1、四川省专升本高等数学模拟 14 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列四组函数中，f(x)和 g(x)是同一函数的是_ Af(x)=lnx 2 ，g(x)=2lnx B C （分数：2.00）A.B.C.D.2.当 x1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2B.等于 0C为D.不存在但不为3.当 x0 时，变量 （分数：2.00）A.无穷小量B.无穷大量C.有界，但不是无穷小量D.无界，但不是无穷大4.设函数 f(x)=(x-a)(x)，其中 (x)在 x=a 处连续，则_（分数：2.00）A.f“(x)=“(x)B.
2、f“(a)=(a)C.f“(a)=“(a)D.f“(x)=(x)+(x-a)(x)5. ，则 f(x)=_ A B Ce 2x D （分数：2.00）A.B.C.D.6.设直线 则 L 1 与 L 2 的夹角为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 ，则级数 （分数：2.00）A.一定收敛B.一定发散C.一定条件收敛D.可能收敛也可能发散8.微分方程 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.设 n 阶方阵 A 满足 A 2 =A，AI(单位矩阵)，则_（分数：2.00）A.A 是满秩矩阵B.A 是零矩阵C.A 的秩小于 nD.以上均不对10.设 A，B 是 n 阶方
3、阵，且 r(A)=r(B)，则_（分数：2.00）A.r(A-B)=0B.r(A+B)=2r(A)C.r(A-B)=2r(A)D.r(A+B)r(A)+r(B)二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则方程 f“(x)=0 实根的个数为 1 （分数：3.00）12. （分数：3.00）13.平面-x+2y+3z+1=0 与平面 2x-y+z+2=0 的位置关系为 1(填“平行”、“重合”、“垂直”或“斜交”) （分数：3.00）14.设 u=y 2 +cos2y+e xy ，则 （分数：3.00）15.L 为区域 D=(x，y)|
4、x 2 +y 2 4y的正向边界曲线，则 （分数：3.00）三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求 （分数：6.00）_17.求函数 （分数：6.00）_18.已知函数 f(x)具有二阶连续导数，且满足 ，求 （分数：6.00）_19.设方程 x 2 +y 2 +z 2 =ye -x 确定隐函数 z=z(x，y)，求 （分数：6.00）_20.计算 （分数：6.00）_21.求幂级数 （分数：6.00）_22.曲线过点(1，0)，且曲线上任一点(x，y)处的切线垂直于该点与原点的连线，求曲线方程 （分数：6.00）_23.设三阶矩阵 A，B，满足关系：A -1 BA=12A+BA，
5、且 （分数：6.00）_四、应用题(总题数：2，分数：12.00)设(tt 2 +1)为曲线段 y=x 2 +1 上的点（分数：6.00）(1).试求出由该曲线段与曲线在此点处的切线，以及 x=0，x= 所围成图形的面积 A(t)；（分数：3.00）_(2).当 t 取何值时，A(t)最小?（分数：3.00）_24.某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10 元和 9 元生产甲产品 x 件与生产乙产品 y 件的总费用是 400+2x+3y+0.01(3x 2 +xy+3y 2 )元问两种产品的产量各多少件时，能够取得最大利润? （分数：6.00）_五、证明题(总题数：1，分数：5.00)2
6、5.设 z 是由方程 x-mz=(y-nz)所确定的关于 x，y 的函数，证明：z 满足方程 （分数：5.00）_四川省专升本高等数学模拟 14 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列四组函数中，f(x)和 g(x)是同一函数的是_ Af(x)=lnx 2 ，g(x)=2lnx B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：2.当 x1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2B.等于 0C为D.不存在但不为 解析：3.当 x0 时，变量 （分数：2.00）A.无穷小量B.无穷大量C.有界，但不是无穷小量D.无界，但不是
7、无穷大 解析：4.设函数 f(x)=(x-a)(x)，其中 (x)在 x=a 处连续，则_（分数：2.00）A.f“(x)=“(x)B.f“(a)=(a) C.f“(a)=“(a)D.f“(x)=(x)+(x-a)(x)解析：5. ，则 f(x)=_ A B Ce 2x D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：6.设直线 则 L 1 与 L 2 的夹角为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：7.设 ，则级数 （分数：2.00）A.一定收敛B.一定发散C.一定条件收敛D.可能收敛也可能发散 解析：8.微分方程 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：9.设
8、 n 阶方阵 A 满足 A 2 =A，AI(单位矩阵)，则_（分数：2.00）A.A 是满秩矩阵B.A 是零矩阵C.A 的秩小于 n D.以上均不对解析：10.设 A，B 是 n 阶方阵，且 r(A)=r(B)，则_（分数：2.00）A.r(A-B)=0B.r(A+B)=2r(A)C.r(A-B)=2r(A)D.r(A+B)r(A)+r(B) 解析：二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则方程 f“(x)=0 实根的个数为 1 （分数：3.00）解析：312. （分数：3.00）解析：013.平面-x+2y+3z+1=0 与平面
9、 2x-y+z+2=0 的位置关系为 1(填“平行”、“重合”、“垂直”或“斜交”) （分数：3.00）解析：斜交14.设 u=y 2 +cos2y+e xy ，则 （分数：3.00）解析：2y-2sin2y+xe xy15.L 为区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 4y的正向边界曲线，则 （分数：3.00）解析：4三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：方法一：利用对数恒等式 方法二：利用极限 ，并注意到当 xa 时 于是 17.求函数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：函数的定义域为(-，+)，则该函数的导数为 y“=x 2 -
10、4x+3=(x-1)(x-3)， 令 y“=0，得 x=1，x=3， 函数的单调区间如下表所示： x (-，1) 1 (1，3) 3 (3，+) y“ + 0 - 0 + y 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 极大值为 y| x=1 = 18.已知函数 f(x)具有二阶连续导数，且满足 ，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析： 所以， 19.设方程 x 2 +y 2 +z 2 =ye -x 确定隐函数 z=z(x，y)，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：令 F(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 -ye -x ，则 20.计算 （分数：6.00）_正确答案：()解
11、析：如图所示，由于 不能用初等函数有限地表示出来，所以该二重积分不能先对 x 积分故 21.求幂级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：所给级数的收敛半径 故收敛区间为(-1，1) 当 x=1 时，级数为交错级数，由莱布尼茨审敛法可知级数收敛； 当 x=-1 时，级数为 ，级数发散； 故级数的收敛域为(-1，1 22.曲线过点(1，0)，且曲线上任一点(x，y)处的切线垂直于该点与原点的连线，求曲线方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：设 P(x，y)为所求曲线上任意一点，过该点的切线斜率为 y“，而直线 OP 的斜率为 ，由于过P 点切线垂直 OP，所以 ，即 ydy=-xdx
12、，所以 23.设三阶矩阵 A，B，满足关系：A -1 BA=12A+BA，且 （分数：6.00）_正确答案：()解析：A -1 BA-BA=12A，则(A -1 -I)BA=12A， 又因为 所以 从而 四、应用题(总题数：2，分数：12.00)设(tt 2 +1)为曲线段 y=x 2 +1 上的点（分数：6.00）(1).试求出由该曲线段与曲线在此点处的切线，以及 x=0，x= 所围成图形的面积 A(t)；（分数：3.00）_正确答案：()解析：曲线 y=x 2 +1 在点(t，t 2 +1)处的导数值为 y“| x=t =2t， 点(t，t 2 +1)处的切线方程为 y-(t 2 +1)=
13、2t(x-t)，即 y=2tx-t 2 +1， 曲线 y=x 2 +1 与此切线以及直线 x=0，x= 围成图形的面积为 (2).当 t 取何值时，A(t)最小?（分数：3.00）_正确答案：()解析：A“(t)=2t- 2 ， 令 A“(t)=0，得唯一驻点 ， 24.某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10 元和 9 元生产甲产品 x 件与生产乙产品 y 件的总费用是 400+2x+3y+0.01(3x 2 +xy+3y 2 )元问两种产品的产量各多少件时，能够取得最大利润? （分数：6.00）_正确答案：()解析：利润=总售价-总费用， 即 L(x，y)=(10x+9y)-400+2x+3y+0.01(3x 2 +xy+3y 2 )， 令 五、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.设 z 是由方程 x-mz=(y-nz)所确定的关于 x，y 的函数，证明：z 满足方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 先求 ，将方程 x-mz=(y-nx)两边对 x 求偏导数，并注意到 x 是关于 x，y 的函数，得 解得 再将方程 x-mz=(y-nz)两边对 y 求偏导数，得 解得 所以
