1、专升本（高等数学二）-试卷 83 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列极限不正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.2.若 = （分数：2.00）A.1B.3C.D.任意实数3.设 f(x)= (x0)在 x=0 处连续，且 f(0)= （分数：2.00）A.2B.2C.D.4.= ( ) （分数：2.00）A.0B.C.D.15.设 f(x)=x 3 sinx，则 f ( （分数：2.00）A. 2B.C.D.26.函数 y=e x 在定义域内单调 ( )（分数：2.00）A.增加且是凸的B.增加且是凹的C.减少
2、且是凸的D.减少且是凹的7.设 f (cosx)=sinx，则 f(cosx)= ( )（分数：2.00）A.一 cosx+CB.cosxCC.+CD.(2sin2xx)+C8. 0 4 f(x)dx=sin2，则 0 2 xf(x 2 )dx= ( )（分数：2.00）A.sin2B.2sin2C.sin2D.9.若事件 A 与 B 互斥，且 P(A)=05，P(AB)=08，则 P(B)等于 ( )（分数：2.00）A.03B.04C.02D.0110.设 100 件产品中有次品 4 件，从中任取 5 件产品，不可能的事件是 ( )（分数：2.00）A.“5 件都是正品”B.“5 件都是次
3、品”C.“至少有一件是次品”D.“至少有一件是正品”二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 Y=x(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+x 10 +e 10 ，则 y (10) = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 y=x +ln(x+ （分数：2.00）填空项 1:_16.设函数 y=3 -x2 ，则其单调递增区间为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.若 1 1 (xsin 4 x+2ax （分数：2.00）填空项 1
4、:_18.曲线 y=x 4 4x 2 2x 与 x 轴所围成的图形的面积 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 z=x(lnx+lny)，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.从 0，1，2，3，4，5 共六个数字中，任取 3 个数组成数字不重复的 3 位奇数的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.若 （分数：2.00）_22.求由方程 siny+xe y =0 确定的曲线在点(0，)处的切线方程（分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.求曲线 上对应于 t= （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）
5、_26.设函数 y=y(x)是由方程 cos(xy)=x+y 所确定的隐函数，求函数曲线 y=y(x)过点(0，1)的切线方程（分数：2.00）_27.求函数 f(x，y)=x 2 +xy+y 2 一 3x 一 6y 的极值（分数：2.00）_28.做一个如图所示的角铁架子，其底为等腰三角形，底边长为 6m，架子总长为 5m，试求所用角铁为最少时，三根角铁的长度各为多少? （分数：2.00）_专升本（高等数学二）-试卷 83 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列极限不正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解
6、析：B 项： =e 1 ， 2.若 = （分数：2.00）A.1B.3C. D.任意实数解析：解析： k=3.设 f(x)= (x0)在 x=0 处连续，且 f(0)= （分数：2.00）A.2B.2C.D. 解析：解析： f(x)= 在 x=0 连续，4.= ( ) （分数：2.00）A.0B. C.D.1解析：解析：本题考查重要极限： =15.设 f(x)=x 3 sinx，则 f ( （分数：2.00）A. 2B.C. D.2解析：解析：f (x)=3x 2 sinx+x 3 cosx，f ( )= 6.函数 y=e x 在定义域内单调 ( )（分数：2.00）A.增加且是凸的B.增加且
7、是凹的C.减少且是凸的D.减少且是凹的 解析：解析：y =一 e x 0，y =e x 0，所以应选 D7.设 f (cosx)=sinx，则 f(cosx)= ( )（分数：2.00）A.一 cosx+CB.cosxCC.+C D.(2sin2xx)+C解析：解析：因为 f (cosx)= =sinx， 则有 f(cosx)=sinxd(cosx)=一sin 2 xdx=一 (1-cos2x)dx= 8. 0 4 f(x)dx=sin2，则 0 2 xf(x 2 )dx= ( )（分数：2.00）A.sin2B.2sin2C.sin2 D.解析：解析：本题考查的知识点是定积分的概念和定积分的
8、换元积分法，换元时积分的上、下限一定要一起换 因为 0 4 f(x)dx=sin2 更广义的理解应为 0 4 f()d=sin2，所以 0 2 xf(x 2 )dx= 0 2 f(x 2 )d(x 2 ) 0 4 f()d = 9.若事件 A 与 B 互斥，且 P(A)=05，P(AB)=08，则 P(B)等于 ( )（分数：2.00）A.03 B.04C.02D.01解析：解析：利用加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)，已知条件 AB=10.设 100 件产品中有次品 4 件，从中任取 5 件产品，不可能的事件是 ( )（分数：2.00）A.“5 件都是正品”B.“5 件都
9、是次品” C.“至少有一件是次品”D.“至少有一件是正品”解析：解析：本题考查的知识点是不可能事件的概念，不可能事件是指在一次试验中不可能发生的事件，由于只有 4 件次品，所以一次取出 5 件都是次品是根本不可能的二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由连续的三要素及 f(00)=1=f(0+0)=f(0)，得 k=112.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： =e，且13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：1
10、4.设 Y=x(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+x 10 +e 10 ，则 y (10) = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10！）解析：解析：注意到五项连乘积是 x 的 5 次多项式，因此它的 10 阶导数为零，不必逐项计算15.设 y=x +ln(x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： y =2 16.设函数 y=3 -x2 ，则其单调递增区间为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一，0）解析：解析：若 y =3 x2 ln3(一 2x)0，则 x0，则其单调递增区间为(一，017.若 1
11、 1 (xsin 4 x+2ax （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：被积函数中的 xsin 4 x 是奇函数，而 2ax 是偶函数，则有 18.曲线 y=x 4 4x 2 2x 与 x 轴所围成的图形的面积 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲线 y=一 x 3 +x 2 +2x 的图形如图， 它与 x 轴围成的图形面积为 S=一 1 0 (一 x 3 +x 2 +2x)dx+ 0 2 (一 x 3 +x 2 +2x)dx 19.设 z=x(lnx+lny)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
12、确答案：*）解析：解析： =lnxlny+1， 20.从 0，1，2，3，4，5 共六个数字中，任取 3 个数组成数字不重复的 3 位奇数的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：048）解析：解析：样本空间的样本点总数为 C 5 1 C 5 1 C 4 1 =100 奇数的个数：个位数的取法有 C 3 1 种，百位数的取法有 C 4 1 种(除去 0，只有 4个数可当成百位数字)，十位数的取法有 C 4 1 种，依次完成，所以 3 位奇数的个数是 C 3 1 C 4 1 C 4 1 =48，其概率为 P= 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.若 （分数：
13、2.00）_正确答案：(正确答案：解若 =5， 则当 x2 时,x 2 +ax+b 与 x 一 2 为同阶无穷小量， 令 x 2 +ax+b=(x 一 2)(x+k)， () 则 )解析：解析：本题关键在于根据同阶无穷小量的定义，将 x 2 +ax+b 写成两个一次式的乘积，使得两个未知数 a，b 变为一个 k，解答就简便了22.求由方程 siny+xe y =0 确定的曲线在点(0，)处的切线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 方程两边对 x 求导得 cosyy +e y +xe y y =0， 得 y = ， 所以 )解析：解析：本题主要考查如伺求切线方程已知切线过足点，只需
14、求出凼数在该点的导数值，即得切线的斜率，代入直线方程，进而求得切线方程23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：通过换元法去根号，使被积函数有理化，注意积分后要进行反换元，即将式中的 t 用24.求曲线 上对应于 t= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解注意到 )解析：解析：本题中出现了以 t 为参变量的参数方程，求 y 可以分别将 y 和 x 看作 t 的函数，对 t 求导，再求出 25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：这是变上限定积分的问题，用洛必达法则与变上限积分的导数来求解26.设函数 y=y(x)是由方程 cos(
15、xy)=x+y 所确定的隐函数，求函数曲线 y=y(x)过点(0，1)的切线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 解法一 直接求导法 等式两边对 x 求导得 一 sin(xy)(y+xy )=1+y ， 解得 y = 解法二 公式法 设 F(x，y)=cos(xy)一 xy， =一 sin(xy)y 一 1， =sin(xy)x 一 1， 所以 )解析：解析：本题是一道典型的综合题，考查的知识点是隐函数的求导计算和切线方程的求法，本题的关键是由已知方程求出 y ，此时的 y 中通常含有x 和 y，因此需由原方程求出当 x=0 时的 y 值，继而得到 y 的值，再写出过点(0，1)的
16、切线方程，计算隐函数 y(x)的导数，通常有三种方法：直接求导法(此时方程中的 y 是 x 的函数)、公式法(隐函数的求导公式)和微分法(等式两边求微分)27.求函数 f(x，y)=x 2 +xy+y 2 一 3x 一 6y 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 令 )解析：解析：二元函数无条件极值的求解步骤为： (1)先求驻点 M i ，即 28.做一个如图所示的角铁架子，其底为等腰三角形，底边长为 6m，架子总长为 5m，试求所用角铁为最少时，三根角铁的长度各为多少? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 设等腰三角形的高为 h，则 BD=DC= ， 三根角铁的总长 l=5 一 h+2 ， l 2 =1 =0，得 4h 2 =h 2 +9， 解得 h= m， 由于只有唯一的驻点，所以 h= m 时，所用角铁为最少，此时三根角铁的长度分别为 BD= )解析：解析：这是应用题中的最值问题，首先要列出函数关系式，再求其在已知条件下的最值
