1、2017年湖南省永州市冷水滩区中考二模数学 一、选择题 (本大题共 10个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上 .每小题 4分，共 40分 ) 1. 2017的相反数是 ( ) A.2017 B.-2017 C. 12017D. 12017解析：根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“ -”号，求解即可 . 2017的相反数是 -2017. 答案： B. 2.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为 ( ) A.44 108 B.4.4 109 C.4.4 108
2、D.4.4 1010 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1时， n是正数；当原数的绝对值 1时， n是负数 . 4400000000=4.4 109. 答案： B. 3.下列各式计算正确的是 ( ) A.6a+2a=8a2 B.(a-b)2=a2-b2 C.a4 a6=a10 D.(a3)2=a5 解析：各项计算得到结果，即可作出判断 . A、原式 =8a，不符合题意； B、原式 =a2-2ab+b2，不符合题意； C、原式 =a
3、10，符合题意； D、原式 =a6，不符合题意 . 答案： C 4.不等式组 2 1 112xx 的解集在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 解析：先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出选项 . 2 1 112xx ， 解不等式得： x 1， 解不等式得： x -3， 不等式组的解集为 -3 x 1， 在数轴上表示为： . 答案： A. 5.下列命题中错误的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直 C.同旁内角互补 D.矩形的对角线相等 解析： A、平行四边形的对角线互相平分，所以 A 选项为真命题； B、菱形的对角线互相垂直，所以 B选项为真
4、命题； C、两直线平行，同旁内角互补，所以 C选项为假命题； D、矩形的对角线相等，所以 D选项为真命题 . 答案： C. 6.下列说法正确的是 ( ) A.要了解我市九年级学生的身高，应采用普查的方式 B.若甲队成绩的方差为 5，乙队成绩的方差为 3，则甲队成绩不如乙队成绩稳定 C.如果明天下雨的概率是 99%，那么明天一定会下雨 D.一组数据 4， 6， 7， 6， 7， 8， 9的中位数和众数都是 6 解析：根据概率的意义和应用， 全面调查与抽样调查的选择，以及统计量的选择，逐项判断即可 . 选项 A：要了解我市九年级学生的身高，应采用抽样调查的方式， 选项 A不符合题意； 选项 B：若
5、甲队成绩的方差为 5，乙队成绩的方差为 3，则 5 3， 甲队成绩不如乙队成绩稳定， 选项 B符合题意； 选项 C：如果明天下雨的概率是 99%，只能说明明天下雨的可能性大，但是并不说明明天一定会下雨， 选项 C不符合题意； 选项 D：一组数据 4， 6， 7， 6， 7， 8， 9的中位数是 7，众数是 6和 7， 选项 D不符合题意 . 答案： B. 7.下列四个立体图形中，左视图为矩形的是 ( ) A. B. C. D. 解析：左视图是分别从物体左面看，所得到的图形 . 长方体左视图为矩形；球左视图为圆；圆锥左视图为三角形；圆柱左视图为矩形； 因此左视图为矩形的有 . 答案： B. 8.
6、如图，反比例函数 kyx的图象与一次函数 12yx的图象交于点 A(-2， m)和点 B，则点 B的坐标是 ( ) A.(2， -1) B.(1， -2) C.(12， -1) D.(1， 12) 解析 ：将 A(-2， m)代入 12yx， m=1， 点 A(-2， 1)， 由于反比例函数与正比例函数的图象关于原点对称， A与 B关于原点对称， B(2， -1) 答案： A. 9.如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中 (不计空气阻力 )，弹簧称的读数 F(N)与时间 t(s)的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析：开始一段的
7、弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变 . 根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变 -逐渐增大 -保持不变 . 答案： A. 10.如图，已知 AB=A1B， A1B1=A1A2， A2B2=A2A3， A3B3=A3A4，若 A=70，则 An-1AnBn-1(n 2)的度数为 ( ) A.702nB.1702nC.1702nD.2702n解析：根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 B1A2A1， B2A3A2 及 B3A4A3 的度数，找出规律即可得出 An-1AnBn-1的度数 . 在 ABA1中， A=70
8、， AB=A1B， BA1A=70， A1A2=A1B1， BA1A是 A1A2B1的外角， B1A2A1= 12BAA=35； 同理可得， B2A3A2=17.5， B3A4A3=12 17.5 =354， An-1AnBn-1=1702n . 答案： C. 二、填空题 (本大题共 8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每小题 4分，共 32分 ) 11.抛物线 y=3(x-2)2+5的顶点坐标是 . 解析：由于抛物线 y=a(x-h)2+k的顶点坐标为 (h， k)，由此即可求解 . 抛物线 y=3(x-2)2+5， 顶点坐标为： (2， 5). 答案： (2， 5). 12.已知关于
9、x的一元二次方程 2x2-3kx+4=0的一个根是 1，则 k= . 解析：把 x=1代入已知方程列出关于 k的一元一次方程， 2 12-3k 1+4=0，即 2-3k+4=0， 解得： k=2. 答案： 2. 13.若 a2-3a+1=0，则 221a a = . 解析： 将 221a a 配方为完全平方式，再通分，然后将 a2-3a+1=0 变形为 a2+1=-3a，再代入完全平方式求值 . 22 222221 1 1 12 2 2 2aa a aa a a a ； 又 a2-3a+1=0，于是 a2+1=3a， 将代入得， 原式 =(3aa)2-2=9-2=7. 答案： 7. 14.如图
10、， AB=AC，要使 ABE ACD，应添加的条件是 (添加一个条件即可 ). 解析：要使 ABE ACD，已知 AB=AC， A= A，则可以添加一个边从而利用 SAS 来判定其全等，或添加一个角从而利用 AAS来判定其全等 . 添加 B= C或 AE=AD 后可分别根据 ASA、 SAS判定 ABE ACD. 答案： B= C或 AE=AD. 15.如图，在 ABC中， DE BC， 23DEBC， ADE的面积是 8，则 ABC的面积为 . 解析：根据相似三角形的判定，可得 ADE ABC，根据相似三角形的性质，可得答案 . 在 ABC中， DE BC， ADE ABC. 23DEBC，
11、 22 4923A D EABCS D ES B C VV， 849ABCSV， S ABC=18. 答案： 18. 16.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家 .在他著的详解九章算法一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果 . 我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1=2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 ) 1
12、6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) 写出杨辉三角第 n行中 n个数之和等于 . 解析：第 1行数字之和 1=20， 第 2行数字之和 2=21， 第 3行数字之和 4=22， 第 4行数字之和 8=23， 第 n行数字之和 2n-1. 答案： 2n-1. 17.一个不透明的盒子中装有 3 个红球， 2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为 . 解析：一个不透明的盒子中装有 3个红球， 2个黄球和 1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别， 从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为：33 1221. 答案：
13、 13. 18.如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第二象限内，点 B在 x轴上， AOB=30， AB=BO，反比例函数 kyx(x 0)的图象经过点 A，若 S ABO= 3 ，则 k的值为 . 解析：过点 A作 AD x 轴于点 D，如图所示 . AOB=30， AD OD， c o t 3OD A O BAD ， AOB=30， AB=BO， AOB= BAO=30， ABD=60， c o t 33BD ABDAD ， OB=OD-BD， 333 233ADO B O D B DO D O D AD ， 23ABOADOSS VV， 3ABOS V， 1 3 322A D OSkV，
14、 反比例函数图象在第二象限， k= 33 . 答案 ： 33 . 三、解答题 (本大题共 8个小题，共 78 分，解答题要求写出证明步骤或解答过程 ) 19.计算： 20 2 0 1 73 1 t1 33 a n 6 0 2 解析：原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果 . 答案：原式 31 1 9 2 13 3 . 20.先化简，再求值： 222 11 2 1aaa a a ，其中 a=3. 解析：先把括号内通分，再把分子分母因式分解，接着把除法运算化为乘法运算后约分，然后把 a的值代入计算即可 . 答案：原式 212 1 1
15、11aaaa a a a g， 当 a=3 时，原式 23313. 21.在读书月活动中，某校号召全体师生积极捐书，为了解所捐书籍的种类，图书管理员对部分书籍进行了抽样调查，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表 .请你根据统计图表所提供的信息回答下面问题： 某校师生捐书种类情况统计表 (1)统计表中的 n= ，并补全条形统计图 . 解析： (1)由科普书的频数除以百分比确定出总数目，进而求出 m 与 n的值，补全条形统计图即可 . 答案： (1)此次抽样的书本总数为 12 30%=40(本 )， m=8， n=14， 补全条形图如图： 故答案为： 14. (2)本次活动师生共捐书 2000本
16、，请估计有多少本科普类图书？ 解析： (2)由科普书的百分比乘以 2000即可得到结果 . 答案： (2)2000 30%=600(本 )， 答：估计有 600本科普类图书 . 22.测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物 BC的屋顶有一根旗杆 AB，从地面上 D点处观测旗杆顶点 A 的仰角为 50，观测旗杆底部 B 点的仰角为 45， (可用的参考数据：sin50 0.8， tan50 1.2) (1)若已知 CD=20米，求建筑物 BC 的高度； 解析： (1)由题意可知 BCD 是等腰直角三角形，所以 BC=DC. 答案： (1) BDC=45， C=90， BC=DC=20m，
17、答：建筑物 BC的高度为 20m. (2)若已知旗杆的高度 AB=5米，求建筑物 BC的高度 . 解析： (2)直接利用 tan 50 ACDC，进而得出 BC 的长求出答案 . 答案： (2)设 DC=BC=xm， 根据题意可得： 5t a n 5 0 1 .2A C xD C x ， 解得： x=25， 答：建筑物 BC的高度为 25m. 23.某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买 3张两人学习桌， 1张三人学习桌需 220元；如果购买 2张两人学习桌， 3 张三人学习桌需 310元 . (1)求两人学习桌和三人学习桌的单价； 解析： (1)设每张
18、两人学习桌单价为 a 元和每张三人学习桌单价为 b 元，根据如果购买 3 张两人学习桌， 1 张三人学习桌需 220 元；如果购买 2 张两人学习桌， 3 张三人学习桌需 310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可 . 答案： (1)设每张两人学习桌单价为 a元和每张三人学习桌单价为 b元，根据题意得出： 3 2202 3 310abab， 解得： 5070ab， 答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为 50 元， 70元 . (2)学校欲投入资金不超过 6000元，购买两种学习桌共 98张，以至少满足 248 名学生的需求，设购买两人学习桌 x 张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为 W
19、 元，求出 W 与 x的函数关系式；求出所有的购买方案 . 解析： (2)根据购买两种学习桌共 98张，设购买两人学习桌 x张，则购买 3人学习桌 (98-x)张，根据以至少满足 248 名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过 6000 元得出不等式，进而求出即可 . 答案： (2)设购买两人学习桌 x张，则购买 3人学习桌 (98-x)张， 购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为 W 元， 则 W与 x的函数关系式为： W=50x+70(98-x)=-20x+6860； 根据题意得出： 5 0 7 0 9 8 6 0 0 02 3 9 8 2 4 8xx ， 由 50x+70(98-x) 60
20、00， 解得： x 43， 由 2x+3(98-x) 248， 解得： x 46， 故不等式组的解集为： 43 x 46， 故所有购买方案为：当购买两人桌 43 张时，购买三人桌 55 张， 当购买两人桌 44 张时，购买三人桌 54 张， 当购买两人桌 45 张时，购买三人桌 53 张， 当购买两人桌 46 张时，购买三人桌 52 张 . 24.如图， E， F分别是矩形 ABCD的边 AD， AB上的点，若 EF=EC，且 EF EC. (1)求证： AEF DCE. 解析： (1)根据矩形的性质和已知条件可证明 AEF DCE. 答案： (1)证明：在矩形 ABCD中， A= D=90，
21、 1+ 2=90， EF EC， FEC=90， 2+ 3=90， 1= 3， 在 AEF和 DCE中， 13ADEF EC ， AEF DCE(AAS). (2)若 CD=1，求 BE的长 . 解析： (2)由 (1)可知 AE=DC，在 Rt ABE中由勾股定理可求得 BE 的长 . 答案： (2)由 (1)知 AEF DCE， AE=DC=1， 在矩形 ABCD中， AB=CD=1， 在 R ABE中， AB2+AE2=BE2，即 12+12=BE2， BE= 2 . 25.如图，在 Rt ABC中， C=90， AD是角平分线， DE AD交 AB于 E， ADE 的外接圆O与边 AC
22、相交于点 F，过 F作 AB 的垂线交 AD于 P，交 AB于 M，交 O于 G，连接 GE. (1)求证： BC 是 O的切线； 解析： (1)连结 OD，根据 AD 是角平分线，求出 C=90，得到 OD BC，求出 BC 是 O的切线 . 答案： (1)证明：连结 OD， DE AD， AE是 O的直径，即 O在 AE上， AD是角平分线， 1= 2， OA=OD， 2= 3， 1= 3， OD AC， C=90， OD BC. BC是 O的切线 . (2)若 tan G=43， BE=4，求 O的半径； 解析： (2)构造直角三角形，根据勾股定理求出 k 的值即可 . 答案： (2)如
23、图所示： OD AC， 4= EAF， G= EAF， 4= G， tan 4=tan G=43， 设 BD=4k，则 OD=OE=3k， 在 Rt OBD中，由勾股定理得 (3k)2+(4k)2=(3k+4)2， 解得， k1=2， k2= 12(舍 )， (注：也可由 OB=5k=3k+4 得 k=2)， 3k=6，即 O的半径为 6. (3)在 (2)的条件下，求 AP的长 . 解析： (3)设 FG 与 AE 的交点为 M，连结 AG，利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题 . 答案： (3)连结 AG， 则 AGE=90， EGM= 5. tan 5=tan EGM=43， 即 4
24、3G M E MA M G M， 34A M G MG M E M， 33 9144 6A M A M G ME M G M E M g， 9 9 1 0 8122 5 2 5 2 5A M A E ， OD AC， OD OBAC AB， CD DBAO OB， 即 6 58AC， 86 10CD. 485AC， 245CD， 1= 2， ACD= AMP=90， ACD AMP. 12PM C DAM AC， 12 5425P M A M. 22 54 525A P P M A M . 26.如图，抛物线 y=14x2+bx+c 与 x 轴交于 A(5， 0)、 B(-1， 0)两点，过点
25、 A 作直线 AC x轴，交直线 y=2x于点 C. (1)求该抛物线的解析式 . 解析： (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式 . 答案： (1) y=14x2+bx+c与 x轴交于 A(5， 0)、 B(-1， 0)两点， 125 50404bcbc ， 解得 514bc . 抛物线的解析式为 21544y x x . (2)求点 A关于直线 y=2x的对称点 A的坐标，判定点 A是否在抛物线上，并说明理由 . 解析： (2)方法一： (2)首先求出对称点 A的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点 A是否在抛物线上 .本问关键在于求出 A的坐标 .如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角
26、形 Rt A EA Rt OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点 A的坐标 . 方法二：利用 AA被 OC垂直平分，可先通过 OC 的斜率得出 AA的斜率，进而求出 AA的直线方程，并与 OC 的直线方程联立，求出 H 点坐标，再利用中点公式求出 A坐标，代入抛物线可判断点 是否在抛物线上 . 答案： (2)方法一：如答图所示，过点 A作 A E x轴于 E， AA与 OC交于点 D， 点 C在直线 y=2x上， C(5， 10) 点 A和 A关于直线 y=2x对称， OC AA， A D=AD. OA=5， AC=10， 2 2 2 25 1 0 55O C O A A C .
27、 1122O A CS O C A D O A A CV gg， AD=2 5 . AA =4 5 ， 在 Rt A EA和 Rt OAC中， A AE+ A AC=90， ACD+ A AC=90， A AE= ACD. 又 A EA= OAC=90， Rt A EA Rt OAC. A E A E A AO A A C O C， 即 45 1 0 555A E A E . A E=4， AE=8. OE=AE-OA=3. 点 A的坐标为 (-3， 4)， 当 x=-3时， 233 54 41 4y . 所以，点 A在该抛物线上 . 方法二：设 AA与直线 OC 的交点为 H， 点 A，点
28、A关于直线 OC： y=2x对称， AA OC， KOC KAA =-1， KOC=2， KAA = 12， A(5， 0)， lAA ： 12 52yx ， lOC： y=2x， H(1， 2)， H为 AA的中点， 51220222xxxxyyy yA A AHA A AH ， A x=-3， A y=4， A (-3， 4)， 当 x=-3时， 233 54 41 4y ， 点 A在抛物线上 . (3)点 P 是抛物线上一动点，过点 P作 y轴的平行线，交线段 CA于点 M，是否存在这样的点 P，使四边形 PACM是平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析：
29、(3)方法一：本问为存在型问题 .解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解 .如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此 PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出 PM的长度，然后列方程求解 . 方法二：利用 PM=AC列式，可求出 P点坐标 . 答案： (3)方法一：存在 . 理由：设直线 CA的解析式为 y=kx+b， 则 5 1034kbkb ， 解得25434kb ， 直线 CA的解析式为 2434 5yx设点 P的坐标为 (x， 21544xx)，则点 M为 (x， 34 254x). PM AC， 要使四边形 PACM是平行四边形，只需 PM=AC.又点 M在点 P
30、的上方， 225 1043 1 54 4 4x x x . 解得 x1=2， x2=5(不合题意，舍去 ) 当 x=2时， y= 94. 当点 P运动到 (2， 94)时，四边形 PACM是平行四边形 . 方法二： PM AC，要使四边形 PACM是平行四边形，只需 PM=AC， 直线 AC x轴， Cx=Ax， A(5， 0)， Cx=5， lOC： y=2x， CY=10， C(5， 10)， A (-3， 4)， lCA ： 2434 5yx， M在线段 CA上，点 M在点 P的上方， 设 M(t， 34 254t)， P(t， 21544tt)， 225 13 1 544 044t t t ， t1=2， t2=5(舍 )， 当 x=2时， y= 94. 当点 P运动到 (2， 94)时，四边形 PACM是平行四边形 .
