1、四川省专升本（高等数学）-试卷 3 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：2.00）A.2B.C.一 2D.3.下列等式不成立的是 ( )（分数：2.00）A.=eB.C.=eD.=e4.已知 f(cosx)=sinx，则 f(cosx)= ( )（分数：2.00）A.一 cosx+CB.cosx+CC.(sinxcosxx)+CD.(xsinxcosx)+C5.下列关系式正确的是 ( )（分数：2.00）A.d
2、f(x)dx=f(x)+CB.f(x)dx=f(x)C.f(x)dx=f(x)D.f(x)dx=f(x)+C6.设 z=x 3 y 2 ，则 （分数：2.00）A.12dx+4dyB.12dx 一 4dyC.6dx+4dyD.6dx 一 4dy7.a=(1，2)，b=(2，1，2)，且 a 与 b 的夹角的余弦为 （分数：2.00）A.一 2B.C.一 2 或D.2 或8.过点 M(0，1，2)且垂直于平面 2xy+3z 一 1=0 的直线方程为 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.9.下列反常积分收敛的是 ( )（分数：2.00）A.xdxB.C.dxD.dx10.微分方程 （分数：2.
3、00）A.2(x 3 y 2 )+3(x 2 y 3 )=CB.2(x 3 y 3 )+3(y 2 一 x 2 )=CC.2(x 3 y 3 )+3(x 2 y 2 )=CD.3(x 3 y 3 )+2(x 2 y 2 )=C11.A 为 n 阶可逆矩阵，则下列各项正确的是 ( )（分数：2.00）A.(2A 1 ) T =(2A T ) 1B.(2A) 1 =2A 1C.E(A 1 ) 1 T =(A T ) 1 1D.A=二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.参数方程 所确定的函数的一阶导数 （分数：2.00）填空项 1:_1
4、4.设 f(2)=1， （分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 x(y) 2 2xy+x=0 的阶数是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.设 z= sin(x 2 一 xy+y 2 )，求 （分数：2.00）_21.求微分方程 y+ycosx=e sinx 的通解（分数：2.00）_22.将 f(x)= （分数：2.00）_23.(1)求由曲线 y=e x 与
5、直线 x+y=1，x=1 所围成的平面图形的面积 S； (2)计算二重积分 （分数：2.00）_24.设线性方程组 （分数：2.00）_25.求函数 f(x，y)=2x 3 一 6xy+3y 2 +5 的极值（分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.欲围成一个面积为 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米 6 元，其余三面是每平方米 3 元，问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少?（分数：2.00）_27.求由曲线 y=2 一 x 2 ，y=x(x0)与直线 x=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积（分数：2.00）_五、证
6、明题(总题数：1，分数：2.00)28.证明方程 3x 一 1 一 （分数：2.00）_四川省专升本（高等数学）-试卷 3 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：2.00）A.2 B.C.一 2D.解析：解析：由题设条件，有3.下列等式不成立的是 ( )（分数：2.00）A.=eB.C.=e D.=e解析：解析：利用重要极限4.已知 f(cosx)=sinx，则 f(cosx)= ( )（分数：2.00）A.
7、一 cosx+CB.cosx+CC.(sinxcosxx)+C D.(xsinxcosx)+C解析：解析：已知 f(cosx)=sinx，在此式两侧对 cosx 求积分，得 f(cosx)d(cosx)=sinxd(cosx)，有5.下列关系式正确的是 ( )（分数：2.00）A.df(x)dx=f(x)+CB.f(x)dx=f(x)C.f(x)dx=f(x) D.f(x)dx=f(x)+C解析：解析：A 项，df(x)dx=f(x)dx；B 项，f(x)dx=f(x)+C；C 项，6.设 z=x 3 y 2 ，则 （分数：2.00）A.12dx+4dy B.12dx 一 4dyC.6dx+4
8、dyD.6dx 一 4dy解析：解析：由 z=x 3 y 2 ，得 =2x 3 y，故 dz=3x 2 y 2 dx+2x 3 ydy， 7.a=(1，2)，b=(2，1，2)，且 a 与 b 的夹角的余弦为 （分数：2.00）A.一 2B.C.一 2 或 D.2 或解析：解析：a.b=12+(一 1)+22=6 一 ，又a.b=a.bcos(a，b)=8.过点 M(0，1，2)且垂直于平面 2xy+3z 一 1=0 的直线方程为 ( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查了空间中直线方程的求解由于所求直线与已知平面垂直，因此直线的方向向量 s可取为已知平面的法向量 n=(
9、2，一 1，3)由直线的点向式方程可知所求直线方程为9.下列反常积分收敛的是 ( )（分数：2.00）A.xdxB.C.dxD.dx 解析：解析：A 项， =发散； B 项， =发散； C 项， =发散； D 项，10.微分方程 （分数：2.00）A.2(x 3 y 2 )+3(x 2 y 3 )=CB.2(x 3 y 3 )+3(y 2 一 x 2 )=CC.2(x 3 y 3 )+3(x 2 y 2 )=C D.3(x 3 y 3 )+2(x 2 y 2 )=C解析：解析：对原式变形得(x+x 2 )dx 一(y+y 2 )dy=0，移项得(x+x 2 )dx=(y+y 2 )dy对等式两
10、边积分可得 11.A 为 n 阶可逆矩阵，则下列各项正确的是 ( )（分数：2.00）A.(2A 1 ) T =(2A T ) 1B.(2A) 1 =2A 1C.E(A 1 ) 1 T =(A T ) 1 1 D.A=解析：解析：由于(2A T )(2A 1 ) T =(2A) T (2A 1 ) T =(2A 1 )(2A) T =4E，故 A 错误；B，(2A) 1 = 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由已知及连续的定义得 13.参数方程 所确定的函数的一阶导数 （分数：2.00）填空项
11、 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.设 f(2)=1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由分部积分公式有 f(x)dx=2f(2)15.微分方程 x(y) 2 2xy+x=0 的阶数是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为这个方程的阶16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：AX=A+2X (A 一 2E)X=A，A 一 2E= ，容易证明 A 一 2E= 可逆，所以 X=(A一 2E) 1 A，又因为(A
12、一 2E，A)= 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =1，要使 f(x)在 x=1 处连续，应有 k=f(1)= )解析：解析：本题考查函数的极限和连续，关键是求出19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题考查的知识点为定积分的计算利用换元积分法计算即可20.设 z= sin(x 2 一 xy+y 2 )，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u= ，v=x 2 xy+y 2 ， 则 z=e u sinv，于是有
13、 =e u sinv. +e u cosv.(2xy) = sin(x 2 xy+y 2 )+(2xy)cos(x 2 xy+y 2 )， =e u sinv.( ) +e u cosv.(2yx) = (2yx)cos(x 2 xy+y 2 ) )解析：解析：本题考查复合函数求导，引进中间变量化简运算求解即可21.求微分方程 y+ycosx=e sinx 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=e cosxdx e sinx .e cosxdx dx+C =e sinx e sinx .e sinx dx+C =e sinx (x+C)解析：解析：本题考查一阶线性微分方程的通解，
14、利用非齐次线性微分方程的通解公式求解即可22.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题考查的知识点为将函数展开为 z 的幂级数23.(1)求由曲线 y=e x 与直线 x+y=1，x=1 所围成的平面图形的面积 S； (2)计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)S= (e x 1+x)dx=(e x x+ (2) x(e 2x (x 2 2x+1)dx )解析：解析：本题考查定积分与二重积分计算，至于第(2)问，把二重积分化为累次积分计算即可24.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程组的增广矩阵变形过程为：
15、 )解析：解析：本题是用初等行变换求非齐次线性方程组的解的不同情况25.求函数 f(x，y)=2x 3 一 6xy+3y 2 +5 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f x (x，y)=6x 2 6y，f y (x，y)=6x+6y，f xx (x，y)=12x，f xy (x，y)=6，f yy (x，y)=6 令 )解析：解析：本题考查的知识点是二元函数的无条件极值二元函数取得极值的充分条件：设 z=f(x，y)在(x 0 ，y 0 )的某个领域内有连续一、二阶偏导数，且 f x (x 0 ，y 0 )=f y (x 0 ，y 0 )=0，令f xx (x 0 ，y 0 )=
16、A，f xy (x 0 ，y 0 )=B，f yy (x 0 ，y 0 )=C，则 当 B 2 一 AC0 且 A0 时，f(x 0 ，y 0 )为极大值； 当 B 2 一 AC0 且 A0，f(x 0 ，y 0 )为极小值； B 2 一 AC0 时，(x 0 ，y 0 )不是极值点四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.欲围成一个面积为 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米 6 元，其余三面是每平方米 3 元，问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所围场地正面长为 x，另一边为 y，则 xy=150，从而 y=
17、设四面围墙高度相同，都是 h，则四面围墙所使用的材料总费用为 f(x)=6xh+3(2yh)+3xh =9xh+6h. 则 f(x)=9h(1 一 )， 令 f(x)=0，得驻点 x 1 =10，x 2 =10(舍去) )解析：解析：先用其四个面的面积乘以相应的单位面积的造价，求和写出总费用函数 f(x)，然后用求一元函数 y=f(x)最值法即可得解27.求由曲线 y=2 一 x 2 ，y=x(x0)与直线 x=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由平面图形 axb，0yy(x)所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积为
18、 V x = y 2 (x)dx 画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为0x1，0y2 一 x 2 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积减去 0x1，0yx所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积 当 x0 时，由 )解析：解析：就一般情况而言，如果有两条曲线 y=f(x)，y=g(x)(假设 f(x)g(x)与 x=a，x=b(ab)所围成的平面绕 z 轴旋转一周，则其所生成的旋转体的体积公式为： V x = 五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.证明方程 3x 一 1 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=3x 一 1 一 ，
19、则 f(x)在区间0，1上连续 由于 dt=1，所以f(1)=2 0又 f(0)=10， 根据连续函数的介值定理，函数 f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点，即所给方程在(0，1)内至少有一个实根 又 f(x)=3 一 ，当 0x1 时，f(x)0 因此，f(x)在0，1上单调增加，由此知 f(x)在区间(0，1)内至多有一个零点 综上可知，方程 3x 一 1一 )解析：解析：首先设 f(x)=3x 一 1 一 dt，然后验证 f(x)在0，1上满足介值定理条件由介值定理得到 f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点(实根)，并且根据 f(x)=3 一 0(0x1)说明 f(x)是单调增函数，从而得到 f(x)在(0，1)内至多有一个零点由此得到方程 3x 一 1 一
