1、四川省专升本高等数学模拟 18 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.函数 （分数：2.00）A.0，3B.0，2C.2，3D.1，32.极限 =_ A0 B （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 （分数：2.00）A.0B.-1C.-2D.任意值4.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 f 可导，且 f“(0)0，则 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.35.下列等式中正确的是_ Adf(x)dx=f(x)dx Bf“(x)dx=f(x) C （分数：2.00）A.B.C.D.6.直线 （分数：2.00）A.4
2、B.1C.-1D.27.设 L 是沿着曲线 y=x 3 由点(2，8)到点(-1，-1)，则 L xydx+x 2 dy=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 ，则级数 的收敛半径 R=_ A2 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 f(x，y)为连续函数，二次积分 交换积分次序后为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.10.如果 n 阶方阵 AO，BO，且满足条件 AB=O，则必有_（分数：2.00）A.A=O 或 B=OB.A+B=OC.|A|=0 或|B=0D.|A|+|B|=0二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.椭圆
3、（分数：3.00）12. （分数：3.00）13.设 a=3i+j-2k，b=i-3i+5k，则(a+b)(a-b)= 1 （分数：3.00）14.曲线 （分数：3.00）15.设方程组 （分数：3.00）三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_17.已知函数 y=y(x)由方程 e xy +ysinx=cos2x 确定，求 （分数：6.00）_18.计算定积分 （分数：6.00）_19.设函数 ，其中该函数具有二阶连续偏导数，求 （分数：6.00）_20.计算 （分数：6.00）_21.讨论级数 （分数：6.00）_22.求微分方程 y“+2y“+y=xe
4、 x 的通解 （分数：6.00）_23.求解下列线性方程组 （分数：6.00）_四、应用题(总题数：2，分数：12.00)24.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回送货物，已知每次拖 4 只小船，一日能来回 16 次，每次拖 7 只，则一日能来回 10 次，若小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回拖多少次，每次拖多少小船能使货运总量达到最大? （分数：6.00）_25.求曲线 y=x 3 -3x 2 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周生成的旋转体体积 （分数：6.00）_五、证明题(总题数：1，分数：5.00)26.证明方程 x=asinx+b(其中 a0，b0)在(
5、0，a+b上至少有一个根 （分数：5.00）_四川省专升本高等数学模拟 18 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.函数 （分数：2.00）A.0，3B.0，2 C.2，3D.1，3解析：2.极限 =_ A0 B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：3.设 （分数：2.00）A.0B.-1 C.-2D.任意值解析：4.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 f 可导，且 f“(0)0，则 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：5.下列等式中正确的是_ Adf(x)dx=f(x)dx Bf“(x)dx=f(x
6、) C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：6.直线 （分数：2.00）A.4B.1C.-1 D.2解析：7.设 L 是沿着曲线 y=x 3 由点(2，8)到点(-1，-1)，则 L xydx+x 2 dy=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：8.设 ，则级数 的收敛半径 R=_ A2 B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：9.设 f(x，y)为连续函数，二次积分 交换积分次序后为_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：10.如果 n 阶方阵 AO，BO，且满足条件 AB=O，则必有_（分数：2.00）A.A=O 或 B=O
7、B.A+B=OC.|A|=0 或|B=0 D.|A|+|B|=0解析：二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.椭圆 （分数：3.00）解析：12. （分数：3.00）解析：ln|(x)|+C13.设 a=3i+j-2k，b=i-3i+5k，则(a+b)(a-b)= 1 （分数：3.00）解析：2i+34j+20k14.曲线 （分数：3.00）解析：15.设方程组 （分数：3.00）解析：-1 或 1三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：17.已知函数 y=y(x)由方程 e xy +ysinx=cos2x 确定，求 （分数：6.
8、00）_正确答案：()解析：方程两端 y 对 x 求导， e xy (y+xy“)+y“sinx+ycosx=-2sin2x， 所以 18.计算定积分 （分数：6.00）_正确答案：()解析：19.设函数 ，其中该函数具有二阶连续偏导数，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：20.计算 （分数：6.00）_正确答案：()解析：该积分区域化为极坐标下的积分区域 ，1r2， 21.讨论级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：令 ， 则 当|1 时，即 01 时，绝对收敛； 当|1 时，即 1 时，发散； 当 =1 时，该级数是 p-级数 22.求微分方程 y“+2y“+y=xe x 的
9、通解 （分数：6.00）_正确答案：()解析：所给方程所对应的齐次方程的特征方程为 r 2 +2r+1=0， 特征根为 r 1 =r 2 =-1， 所以，该方程所对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1 +C 2 x)e -x f(x)=xe x ，=1 不是特征根，因此可设特解为 y * =(Ax+B)e x ， 代入原方程整理可得 4Ax+4(A+B)=x， 比较同类项系数可得 4A=1，A+B=0， 从而 由此可得 故原方程的通解为 23.求解下列线性方程组 （分数：6.00）_正确答案：()解析： 基础解系含解向量个数为 2 对应的同解齐次方程 令 x 2 =1，x 5 =0，得(-3，1
10、，0，0，0) T ； 令 x 2 =0，x 5 =1，得(3，0，0，2，1) T ； 同解非齐次方程 取 x 2 =x 5 =0，得 x 4 =-4，x 1 =-5， 得到非齐次方程特解：(-5，0，0，-4，0) T ， 原方程组的通解为： 四、应用题(总题数：2，分数：12.00)24.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回送货物，已知每次拖 4 只小船，一日能来回 16 次，每次拖 7 只，则一日能来回 10 次，若小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回拖多少次，每次拖多少小船能使货运总量达到最大? （分数：6.00）_正确答案：()解析：由已知，增加了 3 只船，减
11、少 6 次，设拖 x 只船，则增加 x-4 只船，设减少 y 次，由给定的比例关系，有 3:6=(x-4):y，y=2(x-4)， 设运货总量为 M，则 M=x16-2(x-4)=24x-2x 2 ， M“=24-4x，令 M“=0，得 x=6， 所以一次拖 6 只船，来回 12 次能使货运量达到最大25.求曲线 y=x 3 -3x 2 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周生成的旋转体体积 （分数：6.00）_正确答案：()解析：曲线 y=x 3 -3x 2 与 x 轴围成的平面图形如图所示，于是所求旋转体的体积为 五、证明题(总题数：1，分数：5.00)26.证明方程 x=asinx+b(其中 a0，b0)在(0，a+b上至少有一个根 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 构造函数 f(x)=x-asinx-b，f(x)显然在(0，a+b上连续，且 f(0)=-b0， f(a+b)=a1-sin(a+b)0 当 f(a+b)=0 时，x=a+b 就是满足题意的一个根； 当 f(a+b)0 时，f(0)f(a+b)0，由零点存在定理知， 至少存在一点 (0，a+b)，使得 f()=0，即原方程在(0，a+b)内至少有一个根 综上所述，x=asinx+b 在(0，a+b上至少有一个根
