1、四川省专升本高等数学模拟 10及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 f(x-1)的定义域为0，a，则 f(x)的定义域是_（分数：2.00）A.1，a+1B.-1，a-1C.1-a，a-1D.a-1，a+12.x0 时，1-cosx 是 x 2 的_（分数：2.00）A.高阶无穷小B.同阶非等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小3.若 ，则常数 k=_ Ae 2 B （分数：2.00）A.B.C.D.4.若 f(x)在 x 0 处可导，则|f(x)|在 x 0 处_（分数：2.00）A.必可导B.连续，但不一定可导C.
2、一定不可导D.一定不连续5.若 ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.直线 l： （分数：2.00）A.平行B.直线在平面内C.垂直D.相交但不垂直7.若级数 收敛(u n 0)，则必有_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8.微分方程 的通解为_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.9.若向量组 1 ， 2 ， n 线性无关，则对向量组 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， n = n + 1 ，下列说法最准确的是_（分数：2.00）A.一定线性相关B.一定线性无关C.线性相关性与向量组中向量个数的奇偶性有关D.线性相关性无
3、法判定10.下列命题中，正确的是_ A.如果 AB=I，则 A可逆且 A-1=B B.如果矩阵 A，B 均为 n阶可逆，则 A+B必可逆 C.如果矩阵 A，B 均为 n阶不可逆，则 A+B必不可逆 D.如果矩阵 A，B 均为 n阶不可逆，则 AB必不可逆（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.已知函数 y=lnx，则 y (n) = 1 （分数：3.00）12.设 （分数：3.00）13.在ABC 中，已知点 A(1，-1，2)，C(3，1，3)和 （分数：3.00）14.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =21在点(1，2，3)处的法线方程为 1
4、 （分数：3.00）15.设 L为圆周 x 2 +y 2 =R 2 的逆时针方向，则 （分数：3.00）三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_17.求函数 y=x-ln(x+1)的单调区间 （分数：6.00）_18.计算广义积分 （分数：6.00）_19.设函数 z=e xey 求 （分数：6.00）_20.计算 （分数：6.00）_21.求幂级数 （分数：6.00）_22.求微分方程 y“+2y“=3e -x 的通解 （分数：6.00）_23.已知线性方程组 （分数：6.00）_四、应用题(总题数：2，分数：12.00)24.已知 （分数：6.00）_2
5、5.设 D 1 由曲线 y=2x 2 ，直线 x=a(0a2)，x=2，y=0 围成，D 2 由曲线 y=2x 2 ，直线 x=a，y=0 围成，D 1 绕 x轴旋转一周所成立体体积为 V 1 ，D 2 绕 y轴旋转一周所成立体体积为 V 2 ，问当 a取何值时使 V 1 +V 2 取得最大值，最大值为多少? （分数：6.00）_五、证明题(总题数：1，分数：5.00)设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：（分数：5.00）(1).在(a，b)内，g(x)0；（分数：2.50）_(2).在(a，b)内至少存在一点 ，使得
6、（分数：2.50）_四川省专升本高等数学模拟 10答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 f(x-1)的定义域为0，a，则 f(x)的定义域是_（分数：2.00）A.1，a+1B.-1，a-1 C.1-a，a-1D.a-1，a+1解析：2.x0 时，1-cosx 是 x 2 的_（分数：2.00）A.高阶无穷小B.同阶非等价无穷小 C.等价无穷小D.低阶无穷小解析：3.若 ，则常数 k=_ Ae 2 B （分数：2.00）A.B.C. D.解析：4.若 f(x)在 x 0 处可导，则|f(x)|在 x 0 处_（分数：2.
7、00）A.必可导B.连续，但不一定可导 C.一定不可导D.一定不连续解析：5.若 ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：6.直线 l： （分数：2.00）A.平行B.直线在平面内 C.垂直D.相交但不垂直解析：7.若级数 收敛(u n 0)，则必有_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：8.微分方程 的通解为_ A B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：9.若向量组 1 ， 2 ， n 线性无关，则对向量组 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， n = n + 1 ，下列说法最准确的是_（分数：2.00）A.一定线
8、性相关B.一定线性无关C.线性相关性与向量组中向量个数的奇偶性有关 D.线性相关性无法判定解析：10.下列命题中，正确的是_ A.如果 AB=I，则 A可逆且 A-1=B B.如果矩阵 A，B 均为 n阶可逆，则 A+B必可逆 C.如果矩阵 A，B 均为 n阶不可逆，则 A+B必不可逆 D.如果矩阵 A，B 均为 n阶不可逆，则 AB必不可逆（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：二、填空题(总题数：5，分数：15.00)11.已知函数 y=lnx，则 y (n) = 1 （分数：3.00）解析：(-1) n-1 (n-1)!x -n12.设 （分数：3.00）解析：13.在ABC 中，已知
9、点 A(1，-1，2)，C(3，1，3)和 （分数：3.00）解析：14.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =21在点(1，2，3)处的法线方程为 1 （分数：3.00）解析：15.设 L为圆周 x 2 +y 2 =R 2 的逆时针方向，则 （分数：3.00）解析：三、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：17.求函数 y=x-ln(x+1)的单调区间 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由题可知函数的定义域为(-1，+)，令 得-1x0，所以函数的单调减少区间为(-1，0)；令 18.计算广义积分 （分数：6.00）_正确答案：(
10、)解析：19.设函数 z=e xey 求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：20.计算 （分数：6.00）_正确答案：()解析：如图所示：积分区域可以表示为 所以 21.求幂级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：曲于幂级数 的收敛半径为 当 x=2时，对应的级数 发散， 当 x=-2时，对应的级数 发散， 所以，幂级数 22.求微分方程 y“+2y“=3e -x 的通解 （分数：6.00）_正确答案：()解析：此方程为二阶常系数非齐次线性微分方程 对应的齐次线性方程的特征方程为 r 2 +2r=0，解得 r=0或 r=-2， 二阶常系数齐次线性微分方程 y“+2y“=0的通解为
11、Y=C 1 +C 2 e -2x ， =-1 不是特征方程的根，设原方程的特解为 y * =Ae -x ， 则 (y * )“=-Ae -x ，(y * )“=Ae -x ， 将 y * ，(y * )“，(y * )“代入原方程并整理得 -Ae -x =3e -x ， 所以 A=-3，y * =-3e -x 原方程的通解为 y=Y+y * =C 1 +C 2 e -2x -3e -x (C 1 ，C 2 为任意常数)23.已知线性方程组 （分数：6.00）_正确答案：()解析：设该线性方程组对应的系数矩阵为 A，则对应的增广矩阵为 r(B)=r(A)=24，所以方程组有无穷多解； 一般解为
12、其中 x 3 、x 4 为自由未知量， 令 x 3 =x 4 =0，得特解 而导出组的一般解为 分别令(x 3 ，x 4 )为(1，0)，(0，1)，得导出组的基础解系为 所以，该方程的通解为 四、应用题(总题数：2，分数：12.00)24.已知 （分数：6.00）_正确答案：()解析：令 ，则有 ，可写成 联立 令 f“(x)=0，得 为驻点， 注意到 x0，函数 f(x)没有不可导点， 所以函数在 处有极大值 处有极小值 25.设 D 1 由曲线 y=2x 2 ，直线 x=a(0a2)，x=2，y=0 围成，D 2 由曲线 y=2x 2 ，直线 x=a，y=0 围成，D 1 绕 x轴旋转一
13、周所成立体体积为 V 1 ，D 2 绕 y轴旋转一周所成立体体积为 V 2 ，问当 a取何值时使 V 1 +V 2 取得最大值，最大值为多少? （分数：6.00）_正确答案：()解析：D 1 ，D 2 如图所示， 令 V“(a)=0，在区间(0，2)内有唯一驻点 a=1，当 0a1 时，V“0；当 1a2 时，V“0，所以 a=1为极大值点，即最大值点，最大值为 五、证明题(总题数：1，分数：5.00)设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：（分数：5.00）(1).在(a，b)内，g(x)0；（分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 用反证法证明：若存在 x 0 (a，b)，使 g(x 0 )=0，则由罗尔定理得，必存在 x 1 (a，x 0 )和 x 2 (x 0 ，b)，使得 g“(x 1 )=g“(x 2 ) 再由罗尔定理得，存在 (x 1 ，x 2 ) (2).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 （分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=f(x)g“(x)-f“(x)g(x)由已知条件得，F(a)=F(b)=0，故函数 F(x)在a，b上满足罗尔定理的条件，故必存在 (a，b)，使得 F“()=0，即 f“()g“()+f()g“()-f“()g()-f“()g“()=0， 即
