1、四川省专升本高等数学模拟 15 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:10,分数:20.00)1.设 f(x)为奇函数,则 F(x)=f(x)(2 x +2 -x )为_(分数:2.00)A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.无法判定奇偶性2.下列等式正确的是_ A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.3.当 x0 时,sinx 与 x 2 比较,则_ A.sinx 是较 x2高阶的无穷小量 B.sinx 是较 x2低阶的无穷小量 C.sinx 与 x2是同阶无穷小量,但不是等价无穷小量 D.sinx 与 x2是等价无穷小量(分数:2.00)
2、A.B.C.D.4.设 y=e 1-3x cos2x,则 dy=_ A.e1-3x(cos2x-3sin2x)dx B.e1-3x(-3cos2x-2sin2x)dx C.e1-3x(3cos2x+2sin2x)dx D.e1-3x(-3cos2x+2sin2x)dx(分数:2.00)A.B.C.D.5.若 为函数 f(x)的一个原函数,则不定积分xf“(x)dx=_ A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.6.设向量 a=1,1,2,b=2,0,-1,则向量 a 与向量 b 的夹角是_ A0 B C D (分数:2.00)A.B.C.D.7.若 ,则级数 (分数:2.00)A.收敛
3、B.发散C.绝对收敛D.敛散性不确定8.下列方程中,通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x 的微分方程为_(分数:2.00)A.y“=yB.y“=xC.y“=yD.y“=y“9.向量组 1 =(1,1+a,0), 2 =(1,2,0), 3 =(0,0,a 2 +1)线性相关,则 a=_(分数:2.00)A.-1B.0C.1D.210.设 n 阶方阵 A 满足,A 2 -A-3I=O,则必有_(分数:2.00)A.A=2IB.A=-IC.A-I 可逆D.A 不可逆二、填空题(总题数:5,分数:15.00)11.参数方程 所确定的函数的一阶导势 (分数:3.00)12. (分数:3.00
4、)13.设 z=ln(e u +v),u=xy,v=x 2 -y 2 ,则 (分数:3.00)14.函数 f(x,y)=2x 2 +3xy-2y 2 的驻点为 1 (分数:3.00)15.已知 L 为沿区域 x 2 +y 2 2y 的正向边界曲线,则 (分数:3.00)三、计算题(总题数:8,分数:48.00)16.求极限 (分数:6.00)_17.设函数 y=y(x)由 (分数:6.00)_18.计算不定积分x(lnx+sin2x)dx (分数:6.00)_19.求通过直线 且平行于直线 (分数:6.00)_20.计算 (分数:6.00)_21.求幂级数 (分数:6.00)_22.求微分方程
5、 y“-4y“+3y=4x 的通解 (分数:6.00)_23.当 为何值时,线性方程组 (分数:6.00)_四、应用题(总题数:2,分数:12.00)24.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别是 x、y(千件),甲厂的月生产成本是 C 1 =x 2 -2x+5(千元),乙厂的月生产成本是 C 2 =y 2 +2y+3(千元)若要求该产品每月总产量为 8 千件,并使总成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本 (分数:6.00)_平面图形由抛物线 y 2 =2x 与该曲线在点 (分数:6.00)(1).该平面图形的面积;(分数:3.00)_(2).该平面图形绕 x 轴旋转一周形成
6、的旋转体体积(分数:3.00)_五、证明题(总题数:1,分数:5.00)25.证明:x1 时, (分数:5.00)_四川省专升本高等数学模拟 15 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:10,分数:20.00)1.设 f(x)为奇函数,则 F(x)=f(x)(2 x +2 -x )为_(分数:2.00)A.偶函数B.奇函数 C.非奇非偶函数D.无法判定奇偶性解析:2.下列等式正确的是_ A B C D (分数:2.00)A.B. C.D.解析:3.当 x0 时,sinx 与 x 2 比较,则_ A.sinx 是较 x2高阶的无穷小量 B.sinx 是较 x
7、2低阶的无穷小量 C.sinx 与 x2是同阶无穷小量,但不是等价无穷小量 D.sinx 与 x2是等价无穷小量(分数:2.00)A.B. C.D.解析:4.设 y=e 1-3x cos2x,则 dy=_ A.e1-3x(cos2x-3sin2x)dx B.e1-3x(-3cos2x-2sin2x)dx C.e1-3x(3cos2x+2sin2x)dx D.e1-3x(-3cos2x+2sin2x)dx(分数:2.00)A.B. C.D.解析:5.若 为函数 f(x)的一个原函数,则不定积分xf“(x)dx=_ A B C D (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:6.设向量 a=1,1,
8、2,b=2,0,-1,则向量 a 与向量 b 的夹角是_ A0 B C D (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:7.若 ,则级数 (分数:2.00)A.收敛B.发散C.绝对收敛D.敛散性不确定 解析:8.下列方程中,通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x 的微分方程为_(分数:2.00)A.y“=yB.y“=xC.y“=y D.y“=y“解析:9.向量组 1 =(1,1+a,0), 2 =(1,2,0), 3 =(0,0,a 2 +1)线性相关,则 a=_(分数:2.00)A.-1B.0C.1 D.2解析:10.设 n 阶方阵 A 满足,A 2 -A-3I=O,则必有_(分数:2
9、.00)A.A=2IB.A=-IC.A-I 可逆 D.A 不可逆解析:二、填空题(总题数:5,分数:15.00)11.参数方程 所确定的函数的一阶导势 (分数:3.00)解析:12. (分数:3.00)解析:013.设 z=ln(e u +v),u=xy,v=x 2 -y 2 ,则 (分数:3.00)解析:14.函数 f(x,y)=2x 2 +3xy-2y 2 的驻点为 1 (分数:3.00)解析:(0,0)15.已知 L 为沿区域 x 2 +y 2 2y 的正向边界曲线,则 (分数:3.00)解析:三、计算题(总题数:8,分数:48.00)16.求极限 (分数:6.00)_正确答案:()解析
10、:17.设函数 y=y(x)由 (分数:6.00)_正确答案:()解析:因为 于是: 18.计算不定积分x(lnx+sin2x)dx (分数:6.00)_正确答案:()解析:19.求通过直线 且平行于直线 (分数:6.00)_正确答案:()解析:设所求平面的法向量为 n,则 n 垂直于两条已知直线,而两直线的方向向量分别为 s 1 =2,3,4及 s 2 =1,1,2, 则 n=s 1 s 2 =2i-k, 并且该平面过点(1,2,-3), 故所求平面的方程为 2(x-1)-(z+3)=0, 即 2x-z-5=020.计算 (分数:6.00)_正确答案:()解析:21.求幂级数 (分数:6.0
11、0)_正确答案:()解析:因为 所以幂级数 的收敛半径 R=1, 当 x=-1 时,级数 是交错级数,收敛; 当 x=1 时,级数 是调和级数,发散; 所以,幂级数 22.求微分方程 y“-4y“+3y=4x 的通解 (分数:6.00)_正确答案:()解析:此方程为二阶常系数线性非齐次微分方程 对应的齐次方程的特征方程为 r 2 -4r+3=0, 解得 r=1 或 r=3, 对应的齐次方程的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e 3x 原方程中 f(x)=4x,=0,但 0 不是特征方程的根,因此设原方程的特解为 y * =Ax+B, 则 、 (y * )“=A,(y * )“=0, 将 y
12、 * ,(y * )“,(y * )“代入原方程并整理得 3Ax+(-4A+3B)=4x, 所以 所以,原方程的通解为 23.当 为何值时,线性方程组 (分数:6.00)_正确答案:()解析:方程组的系数行列式为 (1)当 D0 即 -2 且 1 时,方程组只有零解; (2)当 D=0 即 =-2 或 =1 时,方程组有非零解 当 =-2 时,原线性方程组为 所以,所求线性方程组的同解方程组为 所以,原线性方程组的通解为 当 =1 时,方程组为 x 1 +x 2 +x 3 =0, 或 x 1 =-x 2 -x 3 所以,原线性方程组的通解为 四、应用题(总题数:2,分数:12.00)24.某公
13、司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别是 x、y(千件),甲厂的月生产成本是 C 1 =x 2 -2x+5(千元),乙厂的月生产成本是 C 2 =y 2 +2y+3(千元)若要求该产品每月总产量为 8 千件,并使总成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本 (分数:6.00)_正确答案:()解析:用拉格朗日乘数法 总成本 f(x,y)=x 2 +y 2 -2x+2y+8, 约束条件 (x,y)=x+y-8=0, 作辅助函数 F(x,y)=x 2 +y 2 -2x+2y+8+(x+y-8), 令 平面图形由抛物线 y 2 =2x 与该曲线在点 (分数:6.00)(1).该平面图形的面积
14、;(分数:3.00)_正确答案:()解析:因曲线 y 2 =2x 在点处的导数为 ,所以点 处的曲线的法线方程为 ,即 ,曲线 y 2 =2x 与法线 围成的平面图形如图所示: 求解方程组 得交点 故所求面积为 (2).该平面图形绕 x 轴旋转一周形成的旋转体体积(分数:3.00)_正确答案:()解析:所求旋转体的体积为 五、证明题(总题数:1,分数:5.00)25.证明:x1 时, (分数:5.00)_正确答案:()解析:证明 构造函数 F(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx,F(1)=2ln20, 则 F(x)在1,+)上可导, 所以 F(x)在1,+)上单调递增,于是 F(x)F(1)0,x1,+), 即 (1+x)ln(1+x)xlnx, 所以