1、专升本（高等数学二）-试卷 82 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列极限正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.2.函数 f(x)的导函数 f (x)的图象如图所示，则在(一，+)上 f(x)的单调递增区间是 ( ) （分数：2.00）A.(一，一 1)B.(一，0)C.(0，1)D.(一 1，)3.已知 f(x)=3xe x ，则 f (0)等于 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.已知函数 f(x)= ，则 （分数：2.00）A.1B.0C.2D.不存在5.函数 f(x)=2x1在点 x= （
2、分数：2.00）A.0B.C.2D.不存在6.若 f (x 0 )=0，f (x 0 )0，则 ( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极小值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )不是 f(x)的极值D.不能判定 f(x 0 )是否为 f(x)的极值7.设 z=arctan ，则 （分数：2.00）A.一 1B.0C.1D.28.设 z=e x cosy，则 （分数：2.00）A.e x cosyB.e x cosyC.e x sinyD.e x siny9.同时抛掷两颗正六面体的骰子，则出现点数和等于 6 的概率为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.
3、10.袋中有 5 个乒乓球，其中 4 个白球，1 个红球，从中任取 2 个球的不可能事件是 ( )（分数：2.00）A.2 个球都是白球B.2 个球都是红球C.2 个球中至少有 1 个白球D.2 个球中至少有 1 个红球二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知当 x0 时，ln(1 一 ax)与 x 是等价无穷小，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.函数 y=ln(arcsinx)的连续区间为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 x n = ，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.若 f(x)在 x=a 处可导，
4、则 （分数：2.00）填空项 1:_16.函数 f(x)=2 2x 在 x=0 处的二阶导数 f (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_18.若f(x)dx=e x +x+C，则cosxf(sinx1)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 x 是方程 x+yz=e z 所确定的 x 与 y 的函数，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.五人排成一行，甲、乙二人必须排在一起的概率 P= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.计算 （分数：2.00）_22.已知 y=e x23x
5、+arcsin （分数：2.00）_23.讨论函数 f(x)= （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.甲、乙二人单独译出密码的概率分别为 （分数：2.00）_26.求抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x 一 4 所围图形的面积（分数：2.00）_27.求函数 y=x 3 一 3x 2 一 1 的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点（分数：2.00）_28.一个袋子中有编号为 1，2，3，4，5 的 5 个球，从中任取 3 个球，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码，求随机变量 X 的分布列，并求 EX（分数：2.00）_专升本（高等数学二）-试卷 82 答案解析(总
6、分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列极限正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 项： =01，无穷小量 与有界变量 sinx 的乘积仍是无穷小量2.函数 f(x)的导函数 f (x)的图象如图所示，则在(一，+)上 f(x)的单调递增区间是 ( ) （分数：2.00）A.(一，一 1)B.(一，0)C.(0，1)D.(一 1，) 解析：解析：本题考查的知识点是根据一阶导数 f (x)的图象来确定函数的单调区间，因为在 x 轴上方f (x)0，而 f (x)0 的区间为 f(x)的单调递增区间，所以可判断 f(x
7、)的单调递增区间为(一1，+)3.已知 f(x)=3xe x ，则 f (0)等于 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：f(x)=3x+e x ， f (x)=3+e x ， f (0)=3+e 0 =3+1=44.已知函数 f(x)= ，则 （分数：2.00）A.1B.0C.2D.不存在 解析：解析： =0 故5.函数 f(x)=2x1在点 x= （分数：2.00）A.0B.C.2D.不存在 解析：解析：绝对值求导的关键是去绝对值符号，然后根据分段函数求导数 因为 f(x)=2x 一 1=6.若 f (x 0 )=0，f (x 0 )0，则 ( )（分数：2.00）
8、A.f(x 0 )是 f(x)的极小值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值 C.f(x 0 )不是 f(x)的极值D.不能判定 f(x 0 )是否为 f(x)的极值解析：解析：根据判定极值的第二充分条件可知选 B7.设 z=arctan ，则 （分数：2.00）A.一 1B.0C.1 D.2解析：解析：先求 ，再代入 因为 所以8.设 z=e x cosy，则 （分数：2.00）A.e x cosyB.e x cosyC.e x sinyD.e x siny 解析：解析：因为 =e x cosy，所以 9.同时抛掷两颗正六面体的骰子，则出现点数和等于 6 的概率为 ( ) （分数：2.00）
9、A.B.C. D.解析：解析：设事件 A 表示两骰子点数之和等于 6，因为同时抛掷两颗骰子所含基本事件共有 66=36 种，事件 A 所含基本事件共有 5 种，所以 P(A)=10.袋中有 5 个乒乓球，其中 4 个白球，1 个红球，从中任取 2 个球的不可能事件是 ( )（分数：2.00）A.2 个球都是白球B.2 个球都是红球 C.2 个球中至少有 1 个白球D.2 个球中至少有 1 个红球解析：解析：袋中只有 1 个红球，从中任取 2 个球都是红球是不可能发生的二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因
10、为 =e 2k =e 3 ，有 2k=-3，所以 k= 12.已知当 x0 时，ln(1 一 ax)与 x 是等价无穷小，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：13.函数 y=ln(arcsinx)的连续区间为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，1）解析：解析：函数 y=ln(arcsinx)的连续区间为它的定义区间，由 arcsinx0，解得 x(0，114.设 x n = ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：15.若 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）填
11、空项 1:_ （正确答案：正确答案：8f (a)）解析：解析：f(x)在 x=a 处可导， 16.函数 f(x)=2 2x 在 x=0 处的二阶导数 f (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2ln 3 2(ln2+1)）解析：解析：f (x)=2 2x ln22 x ln2=2 2xx ln 2 2， f (x)=2 2xx ln 3 2(2 x ln2+1)， f (0)=2 200 ln 3 2(2 0 ln2+1)=2ln 3 2(ln2+1)17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*lnx+C）解析：解析：原式=18.若f(x)d
12、x=e x +x+C，则cosxf(sinx1)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e sinx1 +sinx+C）解析：解析：cosxf(sinx 一 1)dx=f(sinx 一 1)d(sinx 一 1) =e sinx1 +sinx1+C 1 =e sinx1 +sinx+C19.设 x 是方程 x+yz=e z 所确定的 x 与 y 的函数，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 设 F(x，y，z)=x+yze z =0， 20.五人排成一行，甲、乙二人必须排在一起的概率 P= 1（分数：2.00）填空项
13、1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题的关键是将甲、乙二人看成一个整体与其他三人一起排列为 A 4 4 ，注意甲、乙二人的排列为 A 2 2 ，所以 P= 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 )解析：解析：含三角函数的极限式应优先考虑利用重要极限：22.已知 y=e x23x +arcsin （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解y =e x23x (2x 一 3) ， dy=e x23x )解析：解析：求函数的微分通常可先求 y ，再求 dy，也可直接求微分23.讨论函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答
14、案：(正确答案：解 因为在 x=2 处有 =0=f(2)， 所以 f(x)= 在 x=2 处连续 又因为f (2)= = = 故 f(x)= )解析：解析：由本题可以看出连续与可导的关系，即函数 y=f(x)在点 x 0 处连续，在 x 0 处不一定可导，但反之却是成立的，所以，连续是可导的必要条件，而不是充分条件24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 1 )解析：解析：先用换元法去根号，再积分25.甲、乙二人单独译出密码的概率分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 设 A=“甲译出密码”，B=“乙译出密码”，C=“密码被译出”，则 P(C)=P(AB) ，注意
15、到甲、乙破译密码是相互独立的，所以 P(C)=P(A)+P(B)P(A)P(B)= )解析：解析：本题的关键是正确理解密码被译出的事件是指甲译出密码或乙译出密码，即为两事件的和事件26.求抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x 一 4 所围图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 如图，取 y 为积分变量，联立方程 得交点纵坐标为 y 1 =一 2，y 2 =4，故所求面积为 S= 2 4 (y4)- dy = 2 4 =18 )解析：解析：求平面图形的面积关键是画出平面图形并确定积分变量和积分上、下限27.求函数 y=x 3 一 3x 2 一 1 的单调区间、极值及其曲线的凹凸
16、区间和拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 函数的定义域是(一，+) ， y =3x 2 一 6x=3x(x 一 2)， y =6x 一6=6(x 一 1)， 今 y =0，得 x 1 =0，x 2 =2，令 y =0，得 x 3 =1，列表如下， )解析：解析：这是导数应用的综合题，一般的解题步骤是： (1)先求函数定义域； (2)求 y 及驻点； (3)由 y 的符号确定函数单调增减区间及极值； (4)求 y 并确定 y 符号； (5)由 y 的符号确定凹凸区间，由 y =0 的点确定拐点28.一个袋子中有编号为 1，2，3，4，5 的 5 个球，从中任取 3 个球，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码，求随机变量 X 的分布列，并求 EX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 一次取 3 个球的最大号码只能是 3，4，5当 X 取 3 时其样本点数为 1(只能是1，2，3 一种)，而 X 取 4 和 5 时，其样本点数分别为 C 3 2 与 C 4 2 ，而样本空间中的样本点总数为 C 5 3 ，所以 P(x=3)= ，所以 x 的分布列为 则 EX= )解析：解析：本题考查的知识点是随机变量 X 的分布列的概念及数学期望计算，检查随机变量分布列正确与否的一个重要方法是：查看所求得分布列是否满足规范性
