1、专升本（高等数学二）-试卷 87 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 f(x)在(一，+)上可导，且 f(x)=e 2x + （分数：2.00）A.2e 2x +3B.C.e 2xD.2e 2x2.在下列函数中，当 x0 时，函数 f(x)的极限存在的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列反常积分收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)的一个原函数为 x 2 e （分数：2.00）A.B.C.D.5.如果df(x)=dg(x)，则下列各式中不一定成立的是 ( )（分数：2.00）
2、A.f(x)=g(x)B.f (x)=g (x)C.df(x)=dg(x)D.df (x)dx=dg (x)dx6.根据 f(x)的导函数 f (x)的图象(如图所示)，判断下列结论正确的是 ( ) （分数：2.00）A.在(，1)上 f(x)是单调递减的B.在(，2)上 f(x)是单调递减的C.f(1)为极大值D.f(1)为极小值7.( （分数：2.00）A.+sinx+CB.+sinx+CC.一 cotx+sinx+CD.cotx+sinx+C8.设函数 z=f(x，)，=(x，y)，其中 f， 都有一阶连续偏导数，则 等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.下列结论正确的是
3、( )（分数：2.00）A.若 A+B=B.若 A，B 为互不相容事件，则 A，B 互为对立事件C.若 A，B 为互不相容事件，则D.若 A，B 为互不相容事件，则 AB=A10.样本 4，1，2，1，2 的方差是 ( )（分数：2.00）A.6B.14C.12D.08二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 f( )=x 3 + （分数：2.00）填空项 1:_15.曲线 x y =x 2 y 在(1，1)点的切线方程为 1（分数：2.0
4、0）填空项 1:_16.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_18. （分数：2.00）填空项 1:_19.设 z=(x+2y) x ，则在点(1，0)处的全微分 dz (1，0) = 1（分数：2.00）填空项 1:_20.袋中装有号码为 1，2，3 的三个球，从中任取一个，记下号码，再放回袋中，这样重复取三次，如果记下的三个号码之和是 6，那么三次取到的都是 2 号球的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)21.计算 （分数：2.00）_22.设 y=arctan （分数：2.00
5、）_23.已知袋中有 8 个球，其中 5 个白球，3 个红球，从中任取一个球，不放回地取两次，设事件 A 为第一次取到白球，B 为第二次取到白球，求P(AB)（分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.设 f(x，y，z)=xy 2 z 3 ，且 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 一 3xyz=0 确定，求 （分数：2.00）_26.曲线 y=e x 与 x 的正半轴、y 的正半轴以及直线 x=4 围成平面区域 OABC，试在区间(0，4)内找一点 x 0 使直线 x=x 0 平分区域 OABC 的面积（分数：2.00）_27.求曲线 y=x 3 一 6xlnx
6、 的凹凸区间与拐点（分数：2.00）_专升本（高等数学二）-试卷 87 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 f(x)在(一，+)上可导，且 f(x)=e 2x + （分数：2.00）A.2e 2x +3B.C.e 2xD.2e 2x 解析：解析：因为2.在下列函数中，当 x0 时，函数 f(x)的极限存在的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：A 项： =2 x =2 0 =1 当 x0 时极限不存在； 3.下列反常积分收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：A 项： e dx
7、= e xd(lnx)= ln 2 x e =发散； 4.设 f(x)的一个原函数为 x 2 e （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：f(x)=5.如果df(x)=dg(x)，则下列各式中不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.f(x)=g(x) B.f (x)=g (x)C.df(x)=dg(x)D.df (x)dx=dg (x)dx解析：解析：当 f(x)=g(x)+C 时，仍有df(x)=dg(x)+C=dg(x)6.根据 f(x)的导函数 f (x)的图象(如图所示)，判断下列结论正确的是 ( ) （分数：2.00）A.在(，1)上 f(x)是单调递减的B.在(，2)上
8、 f(x)是单调递减的C.f(1)为极大值 D.f(1)为极小值解析：解析：本题的关键是图象所代表的几何意义：在 x 轴上方的曲线是表示 f (x)0(千万注意不是代表 f(x)0)，而 x 轴下方的曲线则表示 f (x)0，因此选项 A 与 B 都不正确，注意到在 x=1 处的左边即 x1 时 f (x)0，而 2x1 时 f (x)0，根据极值的第一充分条件可知 C 项正确7.( （分数：2.00）A.+sinx+C B.+sinx+CC.一 cotx+sinx+CD.cotx+sinx+C解析：解析：8.设函数 z=f(x，)，=(x，y)，其中 f， 都有一阶连续偏导数，则 等于 (
9、) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：9.下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 A+B=B.若 A，B 为互不相容事件，则 A，B 互为对立事件C.若 A，B 为互不相容事件，则D.若 A，B 为互不相容事件，则 AB=A 解析：解析：A，B 为对立事件要满足 A+B=，AB= ，而 A，B 互不相容只要满足 AB= ，所以对立事件一定互不相容，反之不一定成立，因此A 项与 B 项都不正确，由事件的对偶律 ，可知选项 C 也不一定正确，对于选项 D，AB=AAB10.样本 4，1，2，1，2 的方差是 ( )（分数：2.00）A.6B.14C.12 D.08解析：解析
10、： (4+1+2+1+2)=2， s 2 = (42) 2 +(1-2) 2 +(22) 2 +(12) 2 +(22) 2 = 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：本题除了用极限的运算法则求得结果外，亦可利用连续函数在一点处的极限值等于函数在该点处的函数值求得结果，即 12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：用洛必达法则求极限13.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=0，x= ）解析：解析：当 x=0 时与14.设函数
11、f( )=x 3 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(*1)dx）解析：解析： ， 则 f(t)= +t+1， 15.曲线 x y =x 2 y 在(1，1)点的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2 一 x）解析：解析：方程 x y =x 2 y， 两边取对数 ylnx=2lnx+lny， 两边对 x 求导 y lnx+ ， 16.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析： 1 2 f(x)dx= 1 2 dx 0 2 xdx=1 17.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:
12、_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x)= ，f(x 0 )=5， 5= ，即 1+x 0 = ， x 0 = ， f (x)= ， f(x 0 )= =25， ff (x 0 )= 18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnx+x+ ）解析：解析：19.设 z=(x+2y) x ，则在点(1，0)处的全微分 dz (1，0) = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：dx+2dy）解析：解析： dz= ， dz= 20.袋中装有号码为 1，2，3 的三个球，从中任取一个，记下号码，再放回袋中，这样重复取三次，如果记下的三个号码之和是 6
13、，那么三次取到的都是 2 号球的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于三个号码的顺序不同是不同的样本点，因此数字和为 6 的所有样本点是(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)以及(2，2，2)共 7 个，所以三次都取到 2 号球的概率为三、解答题(总题数：7，分数：14.00)21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 )解析：解析：利用等价无穷小量代换，当 x0 时，tanxx，sinx 4 x 4 ，1-cosx 22.设 y=arctan （分数：2.00）_正确答案：(
14、正确答案：解 设 y=arctan, = ， = y = = )解析：解析：多层复合函数求导，23.已知袋中有 8 个球，其中 5 个白球，3 个红球，从中任取一个球，不放回地取两次，设事件 A 为第一次取到白球，B 为第二次取到白球，求P(AB)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 P(AB)=P(A)P(BA)= )解析：解析：事件 AB 表示第一次取到白球且第二次也取到白球，根据概率的乘法公式 P(AB)=P(A)P(BA)，计算出 P(AB)24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解设 x=2sint0t )，则 dx=2costdt， 故 )解析：解析：被积函数
15、中有 25.设 f(x，y，z)=xy 2 z 3 ，且 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 一 3xyz=0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 =y 2 z 2 3xy 2 z 2 解法一 用公式法求 设 F(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 3xyz，则 ， 所以 ， 因此有 =y 2 z 3 3xy 2 z 2 ， )解析：解析：本题考查的知识点是隐函数求偏导，隐函数求偏导常用的有两种方法：公式法和微分法，直接求导的计算量比较大，建议考生熟练掌握公式法，首先应求 ，此时的 z=z(x，y)是隐函数，需用隐函数求偏导的方法求出26.曲线 y=e
16、 x 与 x 的正半轴、y 的正半轴以及直线 x=4 围成平面区域 OABC，试在区间(0，4)内找一点 x 0 使直线 x=x 0 平分区域 OABC 的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解如图所示， )解析：解析：画出图形，y=x 0 将 OABC 分成两部分 S 1 和 S 2 ，这两部分的被积函数是一样的，积分限是从 0 到 x 0 与从 x 0 到 4，并分别计算积分值27.求曲线 y=x 3 一 6xlnx 的凹凸区间与拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 函数定义域为(0，+)， y =3x 2 6lnx 一 6， y =6x 令 y =0，得 x=1 列表如下： )解析：解析：判定曲线 y=f(x)凹凸性及拐点，首先需求出该函数二阶导数为零或不存在的点，若二阶导数连续(二阶导数不存在的点除外)，只需判定二阶导数在上述点的两侧是否异号，若异号，则该点为曲线的拐点。在 f (x)0 的 x 取值范围内，曲线 y=f(x)为凸的；在 f (x)0 的 x 取值范围内，曲线y=f(x)为凹的
