为_ A0，1 B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 解得 所以定义域为 2.下列各式成立的是_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 故应选 B 而 3.设 f(x)具有二阶连续
7、导数， （分数：3.00）A.f(2)是 f(x)的极大值B.f(2)是 f(x)的极小值C.(2，f(2)是曲线的拐点D.(2，f(2)不是曲线的拐点 解析：解析 知当 x2 时，4.已知函数 f(x)可导，且 则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为_ A B （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 所以 5.下列方程在区间(0，1)内至少有一个实根的为_ A.x3+5x2-2=0 B.ex-1=0 C.x-lnx=0 D.x2+1-arctanx=0（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 利用零点定理进行验证 对于 A，令 f(x)=x 3 +5x 2
8、-2，f(0)=-2，f(1)=4， 所以方程 x 3 +5x 2 -2=0 在(0，1)内至少一个根，故应选 A6.sin2x 的一个原函数是_ A2cos2x B C-cos 2 x D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 验证四个答案中哪个函数的导数是 sin2x， (-cos 2 x)“=-2cosx(cosx)“=2cosxsinx=sin2x故应选 C7.若 z=x y ，则 =_ A （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 8.设函数 z=x 3 y-xy 3 ，则 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 9.微分方程(x 2 +y 2 )dx+2xy
9、dy=0 的通解为_ A Bx 3 +xy 2 =C C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 可通过对通解两边求微分验证方法确定， (1).(经贸类)设 A，B 是 n 阶方阵，且 r(A)=r(B)，则_（分数：3.00）A.r(A-B)=0B.r(A+B)=2r(A)C.r(A-B)=2r(A)D.r(A+B)r(A)+r(B) 解析：解析 矩阵的和的秩不大于矩阵秩的和，本题应选 D(2).(工程类)幂级数 （分数：3.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.无法确定解析：解析 因为二、填空题(总题数：10，分数：33.00)10.设 （分数：3.00）解析：1 解析
10、因为 e x 0，所以 f(e x )=1，ff(e x )=f(1)=111.设函数 （分数：3.00）解析：2解析 12.设 （分数：3.00）解析： 解析 设 则 所以 13.曲线 （分数：3.00）解析： 解析 点(-1，1，-1)处对应的 t=-1， 故切线的方向向量 s=x“(t)| t=-1 ，y“(t)| t=-1 ，z“(t)| t=-1 =1，-2，3 故切线方程为 14.设 y=f(sinx 2 )，f 为可导函数，则 （分数：3.00）解析：2xcosx 2 f“(sinx 2 ) 解析 15.函数 y=x 2 在1，3上的平均值为 1 （分数：3.00）解析： 解析
11、y=x 2 在1，3上的平均值为 16.定积分 （分数：3.00）解析：4 解析 由于 为-1，1上的奇函数，故上式 17.设向量 b 和 a=1，-2，3共线，且 ab=56，则 b= 1 （分数：3.00）解析：4a解析 因为 b 与 a 共线，所以 b=a=，-2，3，由 ab=1+(-2)(-2)+33=56，得 =4，所以 b=4，-8，12或者 b=4a18.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，则 （分数：3.00）解析：解析 (1).(经贸类)已知 （分数：3.00）解析：e -1 解析 (2).(工程类)点(1，2，3)关于 y 轴的对称点为_（分数：3.00）解析：(-
12、1，2，-3)解析 点(1，2，3)关于 y 轴的对称点，即 y 不变，x，z 取其相反数，故点(1，2，3)的对称点为(-1，2，-3)三、解答题(总题数：10，分数：117.00)19.求极限 （分数：9.00）_正确答案：()解析：20.设 （分数：9.00）_正确答案：()解析：两边同取自然对数，得 两边分别对 x 求导，得 21.设 求 （分数：9.00）_正确答案：()解析：被积函数为分段函数，运用分段积分法 22.求过直线 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解方程组 得直线与平面的交点为(3，-3，5)， 又 s=n=1，1，-3， 所以所求直线的方程为 23.设 u=f(
13、x，xy，xyz)其中 f 具有一阶连续偏导数，求 （分数：9.00）_正确答案：()解析：将中间变量 x，xy，xyz 依次编为 1，2，3 号，则 24.计算二重积分 （分数：9.00）_正确答案：()解析：积分区域如图， 25.求微分方程 （分数：9.00）_正确答案：()解析：原方程化为 y“+2xy=xe -x2 ， 所求方程的通解为 (1).(经贸类)已知矩阵 （分数：9.00）_正确答案：()解析：由 A 2 -AB=E 可得 B=A-A -1 ，而 所以有 (2).(工程类)求幂级数 （分数：9.00）_正确答案：()解析：令 x 2 =t，则 因为 所以幂级数 的收敛半径为
14、由 x 3 3 解得 当 时级数化为 发散， 所以原级数 的收敛域为 (1).(经贸类)设随机变量 X 的分布函数为 (1)求 （分数：9.00）_正确答案：()解析：(1)对应任意指定的实数 a，只要随机变量 X(不管什么类型)的分布函数在点 a 处连续，则 PX=a=0，故有 (2)由于在 f(x)的连续点处有 ，即有 (2).(工程类)设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)上可导，且 f(a)=f(b)=0证明：至少一点(a，b)使 f“()+2f()=0（分数：9.00）_正确答案：()解析：证明 设 F(x)=f(x)e x2 ，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，
15、且 F(a)=f(a)e a2 =0，F(b)=f(b)e b2 =0，即 F(a)=F(b)，所以至少存在一点 (a，b)，使 F“()=0， 即 F“()=f“()e 2 +f()e 2 2=0， 又 e 2 0，f“()+2f()=0(1).(经贸类)某工厂对其产品的销售情况进行大量统计分析后，得出总利润 L(Q)(元)与每月产量 Q(吨)的关系为 L=L(Q)=250Q-5Q 2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释（分数：9.00）_正确答案：()解析：边际利润为 L“(Q)=250-10Q，则 L“(Q)| Q=20 =L“(20)=50； L“
16、(Q)| Q=25 =L“(25)=0； L“(Q)| Q=35 =L“(35)=100 上述结果表明当生产量为每月 20 吨时，再增加一吨，利润将增加 50 元，当产量为每月 25 吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为 35 吨时，再增加一吨，利润将减少 100此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越名，利润越高(2).(工程类)求由曲面 z=x 2 +y 2 ，与平面 x+y=1，及三个坐标面所围成立体的体积（分数：9.00）_正确答案：()解析：该立体是以曲面 z=x 2 +y 2 为顶部，以两个坐标面和平面 x+y=1 为侧面，底面在 xOy 面上的三角形区域 D=(x，y)|0x1，0y1-x， 所以
