1、四川省专升本高等数学模拟 2 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时， 与 1-cosx 比较，可得_ A 是较 1-cosx 高阶的无穷小量 B 是较 1-cosx 低阶的无穷小量 C 号与 1-cosx 是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 ，在 x=0 处连续，则 a 等于_ A2 B （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=f(x)在(a，b)内有二阶导数，且 f“(x)0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内_（分数：4.00）A凹B凸C.凹凸性不可确定
2、D.单调减少4. 等于_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.5.设有直线 （分数：4.00）A.过原点且垂直于 x 轴B.过原点且垂直于 y 轴C.过原点且垂直于 z 轴D.不过原点也不垂直于坐标轴6.设 z=x 2 y 2 +3x，则 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设区域 D：x 2 +y 2 a 2 (a0)，y0，则 化为极坐标系下的二重积分的表达式为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.幂级数 在点 x=3 处收敛，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 an 有关9.已知 y 1 =e x ，y 2 =xe x 为微
3、分方程 y“+py“+qy=0 的解，则_（分数：4.00）A.p=-2，q=1B.p=-1，q=1C.p=3，q=2D.p，q 不能确定10.设 A 为 3 阶矩阵，|A|=l，则|-2A T |=_（分数：4.00）A.-8B.-2C.2D.8二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为 1 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.直线 l： （分数：4.00）14.若级数 收敛于 s，则 （分数：4.00）15.设矩阵 （分数：4.00）三、计算题(总题数：8，分数：64.00)16.已知由方程 x
4、 2 +y 2 =e 确定函数 y=y(x)，求 （分数：8.00）_17.计算 （分数：8.00）_18.计算 （分数：8.00）_19.已知 ，求 （分数：8.00）_20.求过点 M 0 (0，2，4)，且与两个平面 1 ， 2 都平行的直线方程，其中 1 ：x+y-2z-1=0， 2 ：x+2y-z+1=0 （分数：8.00）_21.求 y“-2y“=2x 的通解 （分数：8.00）_22.判断级数 （分数：8.00）_23.解线性方程组 （分数：8.00）_四、应用题(总题数：2，分数：16.00)24.欲围成一个面积为 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米 6
5、元，其余三面是每平方米 3 元问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少? （分数：8.00）_25.求由曲线 y=2-x 2 ，y=x(x0)与直线 x=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积 （分数：8.00）_五、证明题(总题数：1，分数：10.00)26.试证：|arctanb-arctana|b-a| （分数：10.00）_四川省专升本高等数学模拟 2 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时， 与 1-cosx 比较，可得_ A 是较 1-cosx 高阶的无穷小量 B 是较 1-cos
6、x 低阶的无穷小量 C 号与 1-cosx 是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 ，所以2.设函数 ，在 x=0 处连续，则 a 等于_ A2 B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 ，f(x)在点 x=0 连续，因此3.设 y=f(x)在(a，b)内有二阶导数，且 f“(x)0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内_（分数：4.00）A凹 B凸C.凹凸性不可确定D.单调减少解析：解析 由于 y=f(x)在(a，b)区间内有 f“(x)0，可知曲线 y=f(x)在(a，b)内为凹的，因此选 A4. 等于_ A B （分数：
7、4.00）A.B.C. D.解析：解析 由5.设有直线 （分数：4.00）A.过原点且垂直于 x 轴B.过原点且垂直于 y 轴 C.过原点且垂直于 z 轴D.不过原点也不垂直于坐标轴解析：解析 将原点坐标(0，0，0)代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量S=(1，0，-2)，而 y 轴正方向上的单位向量 j=(0，1，0)，sj=10+01+(-2)0=0因此 sj，即所给直线与 y 轴垂直故选 B6.设 z=x 2 y 2 +3x，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 x=x 2 y 2 +3x，所以 因此 7.设区域 D：x 2 +y 2 a 2 (
8、a0)，y0，则 化为极坐标系下的二重积分的表达式为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 D：x 2 +y 2 a 2 (a0)，y0，所以令 且 0ra，0，则 8.幂级数 在点 x=3 处收敛，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.收敛性与 an 有关解析：解析 因为 在 x=3 处收敛，即 ，所以由常数级数中几何级数 ，知9.已知 y 1 =e x ，y 2 =xe x 为微分方程 y“+py“+qy=0 的解，则_（分数：4.00）A.p=-2，q=1 B.p=-1，q=1C.p=3，q=2D.p，q 不能确定解析：解析 由
9、 y 1 =e x ，y 2 =xe x 知，微分方程 y“+py“+qy=0 的特征方程 r 2 +pr+q=0 的解是两个相等的实根 1 = 2 =1，故 p=-2，q=110.设 A 为 3 阶矩阵，|A|=l，则|-2A T |=_（分数：4.00）A.-8 B.-2C.2D.8解析：解析 |-2A T |(-2) 3 |A T |=-8|A|=-8，故选择 A二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为 1 （分数：4.00）解析：y=f(1)解析 因为曲线 y=f(x)在(1，f(1)处的切线平行于 x
10、 轴，所以 f“(1)=0，即斜率 k=0，则此处的切线方程为 y-f(1)=0(x-1)=0，即 y=f(1)12. （分数：4.00）解析：1-e -1 解析 解法一 利用凑微分法 解法二 利用定积分换元法 设 t=-x，则 dx=-dt当 x=0 时，t=0；当 x=1 时，t=-1，因此 13.直线 l： （分数：4.00）解析：(-2，1，2) 解析 直线 l 的方向向量为 14.若级数 收敛于 s，则 （分数：4.00）解析：s-u 1 解析 因为 而 收敛于 s，则 15.设矩阵 （分数：4.00）解析：-3解析 由|A|=0 入手求 k 的值因为 ，所以由|A|=0 得 k=1
11、 和-3当 k=1 时， 它的秩为 1，不合题意；当 k=-3 时， ，由于|A|有不为零的三阶子式三、计算题(总题数：8，分数：64.00)16.已知由方程 x 2 +y 2 =e 确定函数 y=y(x)，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 在 x 2 +y 2 =e 两侧关于 x 求导数，得 2x+2yy“=0， ，也就是 ，所以 17.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 ，x=t 2 ，dx=2tdt 当 x=4 时，t=2；当 x=9 时，t=3 则有 解析 本题采用凑微分法即 18.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解法一 设 t=3x，则
12、dt=3dx 解法二 19.已知 ，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由于 而 因此 进而 解析 此题可将 x=t 3 +t，y=e t 直接代入 ，然后利用一元复合函数求导法，即 20.求过点 M 0 (0，2，4)，且与两个平面 1 ， 2 都平行的直线方程，其中 1 ：x+y-2z-1=0， 2 ：x+2y-z+1=0 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 如果直线 l 平行于 1 ，则平面 1 的法向量 n 1 必定垂直于直线 l 的方向向量 s同理，若直线 l 平行于 2 ，则平面 2 的法向量 n 2 必定满足 n 2 s由向量积的定义可知，取 由于直线 l 过
13、点 M 0 (0，2，4)，由直线的标准方程可知 21.求 y“-2y“=2x 的通解 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 y“-2y“=2x 为二阶常系数非齐次线性微分方程，与之相对应的齐次线性微分方程为 y“-2y“=0 特征方程为 r 2 -2r=0 特征根为 r 1 =0，r 2 =2 相应齐次微分方程的通解为 而 =0 为单一特征根，故可设 y*=x(Ax+B)为原方程特解，把(y*)“=2Ax+B，(y*)“=2A 代入原方程可得 故 22.判断级数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 ，由于 故有当 ，即 ae 时，该级数收敛；当 23.解线性方程组 （
14、分数：8.00）_正确答案：()解析：解 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为 它们的秩分别为 r(A)=2，r(B)=2，所以方程有无穷多组解因为 四、应用题(总题数：2，分数：16.00)24.欲围成一个面积为 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米 6 元，其余三面是每平方米 3 元问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少? （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 设所围场地正面长为 x，另一边为 y，则 xy=150，从而 设四面围墙高度相同，都是h，则四面围墙所使用的材料总费用为 则 令 f“(x)=0，得驻点 x 1 =10，x 2 =-10(舍去) 25.
15、求由曲线 y=2-x 2 ，y=x(x0)与直线 x=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由平面图形 axb，0yy(x)所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积为 画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为 0x1，0y2-x 2 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积减去 0x1，0yx 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积 当 x0 时，由 得 解析 就一般情况而言，如果有两条曲线 y=f(x)，y=g(x)(假设 f(x)g(x)与 x=a，x=b(ab)所围成的平面绕 x 轴旋转一周，则其所生成的旋转体的体积公式为： 五、证明题(总题数：1，分数：10.00)26.试证：|arctanb-arctana|b-a| （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系因此可以设 y=f(x)=arctanx，不妨设 ab，则 y=arctanx 在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导进而可知，y=arctanx 在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，因此必定存在点 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f“()(b-a)由于 从而有
