1、四川省专升本高等数学模拟 16 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.函数 （分数：2.00）A.正整数集B.整数集C.(0，+)D.(-，+)2.当 x0 时，与 x 不等价的无穷小量是_ A.2x B.sinx C.ex-1 D.ln(1+x)（分数：2.00）A.B.C.D.3.设函数 （分数：2.00）A.-1B.1C.2D.34.设函数 f(x)在a，b上连续，则下列命题正确的是_（分数：2.00）A.f(x)在a，b上一定有最大值和最小值B.f(x)必在区间内部取得最小值C.f(x)必在区间端点处取得最大值D.若
2、f(x)在a，b内有极值，则此值必为最值5.设 f(x)为连续函数，且 ，则 F“(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 z=u 2 lnv，其中 （分数：2.00）A.B.C.D.7.曲面 z=xy 的平行于平面 ：x+3y+z+9=0 的切平面方程为_（分数：2.00）A.x+3y+z-1=0B.x+3y+z+11=0C.x+3y+z+3=0D.x+3y+z-3=08.微分方程 y“=y“的通解为_ A.y=C1x+C2ex B.y=C1+C2ex C.y=C1+C2x D.y=C1x+C2x2（分数：2.00）A.B.C.D.9.下列各级数中发散的是_ A
3、B C D （分数：2.00）A.B.C.D.10.设四阶方阵 A=(， 2 ， 3 ， 4 )，B=(， 2 ， 3 ， 4 )，其中 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，且|A|=4，|B|=-1，则|A+2B|=_ A 9 B18 C24 D54 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.参数方程 确定函数 y=y(x)，则 （分数：3.00）12.设 f(x)具有二阶连续导数，则xf“(x)dx= 1 （分数：3.00）13.设 z=e u cosv，u=2xy，v=x+y，则 （分数：3.00）14.设 L 为从点(0，0)沿曲线 y=x
4、2 到点(1，1)，则 L 2xydx+(y 2 +1)dy= 1 （分数：3.00）15.设 A，B 为三阶矩阵，|A|=4，AB=I，则|B|= 1 （分数：3.00）三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_17.已知 y=lnsin(1-2x)，求 （分数：6.00）_18.计算定积分 （分数：6.00）_设直线 L 为 （分数：6.00）(1).把直线 L 用标准式方程表示；（分数：3.00）_(2).求通过直线 L 且与平面 3 ：x+y+z=0 垂直的平面 的方程（分数：3.00）_19.计算 ，其中 D 为曲线 （分数：6.00）_20.求幂级
5、数 （分数：6.00）_21.求微分方程 y“-4y“+8y=e x sinx 的一个特解 （分数：6.00）_22.解线性方程组 （分数：6.00）_四、应用题(总题数：2，分数：12.00)23.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 x(万尾)，乙种鱼放养 y(万尾)，收获时两种鱼收获量分别为(3-x-y)x 和(4-x-2y)y，(0)，求使产鱼量最大的放养数 （分数：6.00）_24.在区间0，1上给定函数 y=x 2 ，问当 t 为何值时，图中阴影部分 S 1 和 S 2 的面积之和最小?何时最大? （分数：6.00）_五、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.证明： （分数：5.0
6、0）_四川省专升本高等数学模拟 16 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.函数 （分数：2.00）A.正整数集B.整数集 C.(0，+)D.(-，+)解析：2.当 x0 时，与 x 不等价的无穷小量是_ A.2x B.sinx C.ex-1 D.ln(1+x)（分数：2.00）A. B.C.D.解析：3.设函数 （分数：2.00）A.-1B.1C.2D.3 解析：4.设函数 f(x)在a，b上连续，则下列命题正确的是_（分数：2.00）A.f(x)在a，b上一定有最大值和最小值 B.f(x)必在区间内部取得最小值C.f(x)必
7、在区间端点处取得最大值D.若 f(x)在a，b内有极值，则此值必为最值解析：5.设 f(x)为连续函数，且 ，则 F“(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：6.设 z=u 2 lnv，其中 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：7.曲面 z=xy 的平行于平面 ：x+3y+z+9=0 的切平面方程为_（分数：2.00）A.x+3y+z-1=0B.x+3y+z+11=0C.x+3y+z+3=0 D.x+3y+z-3=0解析：8.微分方程 y“=y“的通解为_ A.y=C1x+C2ex B.y=C1+C2ex C.y=C1+C2x D.y=C1x+C2x2（分数
8、：2.00）A.B. C.D.解析：9.下列各级数中发散的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：10.设四阶方阵 A=(， 2 ， 3 ， 4 )，B=(， 2 ， 3 ， 4 )，其中 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，且|A|=4，|B|=-1，则|A+2B|=_ A 9 B18 C24 D54 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.参数方程 确定函数 y=y(x)，则 （分数：3.00）解析：12.设 f(x)具有二阶连续导数，则xf“(x)dx= 1 （分数：3.00）解析：xf“(x)-f(x)+C1
9、3.设 z=e u cosv，u=2xy，v=x+y，则 （分数：3.00）解析：e 2xy 2ycos(x+y)-sin(x+y)14.设 L 为从点(0，0)沿曲线 y=x 2 到点(1，1)，则 L 2xydx+(y 2 +1)dy= 1 （分数：3.00）解析：15.设 A，B 为三阶矩阵，|A|=4，AB=I，则|B|= 1 （分数：3.00）解析：三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由洛必达法则，得 17.已知 y=lnsin(1-2x)，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：18.计算定积分 （分数：6.00）_正
10、确答案：()解析：设直线 L 为 （分数：6.00）(1).把直线 L 用标准式方程表示；（分数：3.00）_正确答案：()解析：将 L 的一般式方程变为 解得 令 x=4t，得 y=-t-2，z=-3t-2， 于是直线 L 的参数方程为 将参数方程变形为 故 L 的标准式方程为 (2).求通过直线 L 且与平面 3 ：x+y+z=0 垂直的平面 的方程（分数：3.00）_正确答案：()解析：由上一小题知直线 L 的方向向量 s=4，1，-3，点(0，-2，-2)在直线 L 上，设平面 3 的法向量为 n 3 =1，1，1，所求平面 的法向量为 n，由题意知 ns，nn 3 ， 19.计算 ，
11、其中 D 为曲线 （分数：6.00）_正确答案：()解析：首先画出积分区域 D，计算出曲线 与直线 y=1 的交点(1，1)，该题应先对 x 积分，则 20.求幂级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：该幂级数的收敛半径为 当 x=2 时，原级数为 ，发散； 当 x=-2 时，原级数为 21.求微分方程 y“-4y“+8y=e x sinx 的一个特解 （分数：6.00）_正确答案：()解析：这里 f(x)=e x sinx，其中 =1，=1，i=1i，不是特征方程的特征根，所以可设原方程的特解为 =e x (Acosx+Bsinx)(其中 A 和 B 是待定常数)， 对 求导，得 把
12、代入原方程，整理，得 e x (4A-2B)cosx+(4B+2A)sinx=e x sinx 比较上式两端同类项的系数，得 解得 于是原方程的特解为 22.解线性方程组 （分数：6.00）_正确答案：()解析：用初等行变换把该线性方程组所对应的系数矩阵 A 化为行最简形矩阵： 与原线性方程组同解的方程组为 取 x 3 ，x 4 为自由未知量，得 所以，该方程组的通解为 四、应用题(总题数：2，分数：12.00)23.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 x(万尾)，乙种鱼放养 y(万尾)，收获时两种鱼收获量分别为(3-x-y)x 和(4-x-2y)y，(0)，求使产鱼量最大的放养数 （分数：6.
13、00）_正确答案：()解析：由题设知两种鱼的收获总量为 z(x，y)=(3-x-y)x+(4-x-2y)y =3x+4y-x 2 -2y 2 -2xy， 因为 令 由实际意义知，确实存在两种鱼收获量的最大值，目前仅有一个驻点，于是点 即为最大值点，即甲种鱼放养 万尾，乙种鱼放养 24.在区间0，1上给定函数 y=x 2 ，问当 t 为何值时，图中阴影部分 S 1 和 S 2 的面积之和最小?何时最大? （分数：6.00）_正确答案：()解析： 记 令 S“(t)=2t(2t-1)=0，得驻点 而边界点为 t=0，t=1 因此，当 五、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 令 于是， 令 f“(x)=0，得驻点：x=0； 又 从而可知，f“(x)在(-，+)内为单调递增函数 因 f“(0)=0， 故，x0 时，f“(x)0，f(x)单调递减；x0 时，f“(x)0，f(x)单调递增；进而知 f(x)在 x=0 处取得最小值，且最小值为 f(0)=0，那么对任意的 x(-，+)， 有 f(x)0， 即
