1、专升本（高等数学一）模拟试卷 112 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.函数 （分数：2.00）A.连续且可导B.连续且不可导C.不连续D.不仅可导，导数也连续2.曲线 （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线3.，则 a 的值为 【 】 （分数：2.00）A.1B.1C.D.24.设 （分数：2.00）A.等价无穷小B.f(x)是比 g(x)高阶无穷小C.f(x)是比 g(x)低阶无穷小D.f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小5.已知 ，则 f(x) 【 】 （
2、分数：2.00）A.B.C.D.6.曲线 y=e x 与其过原点的切线及 y 轴所围面积为 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)=cosx，则 （分数：2.00）A.1B.0C.D.18.设 y=e x sinx，则 （分数：2.00）A.cosxe xB.sinxe xC.2e x (cosxsinx)D.2e x (sinxcosx)9.若级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.不能确定10.，则 f(x)= 【 】 （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2C.e x +ln2D.e 2x +ln2二、填空题(总题数：10，分数
3、：20.00)11.当 x=1 时，f(x)=x 3 +3px+q 取到极值(其中 q 为任意常数)，则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)是连续的奇函数，且 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 z=x y ，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 （分数：2.00）填空项 1:_17.当 p 1 时，反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_18.判断级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.ylnxdx+xlnydy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项
4、1:_20.y2y3y =0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.设函数 （分数：2.00）_22.如果 （分数：2.00）_23.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.求方程 （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27.设 2sin(x+2y3z)=x+2y3z，确定了函数 z=f(x，y)，求 （分数：2.00）_28.讨论曲线 （分数：2.00）_专升本（高等数学一）模拟试卷 112 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.0
5、0)1.函数 （分数：2.00）A.连续且可导B.连续且不可导 C.不连续D.不仅可导，导数也连续解析：解析：本题考查了函数在一点处的连续性和可导性的知识点因为 =0=f(0)，所以函数在 x=0处连续；又因2.曲线 （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线 解析：解析：本题考查了曲线的渐近线的知识点因 ，所以 y=1 为水平渐近线又因3.，则 a 的值为 【 】 （分数：2.00）A.1 B.1C.D.2解析：解析：本题考查了洛必达法则的知识点因为 x0 时分母极限为 0，只有分子极限也为 0，才有可能使分式极限为 6，故 (1+
6、x)(1+2x)(1+3x)+a=1+a=0，解得 a=1，4.设 （分数：2.00）A.等价无穷小B.f(x)是比 g(x)高阶无穷小C.f(x)是比 g(x)低阶无穷小D.f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小 解析：解析：本题考查了两个无穷小量阶的比较的知识点 由5.已知 ，则 f(x) 【 】 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查了已知积分函数求原函数的知识点因为 f( 2 )= ，所以 f(x)= 6.曲线 y=e x 与其过原点的切线及 y 轴所围面积为 【 】 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查了曲线围成的面积的知识点 设(x 0 ，y
7、 0 )为切点，则切线方程为 y=e x0 ，联立 7.设函数 f(x)=cosx，则 （分数：2.00）A.1B.0C.D.1 解析：解析：本题考查了一元函数在一点处的一阶导数的知识点f(x)=cosx，f(x)=sinx，8.设 y=e x sinx，则 （分数：2.00）A.cosxe xB.sinxe xC.2e x (cosxsinx) D.2e x (sinxcosx)解析：解析：本题考查了莱布尼茨公式的知识点 由莱布尼茨公式，得 9.若级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.不能确定解析：解析：本题考查了级数的绝对收敛的知识点由题意知，级数收敛半径 R2，则
8、 x=2 在收敛域内部，故其为绝对收敛10.，则 f(x)= 【 】 （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2 C.e x +ln2D.e 2x +ln2解析：解析：本题考查了一阶线性齐次方程的知识点因 f(x)=f(x)2，即 y=2y，此为常系数一阶线性齐次方程，其特征根为 r=2，所以其通解为 y=Ce 2x ，又当 x=0 时，f(0)=ln2，所以 C=ln2，故 f(x)=e 2x ln2 注：方程 y=2y 求解时也可用变量分离二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.当 x=1 时，f(x)=x 3 +3px+q 取到极值(其中 q 为任意常数)，则 p
9、= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：本题考查了函数的极值的知识点f(x)=3x 2 +3p=0，所以 p=112.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了分段函数的一阶导数的知识点 当 x0 时，f(x)=( 0 x tdt)=x， 当 x0 x (t)dt =x， 当 x=0 时， 同理 f (0)=0，所以 f(0)=0， 故 f(x)= 13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了由导函数求原函数的知识点 令 x 2 =t，则 f(t)= ，因此 14.
10、设 f(x)是连续的奇函数，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：本题考查了定积分的性质的知识点f(x)是奇函数，则 1 1 f(x)dx=0，因此 1 0 f(x)dx= 0 1 f(x)dx=115.设 z=x y ，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yx y1 dx+x y lnxdy）解析：解析：本题考查了二元函数的全微分的知识点z=x y ，则 =yx y1 ， 16.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 4 dx x2 4x f(x，y)dy）解析：解析：本题考查了交换积分次序的知
11、识点 的积分区域 D=(x，y)| 0y16， 17.当 p 1 时，反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：本题考查了反常积分的敛散性(比较判别法)的知识点 若 收敛，必有 p1 时， 发散，故 p18.判断级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：本题考查了级数的敛散性(比较判别法)的知识点 由19.ylnxdx+xlnydy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(lnx) 2 +(lny) 2 =C）解析：解析：本题考查了分离变量微分方程的通解的知识点 分离变量得 积分得
12、(lnx) 2 + 20.y2y3y =0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 3x）解析：解析：本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点由 y2y3y=0 的特征方程为 r 2 2r3=0，得特征根为 r 1 =3，r 2 =1，所以方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对数求导法 因 ，于是，两边取对数，有 lny= lncotx，两边对 x 求导，得 注：本题另解为复合函数求导法 )解析：22.如果 （分数：
13、2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知两边同时求导得， 2f(x)f(x)=f(x) ， 设 f(x)0，则 )解析：23.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 注：本题若从 )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 注：本题另解如下：令 x=2sint，dx=2costdt， )解析：25.求方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可分离变量，化为 两边积分得 通解为 )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： = 0 1 cosydy 0 1 ycosydy =siny| 0 1 (ysiny| 0 1 0 1 sinydy) =sin1(sin1+cosy| 0 1 ) =(cos11)=1cos1 注：本题若按另一种次序积分，即 )解析：27.设 2sin(x+2y3z)=x+2y3z，确定了函数 z=f(x，y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 2sin(x+2y3z) =x+2y3z 两边对 x 求导，则有 2cos(x+2y3z) ，注：本题另解如下： 记 F(x，y，z)=2sin(x+2y3z) x2y+3z， )解析：28.讨论曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
