1、专升本（高等数学二）-试卷 86 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.函数 y=ln(1+x 2 )的单调递增区间是 ( )（分数：2.00）A.(5，5)B.(，0)C.(0，+)D.(，)3.设 z=x 3 e y2 ，则 dz= ( )（分数：2.00）A.6x 2 ye y2 dxdyB.x 2 e y2 (3dx+2xydy)C.3x 2 e y2 dxD.x
2、3 e y2 dy4.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则e x f(e x )dx 等于 ( )（分数：2.00）A.F(e x )+CB.一 F(e x )+CC.F(e x )+CD.一 F(e x )+C5.方程 x 3 +2x 2 一 x 一 2=0 在一 3，2上 ( )（分数：2.00）A.有 1 个实根B.有 2 个实根C.至少有 1 个实根D.无实根6.设 f(x)=(1+x)e x ，则 f(x) ( )（分数：2.00）A.有极小值B.有极大值C.无极值D.是否有极值不能确定7.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f (x)0，则 ( )（分数：2
3、.00）A.f(0)0B.f(1)0C.f(1)f(0)D.f(1)f(0)8.设函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )存在阶偏导数，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.事件 A 与 B 互斥，他们都不是不可能事件，则下列结论：P(AB)=P(A)P(B)；P(A)0；0P(B)1；P(A)P(B)，其中正确的个数是 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.410.任意抛掷三枚硬币，恰有两枚硬币正面朝上的概率是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.函数 f(x)
4、= （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_15.(2x+1) 100 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 f (x)= （分数：2.00）填空项 1:_17.xf(x 2 )f (x 2 )dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.若 f(x)=e x ，则 0 1 f (2x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 z=e x ln ，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.若事件 A，B 为对立事件，且 P(A)0，则 P(BA)= 1（分数：2.00）填空项
5、 1:_三、解答题(总题数：8，分数：18.00)21.设 f(x)= （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.求 y= （分数：2.00）_24.证明：当 x0 时，ln(1+x) （分数：2.00）_25.计算x(1x 2 )dx（分数：2.00）_26.求一个正弦曲线与 x 轴所围成图形的面积(只计算一个周期的面积)（分数：2.00）_27.设 z=z(x，y)由方程 （分数：2.00）_某研究生班有 15 名学生，其中女生 5 人，选 3 人组成班委会，试求下列事件的概率：（分数：4.00）(1).“班委会中恰有一名女同学”为事件 A；（分数：2.00）_(2).“班
6、委会中至少有一名男生”为事件 B（分数：2.00）_专升本（高等数学二）-试卷 86 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量 D.无界变量一定是无穷大量解析：解析：A 项：无穷小量(除去零)的倒数是无穷大量 B 项：无穷小量不是绝对值很小很小的数(除去零) C 项：无穷小量是以零为极限的变量 D 项：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量是无界变量2.函数 y=ln(1+x 2 )的单调递增区间是 ( )（
7、分数：2.00）A.(5，5)B.(，0)C.(0，+) D.(，)解析：解析：y = 3.设 z=x 3 e y2 ，则 dz= ( )（分数：2.00）A.6x 2 ye y2 dxdyB.x 2 e y2 (3dx+2xydy) C.3x 2 e y2 dxD.x 3 e y2 dy解析：解析：解法一 公式法 因为 =3x 2 e y2 ， =x 3 e y2 2y=2x 3 ye y2 所以 dz= 4.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则e x f(e x )dx 等于 ( )（分数：2.00）A.F(e x )+CB.一 F(e x )+C C.F(e x )+CD.一 F(e
8、 x )+C解析：解析：e x f(e x )dx=一f(e x )de x =一 F(e x )+C5.方程 x 3 +2x 2 一 x 一 2=0 在一 3，2上 ( )（分数：2.00）A.有 1 个实根B.有 2 个实根C.至少有 1 个实根 D.无实根解析：解析：设 f(x)=x 3 +2x 2 一 x 一 2(x一 3，2) 因为 f(x)在区间一 3，2上连续， 且f(一 3)=一 80，f(2)=120， 由“零点定理”可知，至少存在一点 (一 3，2)，使 f()=0， 所以 方程在一 3，2上至少有 1 个实根6.设 f(x)=(1+x)e x ，则 f(x) ( )（分数
9、：2.00）A.有极小值 B.有极大值C.无极值D.是否有极值不能确定解析：解析： f (x)=e x (2+x)，驻点 x=一 2，当 x一 2 时，f (x)0；当 x一 2 时，f (x)0，所以 f(x)有极小值7.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f (x)0，则 ( )（分数：2.00）A.f(0)0B.f(1)0C.f(1)f(0)D.f(1)f(0) 解析：解析：由已知，f(x)在0，1上单调递减，因此 f(x)在0，1上的最大值在左端点处，最小值在右端点处，应选 D8.设函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )存在阶偏导数，则 =( ) （分数：
10、2.00）A.B. C.D.解析：解析：由二元偏导数的定义得9.事件 A 与 B 互斥，他们都不是不可能事件，则下列结论：P(AB)=P(A)P(B)；P(A)0；0P(B)1；P(A)P(B)，其中正确的个数是 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：由于 A 与 B 互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)成立；又由于 A，B 都不是不可能事件，则 P(A)0，0P(B)1 成立；而由所给的两个已知条件无法判断 P(A)P(B)的真假性10.任意抛掷三枚硬币，恰有两枚硬币正面朝上的概率是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题所做试验的可能结果
11、为：上上上、上上下、上下上、上下下、下上上、下上下、下下上、下下下；其中“上上下、上下上、下上上”意味着恰有两枚硬币正面朝上，因而所求概率为二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 12.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：k=13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：要求“ ”型不定式的极限，应优先考虑先用等价无穷小量代换，再用其他方法求解，因此有14.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正
12、确答案：正确答案：(1+2x)e 2x）解析：解析： f(x)= 15.(2x+1) 100 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：凑微分后用积分公式16.已知 f (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*+2）解析：解析：因为f (x)dx= +C，f(1)=C=2， 所以 f(x)= 17.xf(x 2 )f (x 2 )dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：xf(x 2 )f (x 2 )dx= f(x 2 )df(x 2 )= 18.若 f(x)=e x ，则 0 1 f
13、 (2x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 f (x)dx=df(x)， 则有 f (2x)d(2x)=df(2x)， 所以 0 1 f (2x)dx 注 若将 0 1 f (2x)d(2x)换成新的变量 =2x，则积分的上、下限也要一起换成新变量 的上、下限，即 0 1 f (2x)d(2x)= 0 2 f ()d 本题也可求出 f (x)=一 e x ，则 f (2x)=一 e 2x 红，再代入所求式子中，有 0 1 f (2x)dx= 0 1 e 2x dx = e 2x 0 1 = 19.设 z=e x ln ，则 （分数：2.00
14、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.若事件 A，B 为对立事件，且 P(A)0，则 P(BA)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：利用对立事件的定义及条件概率的计算公式， 对立事件：A+B=，AB=三、解答题(总题数：8，分数：18.00)21.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 在 x=0 处，f(0)=e sin0 一 3=一 2， f(x)在 x=0 处连续 )解析：解析：该题为函数在某点的连续性问题，根据连续的三要素即可求得 k 值22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析
15、：解析：利用两个重要极限之一23.求 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 两边取对数得 lny= =lnx 3 一 ln(12x)+ ln(4+x)一 ln(3 一 x) 2 ， 两边求导得 )解析：解析：由于函数式为多个函数连乘除的形式，用对数求导法最好，化为和差形式，大大减少了计算量24.证明：当 x0 时，ln(1+x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明 设 f(x)=ln(1x)一 (x0)，f(0)=0， 由于 f (x)= ， 在区间(0，)上，f (x)0，故 f(x)在(0，+)上单调增加， 所以 f(x)f(0)=0， 故 ln(1+x)一 0，
16、 即 ln(1+x) )解析：解析：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性证明是常用的方法之一，关键是构造函数 f(x)，证明当 xx 0 时，f (x)0(或0)，从而推出函数 f(x)单调增加(或减少)，因而 xx 0 时，f(x)f(x 0 )(或 f(x)f(x 0 )25.计算x(1x 2 )dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解法一 x(1+x 2 ) 2 dx= (1+x 2 ) 2 d(1+x 2 ) = (1+x 2 ) 3 +C 解法二 x(1+x 2 ) 2 dx=(x+2x 3 +x 5 )dx = )解析：解析：本题重点考查不定积分的换元积分法或凑微分积分法
17、，而对于本题有另外一种解法是将被积函数写成多项式的形式进行积分，见解法二26.求一个正弦曲线与 x 轴所围成图形的面积(只计算一个周期的面积)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 取从 02 的正弦曲线如图， )解析：解析：注意到图形面积是对称的，可直接得出 S=2 0 sinxdx=2(cosx 0 )=2(11)=427.设 z=z(x，y)由方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 先将对数化简 =lnxlny， 设 F(x，y，z)=lnzIny 一 ，则 )解析：解析：由这种方程所确定的函数 z=z(x，y)是自变量 x 和 y 的隐函数，求 z 的全微分 dz 通
18、常有两种方法： (1)直接用公式 时，将 y 和 z 都当作常数对待，将 F(x，y，z)看成 x 的一元函数，同理求出 ； (2)等式两边直接对 x 或 y 求导，对 x 求导时将 y 看作常数，式中的 z 作为 x，y 的复合函数，用复合函数求导公式求解，同理对 y 求导，然后从中分别解出某研究生班有 15 名学生，其中女生 5 人，选 3 人组成班委会，试求下列事件的概率：（分数：4.00）(1).“班委会中恰有一名女同学”为事件 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 恰有一名女同学是指有且只能有一名女同学，另外二个班委是男生，一女二男的选法种数为 C 5 1 C 10 2 ，则 P(A)= )解析：(2).“班委会中至少有一名男生”为事件 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：至少有一名男生是指：一名男生或二名男生或三名男生也可以考虑其对立事件：三名全是女生，则 P(B)= )解析：解析：本题的关键词是“恰有”和“至少有”，正确理解这两个词的含义是求解概率题的关键
