1、专升本（高等数学一）-试卷 97 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 y=ax 2 +c 在区间(0，+)上单调增加，则 ( )（分数：2.00）A.a0 且 c=0B.a0 且 c 为任意实数C.a0 且 c0D.a0 且 c 为任意实数2.微分方程 y“+y=0 的通解为 ( )（分数：2.00）A.C 1 cosx+C 2 sin xB.(C 1 +C 2 x)e xC.(C 1 +C 2 x)e -xD.C 1 e -x +C 2 e x3.设 f(x)为连续函数，则积分 （分数：2.00）A.0B.1C.nD.4
2、.平面 x+2yz+3=0 与空间直线 （分数：2.00）A.互相垂直B.互相平行但直线不在平面上C.既不平行也不垂直D.直线在平面上5.设 axb，f(x)0，f“(x)0，则在区间(a，b)内曲线弧 y=f(x)的图形 ( )（分数：2.00）A.沿 x 轴正向下降且向上凹B.沿 x 轴正向下降且向下凹C.沿 x 轴正向上升且向上凹D.沿 x 轴正向上升且向下凹6.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)是比 g(x)高阶的无穷小B.f(x)是比 g(x)低阶的无穷小C.f(x)与 g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小D.f(x)与 g(x)是等价无穷小7.中心在(一 1，2，一
3、 2)且与 xOy 平面相切的球面方程是 ( )（分数：2.00）A.(x+1) 2 +(y 一 2) 2 +(z+2) 2 =4B.(x+1) 2 +(y 一 2) 2 +(z+2) 2 =2C.x 2 +y 2 +z 2 =4D.x 2 +y 2 +z 2 =28.函数 z=xy 在点(0，0)处 ( )（分数：2.00）A.有极大值B.有极小值C.不是驻点D.无极值9.已知曲线 y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线 xy+6=0，又 y=yy(x)满足微分方程(y“) 2 =1一(y) 2 ，则此曲线方程是 y= ( )（分数：2.00）A.一 sin xB.sin xC.co
4、s xD.一 cos x10.设 f(x，y)为连续，二次积分 0 2 dx x 2 f(x，y)dy 交换积分次序后等于 ( )（分数：2.00）A. 0 2 dy 0 y f(x，y)dxB. 0 1 dy 0 y f(x，y)dxC. 0 2 dy y 2 f(x，y)dxD. 0 2 dy 0 2 f(x，y)dx二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.若 （分数：2.00）填空项 1:_12.要使 y=arcsinau(a0)，u=2+x 2 能构成复合函数，则 a 取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.已
5、知由方程 x 2 +y 2 =e 确定函数 y=y(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知f(x)dx=2 x +sinx+C，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 f(2)=1， 0 2 f(x)dx=1，则 0 2 xf(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.过原点且与平面 2xy+3z+5=0 平行的平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_18.函数 f(x，y)=x 3 +y 3 一 9xy+27 的极小值点是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 x(y) 2 一 2xy+
6、x=0 的阶数是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21. （分数：2.00）_22.试证：当 x0 时，有不等式 xsin x （分数：2.00）_23.已知直线 L： （分数：2.00）_24.已知 f()=1，且 0 f(x)+f“(x)sin xdx=3，求 f(0)（分数：2.00）_25.设 f(x，y)=cos(x 2 y)，求 （分数：2.00）_26.求函数 y=x 3 一 3x 2 一 9x+1 的极值（分数：2.00）_27.将函数 f(x)=ln(1+x 一 2x 2 )展开为 x 0 =0 的幂级数（分数：2.00）_28.设
7、 f(x)为连续函数，且满足 f(x)=x 0 x f(t)dt 0 x tf(t)dt+x 3 ，试求 f(x)（分数：2.00）_专升本（高等数学一）-试卷 97 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数 y=ax 2 +c 在区间(0，+)上单调增加，则 ( )（分数：2.00）A.a0 且 c=0B.a0 且 c 为任意实数 C.a0 且 c0D.a0 且 c 为任意实数解析：解析：由题设有 y=2ax，则在(0，+)上 2ax0所以必有 a0 且 c 为任意实数故选 B.2.微分方程 y“+y=0 的通解为 ( )（分数
8、：2.00）A.C 1 cosx+C 2 sin x B.(C 1 +C 2 x)e xC.(C 1 +C 2 x)e -xD.C 1 e -x +C 2 e x解析：解析：由题意得微分方程的特征方程为 r 2 +1=0，故 r=i 为共轭复根，于是通解为 y=C 1 cos x+C 2 sin x3.设 f(x)为连续函数，则积分 （分数：2.00）A.0 B.1C.nD.解析：解析：4.平面 x+2yz+3=0 与空间直线 （分数：2.00）A.互相垂直B.互相平行但直线不在平面上C.既不平行也不垂直D.直线在平面上 解析：解析：平面 ：x+2yz+3=0 的法向量 n=1，2，一 1，
9、5.设 axb，f(x)0，f“(x)0，则在区间(a，b)内曲线弧 y=f(x)的图形 ( )（分数：2.00）A.沿 x 轴正向下降且向上凹B.沿 x 轴正向下降且向下凹 C.沿 x 轴正向上升且向上凹D.沿 x 轴正向上升且向下凹解析：解析：当 axb 时，f(x)0，因此曲线弧 y=f(x)在(a，b)内下降由于在(a，b)内 f“(x)0，因此曲线弧 y=f(x)在(a，b)内下凹故选 B6.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)是比 g(x)高阶的无穷小B.f(x)是比 g(x)低阶的无穷小C.f(x)与 g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小 D.f(x)与 g(x)是
10、等价无穷小解析：解析：7.中心在(一 1，2，一 2)且与 xOy 平面相切的球面方程是 ( )（分数：2.00）A.(x+1) 2 +(y 一 2) 2 +(z+2) 2 =4 B.(x+1) 2 +(y 一 2) 2 +(z+2) 2 =2C.x 2 +y 2 +z 2 =4D.x 2 +y 2 +z 2 =2解析：解析：已知球心为(-1，2，一 2)，则代入球面标准方程为(x+1) 2 +(y 一 2) 2 +(z+2) 2 =r 2 又与 xOy 平面相切，则 r=2故选 A8.函数 z=xy 在点(0，0)处 ( )（分数：2.00）A.有极大值B.有极小值C.不是驻点D.无极值 解
11、析：解析：由 z=xy 得 9.已知曲线 y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线 xy+6=0，又 y=yy(x)满足微分方程(y“) 2 =1一(y) 2 ，则此曲线方程是 y= ( )（分数：2.00）A.一 sin xB.sin x C.cos xD.一 cos x解析：解析：要选函数根据题设应满足三个条件：(1)y(0)=0，(2)在原点处斜率 k=1，(3)代入(y“) 2 =1一(y) 2 应成立故逐个验证后应选 B。10.设 f(x，y)为连续，二次积分 0 2 dx x 2 f(x，y)dy 交换积分次序后等于 ( )（分数：2.00）A. 0 2 dy 0 y f(x
12、，y)dx B. 0 1 dy 0 y f(x，y)dxC. 0 2 dy y 2 f(x，y)dxD. 0 2 dy 0 2 f(x，y)dx解析：解析：积分区域 D 可以表示为 0x2，xy2，其图形如图中阴影部分所示交换积分次序，D也可以表示为 0y2，0xy，因此 0 2 dx x 2 f(x，y)dy= 0 2 dy 0 y f(x，y)dx，故选 A. 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：这是检查第二类重要极限的题因为 12.要使 y=arcsinau(a0)，u=2+x 2 能构成复合函数，
13、则 a 取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为由常见函数 y=arcsinQ(x)，这里的|Q(x)|1，一 1Q(x)1，即一1au1，0a(2+x 2 )1，有 02aa(2+x 2 )1，得 又由 a0 可知 a 的取值范围为 0a 13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 可知当 f(x)在 x=0 处连续时，必有14.已知由方程 x 2 +y 2 =e 确定函数 y=y(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：此题是隐函数求导数的题且同
14、时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数 .具体解法是：在 x 2 +y 2 =e 两侧关于 x 求导数，得 2x+2yy=0，y= 15.已知f(x)dx=2 x +sinx+C，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 x ln2+cos x）解析：解析：这是求原函数的题，等式右侧的导数应该为 f(x)即 f(x)=(2 x +sin x+C)=2 x ln2+cos x16.设 f(2)=1， 0 2 f(x)dx=1，则 0 2 xf(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由分部积分公式有： 0 2 x
15、f(x)dx= 0 2 xdf(x)=xf(x)| 0 2 0 2 f(x)dx=2f(2)一 0 2 f(x)dx=211=117.过原点且与平面 2xy+3z+5=0 平行的平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2xy+3z=0）解析：解析：已知平面 1 ：2x 一 y+3z+5=0 的法向量 n 1 =2，一 1，3所求平面 1 ，则平面 的法向量 nn 1 ，可以取 n=n 1 =2，一 1，3由于所求平面过原点，由平面的点法式方程，得2xy+3z=0 为所求平面方程18.函数 f(x，y)=x 3 +y 3 一 9xy+27 的极小值点是 1（分数：2
16、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(3，3)）解析：解析：这是二元函数求极值的题令 解得驻点为(3，3)，(0，0)f“ xx =6x，f“ xy =一9，f“ yy =6y.当 时，A=f xx “(3，3)=18，B=f“ xy (3，3)=一 9，C=f“ yy (3，3)=18，B 2 一AC0，且 A=180，所以在(3，3)处 f(x，y)取得极小值；当 19.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：|a|1）解析：20.微分方程 x(y) 2 一 2xy+x=0 的阶数是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：三、解
17、答题(总题数：8，分数：16.00)21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 x=t 2 ，dx=2tdt 当 x=1 时，t=1；当 x=4 时，t=2 )解析：22.试证：当 x0 时，有不等式 xsin x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先证 xsin x(x0) 设 f(x)=xsin x，则 f(x)=1 一 cos x0(x0)， 所以 f(x)为单调递增函数，于是对 x0 有 f(x)f(0)=0， 即 xsin x0，亦即 xsin x(x0)g(x)=cosx-1+x 则 g“(x)=-sinx+10 所以 g(x)单调递增，又 g(0)=0，可
18、知 g(x)g(0)=0(x0)，那么有 g(x)单调递增又 g(0)=0，可知 g(x)g(0)=0(x0)， 综上可得：当 x0 时，xsin x )解析：23.已知直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要使直线 L 在平面 上，只要直线 L 平行于平面 ，且有一点在平面 上即可 直线 L 的方向向量为 s=2，一 1，m，平面丌的法线向量为 n=一 n，2，一 1，由直线平行于平面丌得 s.n=0， 即 一 2n 一 2 一 m=0 又点 P(1，一 2，一 1)为直线 L 上的点，把此点的坐标代入平面 的方程得 一 n4+1+4=0 )解析：24.已知 f()=1，且
19、0 f(x)+f“(x)sin xdx=3，求 f(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 f(x)+f“(x)sin xdx= 0 f(x)sin xdx+ 0 f“(x)sin xdx， 而 0 f“(x)sinxdx= 0 sinxdf(x) =sin x.f(x)| 0 一 0 f(x)cos xdx =一 0 cos xdf(x) =一 f(x)cos x| 0 0 f(x)sin xdx =f()+f(0)一 0 f(x)sin xdx， 所以 0 f(x)+f“(x)sin xdx=f()+f(0)=3 又 f()=1，所以 f(0)=2)解析：25.设 f(x，
20、y)=cos(x 2 y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求函数 y=x 3 一 3x 2 一 9x+1 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 y=x 3 一 3x 2 一 9x+1 的定义域为(一+)y=3x 2 一 6x 一 9，令y=0，得驻点 x 1 =一 1，x 2 =3，y“=6x 一 6，y“(一 1)0，y“(3)0，故 f(一 1)=6 为极大值，f(3)=一 26 为极小值)解析：27.将函数 f(x)=ln(1+x 一 2x 2 )展开为 x 0 =0 的幂级数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1+x 一 2x
21、 2 =(1+2x)(1 一 x)， 所以 ln(1+x 一 2x 2 )=ln(1+2x)+ln(1 一x) )解析：28.设 f(x)为连续函数，且满足 f(x)=x 0 x f(t)dt 0 x tf(t)dt+x 3 ，试求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由所给关系式两边求导，得 f(x)= 0 x f(t)dt+xf(x)一 xf(x)+3x 2 = 0 x f(t)dt+3x 2 ， 上式再次求导，得 f“(x)=f(x)+6x， 即 f“(x)一 f(x)=6x， 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，对应齐次方程为 f“(x)一 f(x)=0， 其特征方程为 2 一 1=0，有两个根 1 =1， 2 =一1 于是齐次方程的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e -x (C 1 ，C 2 为任意常数) 由于 =0 不是特征根，设 f“(x)=Ax+B， 把它代入所给方程，得一 AxB=6x， 比较同次幂系数，得 A=一 6，B=0， 于是求得一特解为 f*(x)=一 6x， 故所给方程 f“(x)一 f(x)=6x 的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e -x 一 6x(C 1 ，C 2 为任意常数) 又由题设及 f(x)表达式，知 f(0)=0，f(0)=0，从而得 )解析：
