1、专升本（高等数学二）-试卷 80 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 f(x)= ，在 x=2 处连续，则 a= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.可微B.不连续C.无切线D.有切线，但该切线的斜率不存在3.函数 y=x 3 +12x+1 在定义域内 ( )（分数：2.00）A.单调增加B.单调减少C.图形是凹的D.图形是凸的4.设 f(x)=e x2 一 1，g(x)=x 2 ，则当 x0 时 ( )（分数：2.00）A.f(x)是比 g(x)高阶的无穷小B.f(x)
2、是比 g(x)低阶的无穷小C.f(x)是与 g(x)同阶的无穷小，但不是等价无穷小D.f(x)与 g(x)是等价无穷小5.设 z=e y21 sin(x 2 一 1)，则 （分数：2.00）A.一 2xye y21 cos(x 2 一 1)B.e y21 +e y21 sin(x 2 一 1)C.一 4xye y21 cos(x 2 一 1)D.4xye y21 cos(x 2 一 1)6.下列函数中，不是 e 2x 一 e 2x 的原函数的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.经过点(1，0)，且切线斜率为 3x 2 的曲线方程是 ( )（分数：2.00）A.y=x 3B.y=x
3、 3 1C.y=x 3 一 1D.y=x 3 +C8.设 f(x)= （分数：2.00）A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点9.下列各事件的关系式正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.用 A 表示事件“甲考核通过，乙考核不通过”，则其对立事件 （分数：2.00）A.“甲考核不通过，乙考核通过”B.“甲、乙考核都通过”C.“甲考核不通过”D.“甲考核不通过或乙考核通过”二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.若 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.
4、设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_15.若 dx= （分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 y=x 2 e x2 的水平渐近线为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 f(x)=lnx，则 1 2 f (e x )dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_18. 1 1 (1 一 x) （分数：2.00）填空项 1:_19.设 z=l+xy 一 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.某灯泡厂生产 25W 电灯泡，随机地抽取 7 个进行寿命检查，结果如下(单位：小时)：1487，1394，1507，1528，14
5、09，1587，1500，该产品的平均寿命估计是 1，该产品的寿命方差是 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.若 （分数：2.00）_22.若 f(x)存在二阶导数，求函数 y=f(lnx)的二阶导数（分数：2.00）_23.计算sin(ax)一 （分数：2.00）_24.求函数 y=x （分数：2.00）_25.计算 0 1 x 2 （分数：2.00）_26.z=x 3 f( )，其中 f 为可微函数，证明 （分数：2.00）_27.求函数 z=x 2 +y 2 xy 在条件 x+2y=7 下的极值（分数：2.00）_28.某工厂要
6、制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是 （分数：2.00）_专升本（高等数学二）-试卷 80 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 f(x)= ，在 x=2 处连续，则 a= ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析： 因为2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.可微B.不连续C.无切线D.有切线，但该切线的斜率不存在 解析：解析： 直接求出 y = 3.函数 y=x 3 +12x+1 在定义域内 ( )（分数：2.00）A.单调增加 B.单调减少C.图形是凹的D.图形是凸的解析：解析：函数的定义域为(一，+
7、)， 因为 y =3x 2 +120， 所以 y 单调增加，x(一，+) 又 y =6x， 当 x0 时，y 0，曲线是凹的；当 x0 时，y 0，曲线是凸的4.设 f(x)=e x2 一 1，g(x)=x 2 ，则当 x0 时 ( )（分数：2.00）A.f(x)是比 g(x)高阶的无穷小B.f(x)是比 g(x)低阶的无穷小C.f(x)是与 g(x)同阶的无穷小，但不是等价无穷小 D.f(x)与 g(x)是等价无穷小解析：解析：5.设 z=e y21 sin(x 2 一 1)，则 （分数：2.00）A.一 2xye y21 cos(x 2 一 1)B.e y21 +e y21 sin(x
8、2 一 1)C.一 4xye y21 cos(x 2 一 1)D.4xye y21 cos(x 2 一 1) 解析：解析：z=e y21 sin(x 2 1)， =2xe y21 cos(x 2 1)， 6.下列函数中，不是 e 2x 一 e 2x 的原函数的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：2(e 2x 一 e 2x ) =4(e 2x +e 2x )e 2x 一 e 2x 7.经过点(1，0)，且切线斜率为 3x 2 的曲线方程是 ( )（分数：2.00）A.y=x 3B.y=x 3 1C.y=x 3 一 1 D.y=x 3 +C解析：解析：因为 y =3x 2
9、，则 y=x 3 +C，又曲线过点(1，0)，得 C=一 1，故曲线方程为 y=x 3 一 18.设 f(x)= （分数：2.00）A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点 C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点解析：解析：f (x)=x 2 一 1，驻点为 x=1，f (x)=2x，f (1)=20 所以 x=1 为极小值点 又 9.下列各事件的关系式正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：A B 是指事件 A 发生一定导致 B 发生，其等价说法是：若事件 B 不发生，一定导致事件A 不发生，即若 ，选项 A，D 不成立是显然的对于 B
10、 项，一定要注意的是(A+B)一 A 是表示 A 与 B事件之和再与事件 A 的差，不是字母的加减法，根据差事件的定义有(A+B)一 A= ，则10.用 A 表示事件“甲考核通过，乙考核不通过”，则其对立事件 （分数：2.00）A.“甲考核不通过，乙考核通过”B.“甲、乙考核都通过”C.“甲考核不通过”D.“甲考核不通过或乙考核通过” 解析：解析：设 A 1 =“甲考核通过”，A 2 =“乙考核通过”二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
11、：1）解析：解析： 13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ab）解析：解析：由于14.函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y = ， y = 15.若 dx= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4 x）解析：解析：由 ， 根据不定积分定义可知，有 16.曲线 y=x 2 e x2 的水平渐近线为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=0）解析：解析：17.设函数 f(x)=lnx，则 1 2 f (e x )dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
12、：正确答案：e 1 e 2 ）解析：解析：本题考查的知识点是函数的概念及定积分的计算，因为 f (x)= ，则 f (e x )= 18. 1 1 (1 一 x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 1 1 (1x) dx= 1 1 dx 1 1 x dx= 1 1 dx0=2 0 1 dx=2 注 根据奇函数在对称区间上积分为零，所以 1 1 x dx=0； 由偶函数在对称区间上积分性质与定积分的几何意义得 1 1 19.设 z=l+xy 一 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ， 20.某灯泡厂生产 25W
13、电灯泡，随机地抽取 7 个进行寿命检查，结果如下(单位：小时)：1487，1394，1507，1528，1409，1587，1500，该产品的平均寿命估计是 1，该产品的寿命方差是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1487）填空项 1:_ （正确答案：3855）解析：解析： 随机抽取的 7 个数据构成一个样本，其平均值就是产品寿命的估计平均值为 根据样本方差的公式求出的产品寿命方差为 s 2 = (14871487) 2 +(13941487) 2 +(15071487) 2 +(15281487) 2 +(14091487) 2 +(15871487) 2 +(15
14、001487) 2 = (0+8649+400+1681+6084+10000+169) = 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 )解析：解析：由于是“22.若 f(x)存在二阶导数，求函数 y=f(lnx)的二阶导数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 y =f (1nx)(lnx) = ， y = = )解析：解析：这是抽象函数的求导问题，而 f(lnx)又是复合函数，所以应用复合函数的求导公式来计算23.计算sin(ax)一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 )解析：解析：虽有字母 a，b，但只有 x 才是
15、积分变量，将 a，b 看作常数，采用凑微分法即可24.求函数 y=x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 等式两边同时取对数得 lny=lnx+ ln(1 一 x)一 ln(1+x 2 )， 方程两边同时对 x 求导有 )解析：解析：对多个函数的连乘除求导数，用对数求导法可以减少计算量，在所给函数式两边分别取对数，再用隐函数求导方法求 y 注意在 y 表达式中不可保留 y，而应用 x 的函数式代替25.计算 0 1 x 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 设 x=sint，则 dx=costdt，当 x=0 时，t=0；x=1 时，t= ，所以 )解析：解析：因为式中有
16、形如 的无理式，则应设 x=asint；若有 时，则应设 x=atant；同理有26.z=x 3 f( )，其中 f 为可微函数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明 因为 ， )解析：解析：这是抽象的求偏导数的问题，只需注意：对 x 求偏导时，y 当作常数，对 y 求偏导时，x 当作常数，再用一元函数的求导公式即可27.求函数 z=x 2 +y 2 xy 在条件 x+2y=7 下的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 设 F(x，y，)=x 2 +y 2 一 xy+(x+2y 一 7)， 由与解得 5x=4y，代入得 x=2，y= ， 所以 )解析：解析：本题主要
17、考查二元函数的条件极值，通常先构造拉格朗日函数，再求解。28.某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 设池底半径为 r，池高为 h(如图所示)， 则 r 2 h= ，得 h=寿 又设制造成本为 S，则 S=30r 2 +202rh =30r 2 202r =30(r 2 + )， S =30(2r 一 ) 令 S =0，得驻点 r=1 因为 S =30(2+ )解析：解析：本题考查的知识点是应用导数求实际问题的极值所谓“成本最低”，即求制造成本函数在已知条件下的最小值，因此，本题的关键是正确写出制造成本函数的表达式，再利用已知条件将其化为一元函数，并求其极值
