1、四川省专升本高等数学模拟 4 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 f(x)的定义域为0，1，则 f(lnx)的定义域为_（分数：2.00）A.(0，1B.(0，eC.(1，eD.1，e2.当 x0 时，x 2 是 1-cosx 的_（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶无穷小，但非等价无穷小3.对于函数 （分数：2.00）A.x=0 是第一类间断点，x=1 是第二类间断点B.x=0 是第二类间断点，x=1 是第一类间断点C.x=0 是第一类间断点，x=1 是第一类间断点D.x=0 是第二
2、类间断点，x=1 是第二类间断点4.设 f(x)在 x=2 处可导，且 f“(2)=1，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 f(x)有一原函数 ，则f“(x)dx=_ A Bcosx+C C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.设向量 a=2i+2j-k，b=2j+3k，则 a 与 b 的向量积为_（分数：2.00）A.8i-6j+4kB.8i-6j+2kC.8i-3j+2kD.8i-3j+k7.设常数 k0，则级数 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.收敛性与 k 值有关8.方程 y“+2y“+3y=0 的通解是_ Ay=e x (C 1 cos2x
3、+C 2 sin2x) B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是_（分数：2.00）A.1+2，2+3，3+1B.1，1+2，1+2+3C.1-2，2-3，3-1D.1+2，22+3，33+110.设 L 是圆周 x 2 +y 2 =4，沿逆时针方向， （分数：2.00）A.4B.8C.-16D.-32二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.设 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则 f“(4)= 1 （分数：3.00）12.定积分 （分数：3.00）13.已知向量 a=1，-2，1，b=1，1
4、，2，则向量(2a-b)(a+b)= 1 （分数：3.00）14.设 z=xe xy ，则 （分数：3.00）15.设矩阵 （分数：3.00）三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_17.设函数 y=y(x)由方程 y=(lnx) x x lnx 确定，求 y“ （分数：6.00）_18.计算不定积分 （分数：6.00）_19.设函数 z=x 3 y 2 -3xy 3 -xy+2，求 （分数：6.00）_20.计算 （分数：6.00）_21.将函数 （分数：6.00）_22.求微分方程 （分数：6.00）_23.求解线性方程组 （分数：6.00）_四、应用题
5、(总题数：2，分数：12.00)24.某工厂生产某产品需两种原料 A、B，且产品的产量 z 与所需 A 原料数 x 及 B 原料数 y 的关系式为：z=x 2 +8xy+7y 2 已知 A 原料的单价为 1 万元/吨，B 原料的单价为 2 万元/吨现有 100 万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大? （分数：6.00）_25.求由曲线 y=x 2 与直线 x=1，x=2 及 y=0 围成平面图形的面积 S 以及该图形绕 x 轴旋转一周形成的旋转体的体积 V （分数：6.00）_五、证明题(总题数：1，分数：5.00)26.证明：当 x1 时， （分数：5.00）_四川省专升本高等数学模拟
6、 4 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 f(x)的定义域为0，1，则 f(lnx)的定义域为_（分数：2.00）A.(0，1B.(0，eC.(1，eD.1，e 解析：2.当 x0 时，x 2 是 1-cosx 的_（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶无穷小，但非等价无穷小 解析：3.对于函数 （分数：2.00）A.x=0 是第一类间断点，x=1 是第二类间断点 B.x=0 是第二类间断点，x=1 是第一类间断点C.x=0 是第一类间断点，x=1 是第一类间断点D.x=0 是第二类间断点
7、，x=1 是第二类间断点解析：4.设 f(x)在 x=2 处可导，且 f“(2)=1，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：5.设 f(x)有一原函数 ，则f“(x)dx=_ A Bcosx+C C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：6.设向量 a=2i+2j-k，b=2j+3k，则 a 与 b 的向量积为_（分数：2.00）A.8i-6j+4k B.8i-6j+2kC.8i-3j+2kD.8i-3j+k解析：7.设常数 k0，则级数 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛 D.收敛性与 k 值有关解析：8.方程 y“+2y“+3y=0 的通解是_ Ay
8、=e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x) B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：9.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是_（分数：2.00）A.1+2，2+3，3+1B.1，1+2，1+2+3C.1-2，2-3，3-1 D.1+2，22+3，33+1解析：10.设 L 是圆周 x 2 +y 2 =4，沿逆时针方向， （分数：2.00）A.4B.8 C.-16D.-32解析：二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.设 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则 f“(4)= 1 （分数：3.00）解析：4!12.定积分
9、 （分数：3.00）解析：13.已知向量 a=1，-2，1，b=1，1，2，则向量(2a-b)(a+b)= 1 （分数：3.00）解析：714.设 z=xe xy ，则 （分数：3.00）解析：(2x+x 2 y)e xy15.设矩阵 （分数：3.00）解析：三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：17.设函数 y=y(x)由方程 y=(lnx) x x lnx 确定，求 y“ （分数：6.00）_正确答案：()解析：18.计算不定积分 （分数：6.00）_正确答案：()解析：19.设函数 z=x 3 y 2 -3xy 3 -xy+2，求
10、 （分数：6.00）_正确答案：()解析：20.计算 （分数：6.00）_正确答案：()解析：积分区域 D 如图所示从被积函数的特点知，该积分应化为“先对 y 积分，后对 x 积分”的二次积分 区域 D 可表示为： 则 21.将函数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：首先将 f(x)化为含“x-3”的表达式，然后把“x-3”作为整体变量展开幂级数 因 所以，有 22.求微分方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：该方程是一阶线性非齐次微分方程因为 P(x)=2x，Q(x)=xe -x2 ，于是其通解为 23.求解线性方程组 （分数：6.00）_正确答案：()解析： 得同解力程组 取
11、 x 3 =1，x 4 =0，x 5 =0，得 取 x 3 =0，x 4 =1，x 5 =0，得 取 x 3 =0，x 4 =0，x 5 =1，得 该方程组的通解为 四、应用题(总题数：2，分数：12.00)24.某工厂生产某产品需两种原料 A、B，且产品的产量 z 与所需 A 原料数 x 及 B 原料数 y 的关系式为：z=x 2 +8xy+7y 2 已知 A 原料的单价为 1 万元/吨，B 原料的单价为 2 万元/吨现有 100 万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大? （分数：6.00）_正确答案：()解析：化条件极值为无条件极值 将条件 x+2y=100 代入函数 z=x 2 +8
12、xy+7y 2 ，得 z=(100-2y) 2 +8(100-2y)y+7y 2 =100 2 +400y-5y 2 z“(y)=400-10y，令 y“=0，得 y=40； 又 z“(y)=-100， y=40 时，z 最大，此时，x=100-2y=20 当 z=20 吨，y=40 吨时，才能使该产品产量最大25.求由曲线 y=x 2 与直线 x=1，x=2 及 y=0 围成平面图形的面积 S 以及该图形绕 x 轴旋转一周形成的旋转体的体积 V （分数：6.00）_正确答案：()解析：曲线 y=x 2 与直线 x=1，x=2 及 y=0 围成的平面图形如图所示： 所求面积 所求旋转体的体积 五、证明题(总题数：1，分数：5.00)26.证明：当 x1 时， （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 构造函数 则 f(x)在1，+)上连续，在(1，+)内可导，且 f“(x)0， f(x)在1，+)上单调增加 f(1)=2-3+1=0， f(x)f(1)=0， f(x)0，即 即当 x1 时，
