1、四川省专升本高等数学模拟 15 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设 f(x)为奇函数，则 F(x)=f(x)(2 x +2 -x )为_（分数：2.00）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.无法判定奇偶性2.下列等式正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，sinx 与 x 2 比较，则_ A.sinx 是较 x2高阶的无穷小量 B.sinx 是较 x2低阶的无穷小量 C.sinx 与 x2是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量 D.sinx 与 x2是等价无穷小量（分数：2.00）
2、A.B.C.D.4.设 y=e 1-3x cos2x，则 dy=_ A.e1-3x(cos2x-3sin2x)dx B.e1-3x(-3cos2x-2sin2x)dx C.e1-3x(3cos2x+2sin2x)dx D.e1-3x(-3cos2x+2sin2x)dx（分数：2.00）A.B.C.D.5.若 为函数 f(x)的一个原函数，则不定积分xf“(x)dx=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.设向量 a=1，1，2，b=2，0，-1，则向量 a 与向量 b 的夹角是_ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.若 ，则级数 （分数：2.00）A.收敛
3、B.发散C.绝对收敛D.敛散性不确定8.下列方程中，通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x 的微分方程为_（分数：2.00）A.y“=yB.y“=xC.y“=yD.y“=y“9.向量组 1 =(1，1+a，0)， 2 =(1，2，0)， 3 =(0，0，a 2 +1)线性相关，则 a=_（分数：2.00）A.-1B.0C.1D.210.设 n 阶方阵 A 满足，A 2 -A-3I=O，则必有_（分数：2.00）A.A=2IB.A=-IC.A-I 可逆D.A 不可逆二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.参数方程 所确定的函数的一阶导势 （分数：3.00）12. （分数：3.00
4、）13.设 z=ln(e u +v)，u=xy，v=x 2 -y 2 ，则 （分数：3.00）14.函数 f(x，y)=2x 2 +3xy-2y 2 的驻点为 1 （分数：3.00）15.已知 L 为沿区域 x 2 +y 2 2y 的正向边界曲线，则 （分数：3.00）三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_17.设函数 y=y(x)由 （分数：6.00）_18.计算不定积分x(lnx+sin2x)dx （分数：6.00）_19.求通过直线 且平行于直线 （分数：6.00）_20.计算 （分数：6.00）_21.求幂级数 （分数：6.00）_22.求微分方程
5、 y“-4y“+3y=4x 的通解 （分数：6.00）_23.当 为何值时，线性方程组 （分数：6.00）_四、应用题(总题数：2，分数：12.00)24.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是 x、y(千件)，甲厂的月生产成本是 C 1 =x 2 -2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是 C 2 =y 2 +2y+3(千元)若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本 （分数：6.00）_平面图形由抛物线 y 2 =2x 与该曲线在点 （分数：6.00）(1).该平面图形的面积；（分数：3.00）_(2).该平面图形绕 x 轴旋转一周形成
6、的旋转体体积（分数：3.00）_五、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.证明：x1 时， （分数：5.00）_四川省专升本高等数学模拟 15 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设 f(x)为奇函数，则 F(x)=f(x)(2 x +2 -x )为_（分数：2.00）A.偶函数B.奇函数 C.非奇非偶函数D.无法判定奇偶性解析：2.下列等式正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：3.当 x0 时，sinx 与 x 2 比较，则_ A.sinx 是较 x2高阶的无穷小量 B.sinx 是较 x
7、2低阶的无穷小量 C.sinx 与 x2是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量 D.sinx 与 x2是等价无穷小量（分数：2.00）A.B. C.D.解析：4.设 y=e 1-3x cos2x，则 dy=_ A.e1-3x(cos2x-3sin2x)dx B.e1-3x(-3cos2x-2sin2x)dx C.e1-3x(3cos2x+2sin2x)dx D.e1-3x(-3cos2x+2sin2x)dx（分数：2.00）A.B. C.D.解析：5.若 为函数 f(x)的一个原函数，则不定积分xf“(x)dx=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：6.设向量 a=1，1，
8、2，b=2，0，-1，则向量 a 与向量 b 的夹角是_ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：7.若 ，则级数 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.绝对收敛D.敛散性不确定 解析：8.下列方程中，通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x 的微分方程为_（分数：2.00）A.y“=yB.y“=xC.y“=y D.y“=y“解析：9.向量组 1 =(1，1+a，0)， 2 =(1，2，0)， 3 =(0，0，a 2 +1)线性相关，则 a=_（分数：2.00）A.-1B.0C.1 D.2解析：10.设 n 阶方阵 A 满足，A 2 -A-3I=O，则必有_（分数：2
9、.00）A.A=2IB.A=-IC.A-I 可逆 D.A 不可逆解析：二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.参数方程 所确定的函数的一阶导势 （分数：3.00）解析：12. （分数：3.00）解析：013.设 z=ln(e u +v)，u=xy，v=x 2 -y 2 ，则 （分数：3.00）解析：14.函数 f(x，y)=2x 2 +3xy-2y 2 的驻点为 1 （分数：3.00）解析：(0，0)15.已知 L 为沿区域 x 2 +y 2 2y 的正向边界曲线，则 （分数：3.00）解析：三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析
10、：17.设函数 y=y(x)由 （分数：6.00）_正确答案：()解析：因为 于是： 18.计算不定积分x(lnx+sin2x)dx （分数：6.00）_正确答案：()解析：19.求通过直线 且平行于直线 （分数：6.00）_正确答案：()解析：设所求平面的法向量为 n，则 n 垂直于两条已知直线，而两直线的方向向量分别为 s 1 =2，3，4及 s 2 =1，1，2， 则 n=s 1 s 2 =2i-k， 并且该平面过点(1，2，-3)， 故所求平面的方程为 2(x-1)-(z+3)=0， 即 2x-z-5=020.计算 （分数：6.00）_正确答案：()解析：21.求幂级数 （分数：6.0
11、0）_正确答案：()解析：因为 所以幂级数 的收敛半径 R=1， 当 x=-1 时，级数 是交错级数，收敛； 当 x=1 时，级数 是调和级数，发散； 所以，幂级数 22.求微分方程 y“-4y“+3y=4x 的通解 （分数：6.00）_正确答案：()解析：此方程为二阶常系数线性非齐次微分方程 对应的齐次方程的特征方程为 r 2 -4r+3=0， 解得 r=1 或 r=3， 对应的齐次方程的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e 3x 原方程中 f(x)=4x，=0，但 0 不是特征方程的根，因此设原方程的特解为 y * =Ax+B， 则 、 (y * )“=A，(y * )“=0， 将 y
12、 * ，(y * )“，(y * )“代入原方程并整理得 3Ax+(-4A+3B)=4x， 所以 所以，原方程的通解为 23.当 为何值时，线性方程组 （分数：6.00）_正确答案：()解析：方程组的系数行列式为 (1)当 D0 即 -2 且 1 时，方程组只有零解； (2)当 D=0 即 =-2 或 =1 时，方程组有非零解 当 =-2 时，原线性方程组为 所以，所求线性方程组的同解方程组为 所以，原线性方程组的通解为 当 =1 时，方程组为 x 1 +x 2 +x 3 =0， 或 x 1 =-x 2 -x 3 所以，原线性方程组的通解为 四、应用题(总题数：2，分数：12.00)24.某公
13、司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是 x、y(千件)，甲厂的月生产成本是 C 1 =x 2 -2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是 C 2 =y 2 +2y+3(千元)若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本 （分数：6.00）_正确答案：()解析：用拉格朗日乘数法 总成本 f(x，y)=x 2 +y 2 -2x+2y+8， 约束条件 (x，y)=x+y-8=0， 作辅助函数 F(x，y)=x 2 +y 2 -2x+2y+8+(x+y-8)， 令 平面图形由抛物线 y 2 =2x 与该曲线在点 （分数：6.00）(1).该平面图形的面积
14、；（分数：3.00）_正确答案：()解析：因曲线 y 2 =2x 在点处的导数为 ，所以点 处的曲线的法线方程为 ，即 ，曲线 y 2 =2x 与法线 围成的平面图形如图所示： 求解方程组 得交点 故所求面积为 (2).该平面图形绕 x 轴旋转一周形成的旋转体体积（分数：3.00）_正确答案：()解析：所求旋转体的体积为 五、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.证明：x1 时， （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 构造函数 F(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，F(1)=2ln20， 则 F(x)在1，+)上可导， 所以 F(x)在1，+)上单调递增，于是 F(x)F(1)0，x1，+)， 即 (1+x)ln(1+x)xlnx， 所以
