1、四川省专升本高等数学模拟 3 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设 f(x)在 x=1 处连续，且 ，则 f“(1)=_ A2 B C-2 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.下列等式不成立的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知 f“(cosx)=sinx，则 f(cosx)=_ A-cosx+C Bcosx+C C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列关系式正确的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 z=x 3 y 2 ，则 （分数：4.00）A.12
2、dx+4dyB.12dx-4dyC.6dx+4dyD.6dx-4dy6.a=(1，2)，b=(2，-1，2)，且 a 与 b 的夹角的余弦为 ，则 =_ A2 B C2 或 D2 或 （分数：4.00）A.B.C.D.7.过点 M(0，-1，2)且垂直于平面 2x-y+3z-1=0 的直线方程为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列反常积分收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.微分方程 （分数：4.00）A.B.C.D.10.A 为 n 阶可逆矩阵，则下列各项正确的是_ A(2A -1 ) T =(2A T ) -1 B(2A) -1 =2A
3、 -1 C(A -1 ) T =(A T ) -1 -1 D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.设方程 y=1+xe y 确定了 y 是 x 的隐函数，则 dy= 1 （分数：4.00）12.设某商品的需求函数为 （分数：4.00）13.幂级数 （分数：4.00）14.已知 ，则 （分数：4.00）15.已知 （分数：4.00）三、计算题(总题数：8，分数：64.00)16.已知当 x0 时， （分数：8.00）_17.设 f(x)=e 3x ，求 （分数：8.00）_18.设 f(x，y)=cos(x 2 y)，求 （分数：8.00）_19.计
4、算 ，其中 D 如图所示，由 y=x，y=1 与 y 轴围成 （分数：8.00）_20.求经过点 A(3，2，1)和 B(-1，2，-3)且与坐标平面 xOz 垂直的平面的方程 （分数：8.00）_21.计算 （分数：8.00）_22.求常微分方程 （分数：8.00）_23.设线性方程组 （分数：8.00）_四、应用题(总题数：2，分数：16.00)24.要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料已知下底面材料每平方厘米的价格为 3 元，侧面材料每平方厘米的价格为 1 元问该容器的底面半径 r 与高h 各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少? （
5、分数：8.00）_25.求幂级数 （分数：8.00）_五、证明题(总题数：1，分数：10.00)26.证明不等式： （分数：10.00）_四川省专升本高等数学模拟 3 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设 f(x)在 x=1 处连续，且 ，则 f“(1)=_ A2 B C-2 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由题设条件，有2.下列等式不成立的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用重要极限3.已知 f“(cosx)=sinx，则 f(cosx)=_ A-cosx+C Bc
6、osx+C C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 已知 f“(cosx)=sinx，在此式两侧对 cosx 求积分，得 有 4.下列关系式正确的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A 项， ；B 项， ；C 项，5.设 z=x 3 y 2 ，则 （分数：4.00）A.12dx+4dy B.12dx-4dyC.6dx+4dyD.6dx-4dy解析：解析 由 z=x 3 y 2 得 ，故 dz=3x 2 y 2 dx+2x 3 ydy， 6.a=(1，2)，b=(2，-1，2)，且 a 与 b 的夹角的余弦为 ，则 =_ A2 B C2 或 D2
7、 或 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 ab=-12+(-1)+22=6-，又ab=|a|b|cosa，b= ，解得 =-2或7.过点 M(0，-1，2)且垂直于平面 2x-y+3z-1=0 的直线方程为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查了空间中直线方程的求解由于所求直线与已知平面垂直，因此直线的方向向量S 可取为已知平面的法向量 n=(2，-1，3)由直线的点向式方程可知所求直线方程为8.下列反常积分收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 项， 发散； B 项， 发散； C 项， 发散； D 项，
8、 9.微分方程 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 对原式变形得(x+x 2 )dx-(y+y 2 )dy=0，移项得(x+x 2 )dx=(y+y 2 )dy对等式两边积分可得 10.A 为 n 阶可逆矩阵，则下列各项正确的是_ A(2A -1 ) T =(2A T ) -1 B(2A) -1 =2A -1 C(A -1 ) T =(A T ) -1 -1 D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于(2A T )(2A -1 ) T =(2A) T (2A -1 ) T =(2A -1 )(2A) T =4E，故 A 错误；B， 二、填空题(总题数：5，分数：20.
9、00)11.设方程 y=1+xe y 确定了 y 是 x 的隐函数，则 dy= 1 （分数：4.00）解析： 解析 由 y=1+xe y 得 ，移项化简可得 ，则 12.设某商品的需求函数为 （分数：4.00）解析：解析 ，将 P=6 代入得13.幂级数 （分数：4.00）解析： 解析 因为级数为 ，所以用比值判别法有 当 时收敛，即 x 2 2收敛区间为 ，故收敛半径 14.已知 ，则 （分数：4.00）解析： 2 解析 因为 ，所以 15.已知 （分数：4.00）解析：解析 因为矩阵 可逆，所以由 ，可得 X= ，即三、计算题(总题数：8，分数：64.00)16.已知当 x0 时， （分数
10、：8.00）_正确答案：()解析：解 由于当 x0 时， 与 sin 2 x 是等价无穷小量，因此有 解得 a=2 解析 因为当 x0 时， 与 sin 2 x 是等价无穷小量，所以有 17.设 f(x)=e 3x ，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解法一 直接求解法 f“(x)=3e 3x ， f“(lnx)=3e 3lnx =3x 3 ， 解法二 利用换元积分法 18.设 f(x，y)=cos(x 2 y)，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由 得 因此 19.计算 ，其中 D 如图所示，由 y=x，y=1 与 y 轴围成 （分数：8.00）_正确答案：()解析：
11、解法一 解法二 20.求经过点 A(3，2，1)和 B(-1，2，-3)且与坐标平面 xOz 垂直的平面的方程 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 与 xOz 平面垂直的平面平行于 y 轴，方程为 Ax+Cz+D=0， 把点 A(3，2，1)和点 B(-1，2，-3)代入上式得 3A+C+D=0， -A-3C+D=0， 由得 代入得 21.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 L：y=x 2 ，x0，1， ， = 解析 本题考查定积分的计算，关键是求出弧长的微分 22.求常微分方程 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 x+y=u，则23.设线性方程组 （分数：8
12、.00）_正确答案：()解析：解 将组成方程组， 对它的增广矩阵 B 施行初等行变换： 由于有解，所以 r(B)=r(A)(A 是的系数矩阵)，从而(a-1)(a-2)=0，即 a=1，2 当 a=1 时，与方程组 同解，它的解即的公共解为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T =(C，0，-C) T (C 是任意常数) 当 a=2 时，与方程组 四、应用题(总题数：2，分数：16.00)24.要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料已知下底面材料每平方厘米的价格为 3 元，侧面材料每平方厘米的价格为 1 元问该容器的底面半径 r 与高h 各
13、为多少时，造这个容器所用的材料费用最少? （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 设 S 为材料费用函数，则 S=2rh+r 2 +3r 2 ，且满足条件 r 2 h=32， 所以 因 令 S“(r)=0，得驻点 r=2 因 S“(2)=240，且驻点唯一，所以 r=2 为 S(r)的最小值点， 此时 25.求幂级数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 在(-1，1)内有 记 ，则 f(0)=0，且 所以，对 x(-1，0)(0，1)有 从而 因此， 解析 幂级数求和函数一般采用逐项求导，逐项积分或凑的方法，转化为几何级数或常用函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的本题利用初等函数 五、证明题(总题数：1，分数：10.00)26.证明不等式： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 构造函数 则 f(0)=0， ，即 f(x)在(0，+)上单调递增，所以当 x0 时，恒有 由定积分性质有 解析 本题考查定积分的性质通过构造函数 ，证明 x0 时，
