1、专升本（高等数学二）-试卷 81 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列极限中，不正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.2.要使 f(x)=ln(12x) * 在 x=0 处连续，应补充 f(0)等于 ( )（分数：2.00）A.e 6B.一 6C.D.03.已知 f(x)在 x 0 处可导，且有 （分数：2.00）A.一 4B.一 2C.2D.44.设 f(x)=xlnx，则 f (n) (x)(n2)等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.函数 y=f(x)在点 x=x 0 处取得极小值，则必有 (
2、 )（分数：2.00）A.f (x 0 )0B.f (x 0 )=0C.f (x 0 )=0 且 f (x 0 )0D.f (x 0 )=0 或 f . (x 0 )不存在6.设函数 f(x)在a，b上连续，则下列结论不正确的是 ( )（分数：2.00）A. a b f(x)dx 是 f(x)的一个原函数B. a x f(t)dt 是 f(x)的一个原函数(axb)C. x b f(t)dt 是一 f(x)的一个原函数(axb)D.f(x)在a，b上是可积的7.下列定积分等于零的是 ( )（分数：2.00）A. 1 1 x 2 cosxdxB. 1 1 xsinxdxC. 1 1 (x+sin
3、x)dxD. 1 1 (x+sinx)dx8.定积分 1 2 x 3 f(x 2 )dx 等于 ( )（分数：2.00）A.B. 1 4 xf(x)dxC. 1 2 xf(x)dxD.xf(x)dx9.掷两粒骰子，出现点数之和为 5 的概率为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.甲、乙、丙三人独立地向目标射击一次，其命中率依次为 05，06，07，则目标被击中的概率是 ( )（分数：2.00）A.094B.092C.095D.09二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.函数 f(x
4、)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 y=f(x)是由方程 x 3 +y 3 一 sin3x+6y=0 所确定的隐函数，则 dy x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 x= 是 f(x)=asinx+ （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x)的 n 一 1 阶导数为 e * ，则 f (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 f(x)的一个原函数是 e sinx ，则xf (x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设事件 A，B 相互独立，且
5、 P(A)=P( )=a 一 1，P(A+B)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：20.00)21.求由方程 e xy +ylnx=cos2x 所确定的隐函数 y=f(x)的导数 y （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_24.计算 0 1 （分数：2.00）_25.计算 0 1 （分数：2.00）_26.设二元函数 z=arcsin(y )，求 （分数：2.00）_设平面图形是由曲线 y= （分数：4.00）(1).求此平面图形的面积 S（分数：2.00）_(2).求此平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转
6、体的体积 V x （分数：2.00）_盒中装着标有数字 1，2，3，4 的乒乓球各 2 个，从盒中任意取出 3 个球，求下列事件概率（分数：4.00）(1).A=取出的 3 个球上最大的数字是 4（分数：2.00）_(2).B=取出的 3 个球上的数字互不相同（分数：2.00）_专升本（高等数学二）-试卷 81 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列极限中，不正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：C 项中 不存在，2.要使 f(x)=ln(12x) * 在 x=0 处连续，应补充 f(0)等于 ( )（
7、分数：2.00）A.e 6B.一 6 C.D.0解析：解析： 3.已知 f(x)在 x 0 处可导，且有 （分数：2.00）A.一 4B.一 2 C.2D.4解析：解析： ， 4.设 f(x)=xlnx，则 f (n) (x)(n2)等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：f (x)=lnx1，f = ，f = ， f (4) (x)= ，f (n) (x)= 5.函数 y=f(x)在点 x=x 0 处取得极小值，则必有 ( )（分数：2.00）A.f (x 0 )0B.f (x 0 )=0C.f (x 0 )=0 且 f (x 0 )0D.f (x 0 )=0 或 f
8、. (x 0 )不存在 解析：解析：由于不知 x 0 是否为 f(x)的驻点，虽然 f(x)在 x=x 0 处取得极值，也不能选 A，B，C 根据函数 f(x)在 x 0 取得极值的必要条件：若 f(x)在 x 0 处可导，则 f (x 0 )=0，或 f(x)在 x 0 处不可导6.设函数 f(x)在a，b上连续，则下列结论不正确的是 ( )（分数：2.00）A. a b f(x)dx 是 f(x)的一个原函数 B. a x f(t)dt 是 f(x)的一个原函数(axb)C. x b f(t)dt 是一 f(x)的一个原函数(axb)D.f(x)在a，b上是可积的解析：解析：由于 a b
9、f(x)dx =0f(x)7.下列定积分等于零的是 ( )（分数：2.00）A. 1 1 x 2 cosxdxB. 1 1 xsinxdxC. 1 1 (x+sinx)dx D. 1 1 (x+sinx)dx解析：解析：由于 1 1 (x+sinx)dx 中被积函数为奇函数，所以 C 项定积分结果等于 08.定积分 1 2 x 3 f(x 2 )dx 等于 ( )（分数：2.00）A. B. 1 4 xf(x)dxC. 1 2 xf(x)dxD.xf(x)dx解析：解析：本题考查的知识点是定积分换元，在换元时，积分的上、下限一定要一起换因为 1 2 x 3 f(x 2 )dx= 1 2 x 2
10、 f(x 2 )d(x 2 ) f()d 9.掷两粒骰子，出现点数之和为 5 的概率为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：总的样本点为 66=36 个，点数之和为 5 的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共 4 个样本点，所求概率为10.甲、乙、丙三人独立地向目标射击一次，其命中率依次为 05，06，07，则目标被击中的概率是 ( )（分数：2.00）A.094 B.092C.095D.09解析：解析：设 A k 表示第 k 人击中目标(k=1，2，3)，目标被击中可表示为 A 1 +A 2 +A 3 ，已知 P(A 1 )=05，P(A 2 )=06，P(
11、A 3 )=07，且 A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立，所以 p(A 1 A 2 A 3 )= = 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 1 ）解析：解析： 12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 1 ）解析：解析： 13.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0，1)(1，3）解析：解析：在 x=1 处， ，在 x=1 处 f(x)不连续， 在 x=2 处，14.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解
12、析：15.设 y=f(x)是由方程 x 3 +y 3 一 sin3x+6y=0 所确定的隐函数，则 dy x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*dx）解析：解析：两边对 x 求导：3x 2 +3y 2 y 一 3cos3x+6y =0 y = 当 x=0 时，y=0因此 16.已知 x= 是 f(x)=asinx+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： f (x)=acosx+cos3x 代入， 即 17.设 f(x)的 n 一 1 阶导数为 e * ，则 f (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
13、案：*）解析：解析：f (n-1) (x) =f (n) (x)， 即 f (n) (x)= 18.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 ln2）解析：解析： =e a ， 0 e 2t dt= ， e a = ， a=ln 19.设 f(x)的一个原函数是 e sinx ，则xf (x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一(xcosx+1)e sinx C）解析：解析：本题考查的知识点是原函数的概念和分部积分法，根据原函数的概念，有 f(x)=(e sinx ) 或f(x)dx=e sinx +C 1 (C 1 为任意常数)，则有xf
14、 (x)dx=xdf(x)=xf(x)一f(x)dx =x(e -sinx ) 一 e -sinx +C(C=一 C 1 ) =一(xcosx+1)e -sinx +C20.设事件 A，B 相互独立，且 P(A)=P( )=a 一 1，P(A+B)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A)P(B)， 且 P(B)=1 一 P( )，则有 =a 一 1+2-a-(a 一 1)(2 一 a)， 即 9a 2 一 27a+20=0 (3a 一 4)(3a 一 5)=0， 解得
15、三、解答题(总题数：8，分数：20.00)21.求由方程 e xy +ylnx=cos2x 所确定的隐函数 y=f(x)的导数 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 两边对 x 求导 e xy (y+y )+y lnx+y =一 2sin2x， 解得 y = )解析：解析：将 y 看成为 x 的复合函数，然后将等式两边分别对 x 求导数，但是一定要注意：式中的 y(x)是x 的复合函数，必须用复合函数求导公式计算，最后再解出 y 22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 ， )解析：解析：求“23.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明
16、设 f(x)=2 3+ ， 则 f (x)= ， 当 x1 时，f (x)0，所以 f(x)单调增加， 则当 x1 时，f(x)f(1)=0， )解析：解析： 利用函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，其关键是构造一个函数，使其在某区间上单调增加或单调减少24.计算 0 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 令 x=tant，则 dx= dt，当 x=0 时，t=0；当 x=1 时，t= 注意到 tan 2 t+1= ，则有 )解析：解析： 本题考查的知识点是用换元法去根号计算定积分，三角代换 x=asint 和 x=atant 是大纲要求掌握的内容25.计算 0 1 （分数：2
17、.00）_正确答案：(正确答案：解 0 1 dx= 0 1 (1 一 )解析：解析：在无法直接积分的情况下，对被积函数进行变换因为 dx 是我们熟悉的，设法将被积函数改写为 1 一26.设二元函数 z=arcsin(y )，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 z=arcsin(y )， )解析：解析：求偏导时只需注意：对 x 求偏导时，y 看作常数；对 y 求偏导时，x 看作常数，再用一元函数的求导公式求解即可设平面图形是由曲线 y= （分数：4.00）(1).求此平面图形的面积 S（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 由曲线 y= 和 x+y=4 围成的图形如图阴影部分
18、所示， 求两条曲线的交点， 解方程 得交点(1，3)与(3，1)， 于是 S= 1 3 (4-x- )dx 一(4x )解析：(2).求此平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：V x = 1 3 (4 一 x) 2 一 dx= 1 3 (168x+x 2 一 )dx =(16x 一 4x 2 + ) 1 3 = )解析：解析： 首先画出草图，求出交点后，确定积分变量，利用面积公式、体积公式计算求得结果盒中装着标有数字 1，2，3，4 的乒乓球各 2 个，从盒中任意取出 3 个球，求下列事件概率（分数：4.00）(1).A=取出的 3 个球上最大的数字是 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 基本事件数有 C 8 3 种， 事件 A 中的基本事件为 C 2 1 C 6 2 +C 2 2 C 6 1 种，所以 P(A)= )解析：(2).B=取出的 3 个球上的数字互不相同（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：事件 B 中的基本事件数的计算可以分两步进行： 先从 1，2，3，4 的 4 个数中取出 3 个数的方法为 C 4 3 种，由于每一个数有 2 个球，再从取出的 3 个不同数字的球中各取一个球，共有C 2 1 C 2 1 C 2 1 种方法， 所以 P(B)= )解析：
