1、四川省专升本（高等数学）-试卷 2 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.下列命题中正确的有 ( )（分数：2.00）A.若 x 0 为 f(x)的极值点，则必有 f(x 0 )=0B.若 f(x 0 )=0，则 x 0 必为 f(x)的极值点C.若 x 0 为 f(x)的极值点，可能 f(x 0 )不存在D.若 f(x)在(a，b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值3.当 x0 时，kx 是 sinx 的等价无穷小量，则 k= ( )（分
2、数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设 y=ln(12x)，则 y= ( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.dx= ( ) （分数：2.00）A.一 1B.C.D.16.曲线 y=xsin （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平渐近线又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平渐近线又无垂直渐近线7.过原点且与平面 2xy+3z+5=0 平行的平面方程为 ( )（分数：2.00）A.B.=0C.2xy+3z=0D.2x=y=3z8.dx= ( ) （分数：2.00）A.B.C.ln1 一 x 2 +CD.一 ln1 一 x 2 +C9.设 D=(x，y)x 2 +y 2
3、a 2 ，a0)，在极坐标下二重积分 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 A 为三阶矩阵，A=2，其伴随矩阵为 A * ，则(A * ) * = ( )（分数：2.00）A.2AB.4AC.8AD.16A11.微分方程 y+ （分数：2.00）A.y=B.y=C.y=D.y=二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设方程 y=1+xe y 确定了 y 是 x 的隐函数，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设某商品的需求函数为 Q=f(P)=12 一 （分数：2.00）填空项 1:_14.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 （分数：2.00）填空项
4、 1:_16.已知 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_18.求极限 （分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.设 x 2 +y 2 +z 2 4z=0，求 （分数：2.00）_21.求微分方程 xy+y=e x 满足初始条件 y x=1 =e 的特解（分数：2.00）_22.判定级数 （分数：2.00）_23.已知直线 l： （分数：2.00）_24.计算二重积分 （分数：2.00）_25.解线性方程组 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.有一边长为
5、 48 厘米的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器的容积最大?（分数：2.00）_27.求由曲线 y=lnx，x=e 与 y=0 所围成的封闭平面图形绕 x 轴，y 轴旋转所得到的两个旋转体体积 V x ，V y （分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.试证：arctanb 一 arctanab 一 a（分数：2.00）_四川省专升本（高等数学）-试卷 2 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只
6、有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.下列命题中正确的有 ( )（分数：2.00）A.若 x 0 为 f(x)的极值点，则必有 f(x 0 )=0B.若 f(x 0 )=0，则 x 0 必为 f(x)的极值点C.若 x 0 为 f(x)的极值点，可能 f(x 0 )不存在 D.若 f(x)在(a，b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值解析：解析：极值的必要条件：设 y=f(x)在点 x 0 处可导，且 x 0 为 f(x)的极值点，则 f(x 0 )=0，但反之不一定成立故选 C3.当 x0 时，kx 是 sinx 的等价无穷小量，则 k= ( )（分数：2.00）
7、A.0B.1 C.2D.3解析：解析：由等价无穷小量的概念，可知4.设 y=ln(12x)，则 y= ( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：5.dx= ( ) （分数：2.00）A.一 1B.C. D.1解析：解析：本题考查定积分的运算6.曲线 y=xsin （分数：2.00）A.仅有水平渐近线 B.既有水平渐近线又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平渐近线又无垂直渐近线解析：解析：因为7.过原点且与平面 2xy+3z+5=0 平行的平面方程为 ( )（分数：2.00）A.B.=0C.2xy+3z=0 D.2x=y=3z解析：解析：已知平面 1 ：2xy+3z+5=0 的
8、法向量 n 1 =(2，一 1，3)，所求平面 1 ，则平面 的法向量 nn 1 ，可以取 n=n 1 =(2，一 1，3)由于所求平面过原点，由平面的点法式方程，得2xy+3z=0 为所求平面方程8.dx= ( ) （分数：2.00）A.B. C.ln1 一 x 2 +CD.一 ln1 一 x 2 +C解析：解析： 9.设 D=(x，y)x 2 +y 2 a 2 ，a0)，在极坐标下二重积分 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 D：x 2 +y 2 a 2 ，a0，令 则有 r 2 a 2 ，0ra，02，所以 10.设 A 为三阶矩阵，A=2，其伴随矩阵为 A * ，则(
9、A * ) * = ( )（分数：2.00）A.2A B.4AC.8AD.16A解析：解析：因为A.A * =A n ，所以A * =A n1 =4，且AA 1 =A * ，所以 A=(A * ) 1 ，故(A * ) * =(A * ) 1 .A * = 11.微分方程 y+ （分数：2.00）A.y=B.y=C.y=D.y= 解析：解析：由一阶线性微分方程的通解公式有 由初始条件 y x=1 =0，得 C=0，故所求特解为 y= 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设方程 y=1+xe y 确定了 y 是 x 的隐函数，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
10、：正确答案：*dx）解析：解析：由 y=1+xe y 得 y=e y +xe y y，移项化简可得 y= ，则 dy= 13.设某商品的需求函数为 Q=f(P)=12 一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 将 P=6 代入得14.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为级数为 ，所以用比值判别法有 当 1 时收敛，即 x 2 2收敛区间为 ，故收敛半径 R= 15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2）解析：解析：因为 f(x)dx=，所以 f(y)dy =( 16.已知 （分数：
11、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为矩阵 可逆，所以由 ，可得 X= ， 即三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：此极限是“.(一)”的不定型而已知(a 一 b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 一 b 3 ，所以分子、分母同乘 后分式变为“ 19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t=lnx，则 dt= dx =ln(lnx)+C 也可以利用凑微分法计算：)解析：解析：本题考查的知识点是不定积分的换
12、元积分运算本题中出现的主要问题是不定积分运算丢掉任意常数 C20.设 x 2 +y 2 +z 2 4z=0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 一 4z，则 F x =2x， F y =2yx， F z =2z一 4， 故 从而 )解析：解析：解这样一个二元函数隐函数求偏导数的题型首先要设 F(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 一 4z，然后要掌握公式： 21.求微分方程 xy+y=e x 满足初始条件 y x=1 =e 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给方程为一阶线性微分方程，将其化为标准方程 将初始条件
13、y x=1 =e代入上式，可得 C=0，故 y= )解析：解析：将方程化为标准形式，先求出微分方程的通解，冉利用初始条件求出特解22.判定级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给级数是任意项级数，不是交错级数由于 又由于 的 p 级数，因而收敛由正项级数的比值判别法可知 收敛，从而 )解析：解析：这是一道任意项级数判断敛散性的题，首先清楚如果给了一个任意项级数 (一 1) n a n 那么先看看 (一 1) n a n 是否收敛如收敛，则原级数 (一 1) n a n 绝对收敛如 (一 1) n a n 发散，但原级数 (一 1) n a n 收敛，则称 23.已知直线 l： （分
14、数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，直线 l 的方向向量 s=(3，4，一 7)必定平行于所求平面 的法向量n，因此可取 n=s=(3，4，一 7) 利用平面的点法式方程可知 3x 一(一 2)+4(y 一 9)一 7(z 一 5)=0， 即 3(x+2)+4(y 一 9)一 7(z 一 5)=0 为所求平面方程 或写为一般式方程：3x+4y 一 7z+5=0)解析：解析：由直线的方向向量可以确定平面的法向量，进而求出平面的点法式方程24.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 有唯一解 x=1，y=1，对应点(1，1)作直线平行于 y 轴与区域 D 相交，
15、沿 y 轴正方向看，入口曲线为 y=0，出口曲线为 y=x，因而 0yx又由于在 D 中 0x1，于是 )解析：解析：积分区域 D 的图形如图所示积分区域 D 较简单，但是如果先对 x 积分，则遇到 dx 不能用初等函数表示出来，即不可积分因此应该考虑先对 y 积分，后对 x 积分的次序25.解线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵 施行初等行变换由第一和第二行分别减去第三行的 5 倍和 2倍，然后把第三行换到第一行的位置，再把新矩阵的第二行和第三行互换位置得 ，由第二行减去第三行的 2 倍得 )解析：解析：通过对增广矩阵施行初等行变换，把矩阵化成最简的形式四、综合题
16、(总题数：2，分数：4.00)26.有一边长为 48 厘米的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器的容积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设截下的小正方形的边长为 z 厘米，则正方体容器的底边长为 482x，高为 x，容积为 V(x)=(482x) 2 x，其中 x 的变化范围是 0x24 V(x)=(482x)(486x)，令 V(x)=0，得驻点坐标 x=8，x=24(舍去) V(x)=24x384，V(8)=1920，所以 x=8 是唯一的极大值点，也是最大值点，最大值是 V(8)=8192 答
17、：当截去的小正方形的边长是 8 厘米时，容器的容积达到最大，此时容积是 8192 立方厘米)解析：解析：本题考查实际问题中的求最值问题根据题意写容器容积的函数关系式，通过求导，计算最值27.求由曲线 y=lnx，x=e 与 y=0 所围成的封闭平面图形绕 x 轴，y 轴旋转所得到的两个旋转体体积 V x ，V y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=lnx，x=e 与 y=0 所围成的封闭平面图形如图所示 由于当 x=1 时，lnx=ln1=0，可知图形中 x 的变化范围为1，e 由于 y x=1 =0，y x=e =lne=1，可知图形中 y 的变化范围为 0，1由 y=ln
18、x 可知 x=e y ，因此由旋转体体积公式知 V x = ln 2 xdx， V y = (e 2 一 e 2y )dy 从而有 V y = (e 2 一 e 2y )dy= )解析：解析：本题考查的是利用定积分计算旋转体体积五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.试证：arctanb 一 arctanab 一 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系因此可以设 y=f(x)=arctanx，不妨设 ab，则 y=arctanx 在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导进而可知，y=arctanx 在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，因此必定存在点 (a，b)。使得 f(b)f(a)=f()(ba)由于 (arctanx)= 从而有 arctanbarctana= (ab)， arctanb一 arctana= )解析：解析：由于拉格朗日中值定理描述了函数的增量与自变量的增量及导数在给定区间内某点值之间的关系，因而微分中值定理常可用来证明某些有关可导函数增量与自变量的增量，或它们在区间内某点处函数值有关的等式与不等式
