1、四川省专升本高等数学模拟 11及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:10,分数:20.00)1.设函数 f(x)的定义域是1,2,则函数 f(1+lnx)的定义域为_ A1,1-ln2 B (分数:2.00)A.B.C.D.2.当 x0 时,下列变量中与 x 2 同阶的无穷小量是_ A B1-cosx Cx 3 +x 2 sinx D (分数:2.00)A.B.C.D.3.极限 (分数:2.00)A.1B.-1C.0D.不存在4.设 x 0 为 f(x)的极值点,则_(分数:2.00)A.f“(x0)必存在,且 f“(x0)=0B.f“(x0)必存在,且
2、 f“(x0)0C.f“(x0)可能不存在D.f“(x0)必定不存在5. =_ Axarctanx=C B C D (分数:2.00)A.B.C.D.6.过点 M(1,-1,5)且与直线: 平行的直线方程是_ A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.7.下列级数收敛的是_ A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.8. 的通解是_ Aarctanx+C B C D (分数:2.00)A.B.C.D.9.设|A|是三阶行列式,A=( 1 , 2 , 3 ),则|A|=_(分数:2.00)A.|1-2,2-3,3-1|B.|1+2,2+3,3+1|C.|1+22,3,1+2|D.
3、|1-3,2+3,1+2|10.设 A为三阶矩阵,|A|=2,其伴随矩阵为 A * ,则(A * ) * =_(分数:2.00)A.2AB.4AC.8AD.16A二、填空题(总题数:5,分数:15.00)11.设函数 (分数:3.00)12.设函数 (分数:3.00)13.已知 p=-2,2,1,q=3,6,2,m=p+q,且 m与 y轴垂直,则 , 应满足的关系式为 1 (分数:3.00)14.设函数 z由 xcosy+ycosz+zcosx=1所确定,则全微分 dz= 1 (分数:3.00)15.设 L为沿 y=x 2 从(0,0)到(, 2 )的曲线,则曲线积分 L (2xy 3 -y
4、2 cosx)dx+(1-2ysinx+3x 2 y 2 )dy= 1 (分数:3.00)三、计算题(总题数:8,分数:48.00)16.设 (分数:6.00)_17.设 x 2 +y 2 =4,求 (分数:6.00)_18.计算定积分 (分数:6.00)_19.设函数 z=arctan(xy),求 (分数:6.00)_20.计算二次积分 (分数:6.00)_21.求幂级数 (分数:6.00)_22.求微分方程 (分数:6.00)_23.讨论线性方程组 (分数:6.00)_四、应用题(总题数:2,分数:12.00)24.用 a元钱购料,建造一个宽与深相同的长方体水池,已知底面单位面积材料费为
5、m元,四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的 1.2倍,求水池的长与宽各多少米,才能使水池的容积最大? (分数:6.00)_25.过点(1,0)作抛物线 (分数:6.00)_五、证明题(总题数:1,分数:5.00)26.设 f(x)在0,c上可导,f“(x)单调递减且 f(0)=0,用拉格朗日中值定理证明:对任意a,b,0aba+bc,恒有 f(a+b)f(a)+f(b) (分数:5.00)_四川省专升本高等数学模拟 11答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:10,分数:20.00)1.设函数 f(x)的定义域是1,2,则函数 f(1+lnx)的定义域
6、为_ A1,1-ln2 B (分数:2.00)A.B.C. D.解析:2.当 x0 时,下列变量中与 x 2 同阶的无穷小量是_ A B1-cosx Cx 3 +x 2 sinx D (分数:2.00)A.B. C.D.解析:3.极限 (分数:2.00)A.1B.-1C.0D.不存在 解析:4.设 x 0 为 f(x)的极值点,则_(分数:2.00)A.f“(x0)必存在,且 f“(x0)=0B.f“(x0)必存在,且 f“(x0)0C.f“(x0)可能不存在 D.f“(x0)必定不存在解析:5. =_ Axarctanx=C B C D (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:6.过点 M
7、(1,-1,5)且与直线: 平行的直线方程是_ A B C D (分数:2.00)A. B.C.D.解析:7.下列级数收敛的是_ A B C D (分数:2.00)A.B.C. D.解析:8. 的通解是_ Aarctanx+C B C D (分数:2.00)A.B. C.D.解析:9.设|A|是三阶行列式,A=( 1 , 2 , 3 ),则|A|=_(分数:2.00)A.|1-2,2-3,3-1|B.|1+2,2+3,3+1|C.|1+22,3,1+2| D.|1-3,2+3,1+2|解析:10.设 A为三阶矩阵,|A|=2,其伴随矩阵为 A * ,则(A * ) * =_(分数:2.00)A
8、.2A B.4AC.8AD.16A解析:二、填空题(总题数:5,分数:15.00)11.设函数 (分数:3.00)解析:n12.设函数 (分数:3.00)解析:13.已知 p=-2,2,1,q=3,6,2,m=p+q,且 m与 y轴垂直,则 , 应满足的关系式为 1 (分数:3.00)解析:+3=014.设函数 z由 xcosy+ycosz+zcosx=1所确定,则全微分 dz= 1 (分数:3.00)解析:15.设 L为沿 y=x 2 从(0,0)到(, 2 )的曲线,则曲线积分 L (2xy 3 -y 2 cosx)dx+(1-2ysinx+3x 2 y 2 )dy= 1 (分数:3.00
9、)解析: 2 + 8三、计算题(总题数:8,分数:48.00)16.设 (分数:6.00)_正确答案:()解析:当 x1 时,所给函数分母的极限为零,而所给函数的极限存在,所以有 ,即 a+b+1=0再将 x 2 +ax+b分解成含(x-1)因式的乘积形式,由 a+b+1=0得 b=-1-a,所以 x 2 +ax+b=x 2 +ax-a-1=x 2 -1+a(x-1) =(x+a+1)(x-1), 因此, 17.设 x 2 +y 2 =4,求 (分数:6.00)_正确答案:()解析:设 F(x,y)=x 2 +y 2 -4,则 F x =2x,F y =2y,故 18.计算定积分 (分数:6.
10、00)_正确答案:()解析:19.设函数 z=arctan(xy),求 (分数:6.00)_正确答案:()解析:20.计算二次积分 (分数:6.00)_正确答案:()解析:应交换积分次序,积分区域可表示为: 0yx,故 21.求幂级数 (分数:6.00)_正确答案:()解析:因为 所以收敛半径 收敛区间为 当 时,该级数为交错级数 收敛; 当 时,该级数为调和级数 发散 故该幂级数的收敛域是 22.求微分方程 (分数:6.00)_正确答案:()解析:微分方程 为一阶线性方程,其中 ,Q(x)=x 2 , 则通解为 23.讨论线性方程组 (分数:6.00)_正确答案:()解析:该线性方程组所对应
11、的系数矩阵为 A,所对应的增广矩阵为 B,则有 (1)1 且 0 时,有 r(A)=r(B)=3,方程组有唯一解; (2)=1 时,增广矩阵 B化为 此时 r(A)=r(B)=23,方程组有无穷多解; (3)=0 时,增广矩阵 B化为 四、应用题(总题数:2,分数:12.00)24.用 a元钱购料,建造一个宽与深相同的长方体水池,已知底面单位面积材料费为 m元,四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的 1.2倍,求水池的长与宽各多少米,才能使水池的容积最大? (分数:6.00)_正确答案:()解析:设长方体水池的长为 x,宽为 y,由题意得, xy+2(xy+y 2 )1.2m=a;而长方体
12、水池的容积为:V=xy 2 该题即求 V=xy 2 在条件 xy+2(xy+y 2 )1.2= 下的条件极值 令 又 解之得 由于实际问题中最值一定存在,故当长方体的长为 宽为 25.过点(1,0)作抛物线 (分数:6.00)_正确答案:()解析:首先求过点(1,0)的抛物线 的切线方程 设切线的切点为(x 0 ,y 0 ),则有 于是,求解得切点(3,1),进而切线方程为: 这条切线、抛物线及 x轴所围成的平面图形如图所示:于是,所求旋转体的体积为: 五、证明题(总题数:1,分数:5.00)26.设 f(x)在0,c上可导,f“(x)单调递减且 f(0)=0,用拉格朗日中值定理证明:对任意a,b,0aba+bc,恒有 f(a+b)f(a)+f(b) (分数:5.00)_正确答案:()解析:证明 当 a=0时,显然成立 当 a0 时,因为 f(x)满足拉格朗日中值定理条件,所以必有 1 (0,a),使得 同理,必有 2 (b,a+b),使得 又因为 2 1 ,且 f“(x)单调递减,所以 f“( 1 )f“( 2 ),从而