1、四川省专升本高等数学模拟 13 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 f(x)的定义域是0，1，则函数 f(x-a)(a0)的定义域为_（分数：2.00）A.-a，aB.a，1+aC.-a，1-aD.-a，a-12.设 f(0)=0，且 存在，则 =_ Af“(x) Bf“(0) Cf(0) D （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 y=ln 2 (2+cos2x)，则 =_ A2ln(2+cos2x)(-sin2x) B C2ln(2+cos2x)sin2x D （分数：2.00）A.B.C.D.4.设函数 （分
2、数：2.00）A.连续且可导B.连续但不可导C.既不连续也不可导D.可导但不连续5.若 f(x)=ktan2x 的一个原函数为 ，则 k=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.设向量 ab，则(a+b)(a+2b)=_ A.a2+2b2 B.3ab C.a2+2ab+2b2 D.a2+3ab+b2。（分数：2.00）A.B.C.D.7.下列级数中，绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8.方程 y“-4y“-5y=e -x +sin5x 的待定特解形式可设为_ A.y=A1e-x+B1sin5x B.y=A1e-x+B1cos5x+B2sin5x
3、 C.y=A1ex+B1cos5x D.y=A1xe-x+B1cos5x+B2sin5x（分数：2.00）A.B.C.D.9.若 1 ， 2 线性相关， 1 ， 2 线性相关，则 1 + 1 ， 2 + 2 _（分数：2.00）A.线性相关B.线性无关C.线性相关性不能确定D.1+1=0，2+2010.设 n 阶方阵 A 满足 A 2 -3A-I=O，则必有_（分数：2.00）A.A=3IB.A=-IC.A-3I 可逆D.A 不可逆二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.函数 y=sinx 在区间0，内满足罗尔定理的 = 1 （分数：3.00）12. （分数：3.00）13.点 M(3
4、，2，-1)到平面 x+y+z-1=0 的距离为 1 （分数：3.00）14.设方程 e z =xyz 确定隐函数 x=x(y，z)，则 （分数：3.00）15.设矩阵 B 的秩为 2， （分数：3.00）三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_17.设函数 y=(x 2 -3x) cox2x ，求 （分数：6.00）_18.求不定积分e x sinxdx （分数：6.00）_19.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极值 （分数：6.00）_20.计算 ，其中 D 是由 （分数：6.00）_21.求幂级数 （分数：6.00）_22.求微
5、分方程 （分数：6.00）_已知线性方程组 （分数：6.00）(1).当 1 ， 2 ， 3 ， 4 满足什么条件时，该线性方程组有解?（分数：3.00）_(2).当满足上一小题中条件时，方程组有唯一解还是无穷多解?（分数：3.00）_四、应用题(总题数：2，分数：12.00)23.某商店按批发价 3 元购进一批商品，若零售价定为每件 5 元，估计可售出 100 件，若每件售价降低0.2 元，则可多售出 20 件若需求函数(即售出量与价格间关系)是一次函数，请问该店应批发进多少件商品且每件售价为多少时才可获得最大利润，最大利润是多少? （分数：6.00）_24.过曲线 y=x 2 (x0)上某
6、点 A 作切线若过点 A 作的切线，曲线 y=x 2 及 x 轴围成的图形面积为 （分数：6.00）_五、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)1，又设 f(a)a，f(b)b，证明：存在唯一的点 (a，b)，使得 f()= （分数：5.00）_四川省专升本高等数学模拟 13 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 f(x)的定义域是0，1，则函数 f(x-a)(a0)的定义域为_（分数：2.00）A.-a，aB.a，1+a C.-a，1-aD.-a，a-1
7、解析：2.设 f(0)=0，且 存在，则 =_ Af“(x) Bf“(0) Cf(0) D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：3.设 y=ln 2 (2+cos2x)，则 =_ A2ln(2+cos2x)(-sin2x) B C2ln(2+cos2x)sin2x D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：4.设函数 （分数：2.00）A.连续且可导B.连续但不可导 C.既不连续也不可导D.可导但不连续解析：5.若 f(x)=ktan2x 的一个原函数为 ，则 k=_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：6.设向量 ab，则(a+b)(a+2b)=_ A.a2+
8、2b2 B.3ab C.a2+2ab+2b2 D.a2+3ab+b2。（分数：2.00）A. B.C.D.解析：7.下列级数中，绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：8.方程 y“-4y“-5y=e -x +sin5x 的待定特解形式可设为_ A.y=A1e-x+B1sin5x B.y=A1e-x+B1cos5x+B2sin5x C.y=A1ex+B1cos5x D.y=A1xe-x+B1cos5x+B2sin5x（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：9.若 1 ， 2 线性相关， 1 ， 2 线性相关，则 1 + 1 ， 2 + 2 _（分数：2.00
9、）A.线性相关B.线性无关C.线性相关性不能确定 D.1+1=0，2+20解析：10.设 n 阶方阵 A 满足 A 2 -3A-I=O，则必有_（分数：2.00）A.A=3IB.A=-IC.A-3I 可逆 D.A 不可逆解析：二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.函数 y=sinx 在区间0，内满足罗尔定理的 = 1 （分数：3.00）解析：12. （分数：3.00）解析：arctanf(x)+C13.点 M(3，2，-1)到平面 x+y+z-1=0 的距离为 1 （分数：3.00）解析：14.设方程 e z =xyz 确定隐函数 x=x(y，z)，则 （分数：3.00）解析：15.
10、设矩阵 B 的秩为 2， （分数：3.00）解析：1三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：17.设函数 y=(x 2 -3x) cox2x ，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：两边同取自然对数，得 lny=cos2xln(x 2 -3x)， 两边同对 x 求导，得 所以 18.求不定积分e x sinxdx （分数：6.00）_正确答案：()解析：由分部积分法得 e x sinxdx=e x sinx-e x cosxdx， 对e x cosxdx 再次运用分部积分法得 e x cosxdx=e x cosx+e x sinx
11、dx， 将两式联立得 e x sinxdx=e x (sinx-cosx)-e x sinxdx， 解得 19.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极值 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解方程组 求得驻点为 f xx =e 2x (4x+4y 2 +8y+4)，f xy =e 2x (4y+4)，f yy =2e 2x ， 由于 B 2 -AC=-4e 2 0，且 A0， 所以 为极小值点，函数的极小值为 20.计算 ，其中 D 是由 （分数：6.00）_正确答案：()解析：上半圆 在极坐标系下的方程为 r=2Rcos，区域 D 可表示为 ，0r2Rcos， 所以，
12、 21.求幂级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：因 于是，收敛半径 ，得收敛区间为 当 时，级数为 收敛； 当 时，级数为 发散 于是，收敛域为 22.求微分方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由题意，知 通解为 已知线性方程组 （分数：6.00）(1).当 1 ， 2 ， 3 ， 4 满足什么条件时，该线性方程组有解?（分数：3.00）_正确答案：()解析：对线性方程组所对应的增广矩阵 B 进行初等行变换 (2).当满足上一小题中条件时，方程组有唯一解还是无穷多解?（分数：3.00）_正确答案：()解析：由于 r(A)=r(B)=34， 所以，该线性方程组有无穷多解四、应
13、用题(总题数：2，分数：12.00)23.某商店按批发价 3 元购进一批商品，若零售价定为每件 5 元，估计可售出 100 件，若每件售价降低0.2 元，则可多售出 20 件若需求函数(即售出量与价格间关系)是一次函数，请问该店应批发进多少件商品且每件售价为多少时才可获得最大利润，最大利润是多少? （分数：6.00）_正确答案：()解析：由已知，商品售出数量 Q 与价格 P 之间的关系是一次函数，设 Q=a+bP 当 P=5 元时，Q=100 件；当 P=4.8 元时，Q=120 件 代入得 24.过曲线 y=x 2 (x0)上某点 A 作切线若过点 A 作的切线，曲线 y=x 2 及 x 轴
14、围成的图形面积为 （分数：6.00）_正确答案：()解析：设 A 点坐标为 由 y“=2x，得切线方程为 由已知 所以 x 0 =1，y 0 =1，切线方程为 2x-y-1=0，切线与 x 轴交点为 于是 五、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)1，又设 f(a)a，f(b)b，证明：存在唯一的点 (a，b)，使得 f()= （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 构造函数 F(x)=f(x)-x，则 F(a)0，F(b)0， 由 F(x)的连续性知，至少存在一点 (a，b)，使 F()=0，即 f()= 若存在 1 ， 2 (a，b)， 1 2 ，使 F( 1 )=F( 2 )=0， 则由罗尔定理知，存在 (a，b)，使 F“()=0， 即 f“()=1，与 f“(x)1 矛盾 故(a，b)内存在唯一的 ，使得 f()=
