1、四川省专升本高等数学模拟 1 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，x 2 是 x-ln(1+x)的_（分数：4.00）A.较高阶的无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.较低阶的无穷小量2. _ A0 B （分数：4.00）A.B.C.D.3.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ A Bf(x)=xe -x ，0，1 C （分数：4.00）A.B.C.D.4.设曲线 y=x-e x 在点(0，-1)处与直线 l 相切，则直线 l 的斜率为_（分数：4.00）A.B.1C.0D.-15.平面 1
2、 ：x-2y+3z+1=0 与 2 ：2x+y+2=0 的位置关系为_（分数：4.00）A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合6.设 （分数：4.00）A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I37.设 x=ln(x 2 +y)，则 _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 u n av n (n=1，2，)(a0)，且 收敛，则 （分数：4.00）A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与 a 有关D.上述三个结论都不正确9.微分方程 y“=x 的通解为_ Ay=x By=x+C C D （分数：4.00）A.B.C.D.10.设矩阵 A 33 满足 A*=
3、A T ，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 为_ A B3 C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.函数 （分数：4.00）12.设 （分数：4.00）13.方程 x 2 +2y 2 -z 2 =0 表示的二次曲面是 1 （分数：4.00）14.设 （分数：4.00）15.设 （分数：4.00）三、计算题(总题数：8，分数：64.00)16.计算 （分数：8.00）_17.计算 （分数：8.00）_18.设 z=f(u，v)，而 u=x 2 y， ，其
4、中 f(u,v)存在偏导数，求 （分数：8.00）_19.求不定积分 （分数：8.00）_20.计算二重积分 （分数：8.00）_21.求微分方程 y“+y“-2y=0 的通解 （分数：8.00）_22.将函数 （分数：8.00）_已知非齐次线性方程组 （分数：8.00）(1).证明方程组的系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：4.00）_(2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：4.00）_四、应用题(总题数：2，分数：16.00)23.一张 1.4m 高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛 1.8m，问观察者在距离多远处看图才最清楚(即视角 最大)? （分数：8.00）_24.
5、求 （分数：8.00）_五、证明题(总题数：1，分数：10.00)25.设函数 f(x)在-a,a(a0)上连续，证明 （分数：10.00）_四川省专升本高等数学模拟 1 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，x 2 是 x-ln(1+x)的_（分数：4.00）A.较高阶的无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量 D.较低阶的无穷小量解析：解析 本题考查的知识点为无穷小量阶的比较 由于 2. _ A0 B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 3.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ A B
6、f(x)=xe -x ，0，1 C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 注意罗尔定理有三个条件：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(x)在(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b)逐一检查三个条件即可为了简便起见先检查 f(a)=f(b)故选 A4.设曲线 y=x-e x 在点(0，-1)处与直线 l 相切，则直线 l 的斜率为_（分数：4.00）A.B.1C.0 D.-1解析：解析 本题考查的知识点为导数的几何意义由于 y=x-e x ，y“=1-e x ，y“| x=0 =0由导数的几何意义可知，曲线 y=x-e x 在点(0，-1)处切线斜率为 0，因此选 C5.平面 1
7、 ：x-2y+3z+1=0 与 2 ：2x+y+2=0 的位置关系为_（分数：4.00）A.垂直 B.斜交C.平行不重合D.重合解析：解析 本题考查的知识点为两平面的位置关系 两平面的关系可由平面的法向量 n 1 ，n 2 间的关系确定 若 n 1 n 2 ，则两平面必定垂直 若 n 1 n 2 ，当 时，两平面平行，但不重合； 当 6.设 （分数：4.00）A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3 解析：解析 7.设 x=ln(x 2 +y)，则 _ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 求 ，将 y 认定为常量，则8.设 u n av n
8、(n=1，2，)(a0)，且 收敛，则 （分数：4.00）A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与 a 有关D.上述三个结论都不正确 解析：解析 由正项级数的比较判别法知，若 u n v n ，则当 收敛时， 也收敛；若 发散时，则 9.微分方程 y“=x 的通解为_ Ay=x By=x+C C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查可分离变量的微分方程分离变量得 dy=xdx，两端分别积分，10.设矩阵 A 33 满足 A*=A T ，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 为_ A B
9、3 C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用公式 A*A=AA*=|A|E(E 是与 A 同阶的单位矩阵) 由 A*=A T 及 AA*=|A|E 得 AA T =|A|E 于是，|A| 2 =|A| 3 ，即|A|=0，1 由可得 ，即 (显然|A|=0 不符合题意)，所以 二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.函数 （分数：4.00）解析：1x2 解析 本题考查对数函数的定义域和简单指数不等式的求解由 8-2 x+1 0， 得 22 x 8=2 3 ，知 x2，又由 12.设 （分数：4.00）解析：解析 本题考查如何求函数的二阶导数13.方程 x 2 +2y
10、 2 -z 2 =0 表示的二次曲面是 1 （分数：4.00）解析：锥面解析 对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面14.设 （分数：4.00）解析： 解析 由 知 ，所以 y 在0，2上单调递减于是 y max = 15.设 （分数：4.00）解析：解析 故三、计算题(总题数：8，分数：64.00)16.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解法一 利用洛必达法则： 解法二 利用等价无穷小量代换：当 x0 时，e x -1x，可得 解析 本题考查的知识点为利用洛必达法则求 17.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 18.设 z=f(u，v)，而 u=x 2 y， ，
11、其中 f(u,v)存在偏导数，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由复合函数的链式法则得 由于所给 z=f(u，v)为抽象函数，而 于是 解析 本题考查的是抽象函数求偏导数的方法题中已给出 u=x 2 y， 19.求不定积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 1+e x =t， 则 解析 本题主要考查求不定积分的方法之一换元法的应用设 x=(t)是单调可导函数，(t)“0，又设 f(t)(t)“有原函数，则有换元公式 20.计算二重积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 作出积分区域 D 的草图，如图所示，则积分区域可以用不等式 0xy 2 +1，0y1 表
12、示，故 21.求微分方程 y“+y“-2y=0 的通解 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 方程的特征方程为 r 2 +r-2=0，可解得特征根为 r 1 =-2，r 2 =1，所以微分方程的通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e x 解析 本题考查求二阶常系数齐次线性微分方程的通解22.将函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由于 的收敛区间 的收敛区间 ，所以 f(x)的收敛区间为(-1，3) 解析 已知非齐次线性方程组 （分数：8.00）(1).证明方程组的系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 容易看到 r(A)2，此外，
13、由于所给的非齐次线方程组有三个线性无关的解，记为 1 ， 2 ， 3 ，则 1 - 2 ， 1 - 3 是对应的导出组的解，且线性无关由此可知，导出组的基础解系中至少包含两个线性无关的特解，从而 r(A)4-2=2因此 r(A)=2(2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：4.00）_正确答案：()解析：对系数矩阵 A 施行初等行变换： 于是，由 r(A)=2 得 解之得 a=2，b=-3 对 a=2，b=-3 的增广矩阵 B 施行初等行变换： 四、应用题(总题数：2，分数：16.00)23.一张 1.4m 高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛 1.8m，问观察者在距离多远处看图才最清楚(即视角 最大)? （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 设观察者与墙的距离为 xm，则 24.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 解析 就一般情况而言，如果有两条曲线 y=f(x)，y=g(x)(假设 f(x)g(x)与 x=a，x=b(ab)所围成的平面绕 x 轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为： 五、证明题(总题数：1，分数：10.00)25.设函数 f(x)在-a,a(a0)上连续，证明 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 对于 则 所以
