1、专升本（高等数学一）-试卷 96 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列命题中正确的有 ( )（分数：2.00）A.若 x 0 为 f(x)的极值点，则必有 f(x 0 )=0B.若 f(x 0 )=0，则 x 0 必为 f(x)的极值点C.若 x 0 为 f(x)的极值点，可能 f(x 0 )不存在D.若 f(x)在(a，b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值2.当 x0 时， （分数：2.00）A.是较 1-cos x 高阶的无穷小量B.是较 1-cos x 低阶的无穷小量C.与 I-cos x 是同阶无穷小
2、量，但不是等价无穷小量D.与 1-cos x 是等价无穷小量3.设有直线 （分数：2.00）A.过原点且垂直于 x 轴B.过原点且垂直于 y 轴C.过原点且垂直于 z 轴D.不过原点也不垂直于坐标轴4.设函数 f(x)=sinx，则不定积分f(x)dx= ( )（分数：2.00）A.sinx+CB.cosx+CC.一 sin x+CD.一 cosx+C5.若 收敛，则下面命题正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.一 2B.2C.D.7.设 f(x)在a，b上连续，(a，b)内可导，则 ( )（分数：2.00）A.至少存在一点 (a，b
3、)，使 f()=0B.当 (a，b)时，必有 f()=0C.至少存在一点 (a，b)，使得D.当 (a，b)时，必有8.交换二次积分次序： 0 1 dx 0 x f(x，y)dy= ( )（分数：2.00）A. 0 x dx 0 1 f(x，y)dyB. 0 1 dy 0 x f(x，y)dxC. 0 1 dy y 1 f(x，y)dxD. 0 1 f(x，y)dy 0 x dx9.设 F(x)是 f(x)在a，b上的一个原函数，则 f(x)在a，b上的不定积分为 ( )（分数：2.00）A.B.F(x)+|C|C.F(x)+sin CD.F(x)+ln C(C0)10.极限 （分数：2.00
4、）A.一 1B.0C.1D.2二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)=e sinx ，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_14.y“+8y=0 的特征方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.若 f(e x )=1+e 2x ，且 f(0)=1，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 f(0)=1，f(1)=2，f(1)=3，则 0 1 xf“(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.空间直角坐标系中方程 x 2 +y 2 =9
5、 表示的曲线是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.直线 l： （分数：2.00）填空项 1:_19.设 z=x 2 y+sin y，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 0 1 f(x)dx=，则 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.当 x时，f(x)与 为等价无穷小量，求 （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 f(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，求 f(x)（分数：2.00）_24.欲围一个面积为 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是
6、每平方米 6 元，其余三面是每平方米 3 元问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少?（分数：2.00）_25.已知 f(x)连续，证明 0 x f(t)(x-t)dt= 0 x 0 t f(u)dudt.（分数：2.00）_26.已知直线 l： （分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.求 y“一 2y一 3y=e x 的通解（分数：2.00）_专升本（高等数学一）-试卷 96 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.下列命题中正确的有 ( )（分数：2.00）A.若 x 0 为 f(x)的极值点，则必有 f(x
7、0 )=0B.若 f(x 0 )=0，则 x 0 必为 f(x)的极值点C.若 x 0 为 f(x)的极值点，可能 f(x 0 )不存在 D.若 f(x)在(a，b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值解析：解析：极值的必要条件：设 y=f(x)在点 x 0 处可导，且 x 0 为 f(x)的极值点，则 f(x 0 )=0，但反之不一定成立故选 C.2.当 x0 时， （分数：2.00）A.是较 1-cos x 高阶的无穷小量B.是较 1-cos x 低阶的无穷小量 C.与 I-cos x 是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D.与 1-cos x 是等价无穷小量解析：解析：因为3
8、.设有直线 （分数：2.00）A.过原点且垂直于 x 轴B.过原点且垂直于 y 轴 C.过原点且垂直于 z 轴D.不过原点也不垂直于坐标轴解析：解析：将原点坐标(0,0，0)代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量s=1，0，一 2，而 y 轴正方向上的单位向量 i=0，1，0，s.i=10+01+(一 2)0=0因此 si，即所给直线与 y 轴垂直故选 B.4.设函数 f(x)=sinx，则不定积分f(x)dx= ( )（分数：2.00）A.sinx+C B.cosx+CC.一 sin x+CD.一 cosx+C解析：解析：由不定积分的性质“先求导后积分，相差一个常数”可知选
9、项 A 正确5.若 收敛，则下面命题正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：6.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.一 2 B.2C.D.解析：解析：f(x)在 x=0 处连续，所以7.设 f(x)在a，b上连续，(a，b)内可导，则 ( )（分数：2.00）A.至少存在一点 (a，b)，使 f()=0B.当 (a，b)时，必有 f()=0C.至少存在一点 (a，b)，使得 D.当 (a，b)时，必有解析：解析：本题考查了拉格朗日中值定理的条件及结论8.交换二次积分次序： 0 1 dx 0 x f(x，y)dy= ( )（分数：2.00）A. 0 x dx 0
10、1 f(x，y)dyB. 0 1 dy 0 x f(x，y)dxC. 0 1 dy y 1 f(x，y)dx D. 0 1 f(x，y)dy 0 x dx解析：解析：由所给积分限可知积分区域 D 可以表示为：0x1，0yx， 其图形如图所示交换积分次序可得 0 1 dx 0 x f(x，y)dy= 0 1 dy y 1 f(x，y)dx故选 C 9.设 F(x)是 f(x)在a，b上的一个原函数，则 f(x)在a，b上的不定积分为 ( )（分数：2.00）A.B.F(x)+|C|C.F(x)+sin CD.F(x)+ln C(C0) 解析：解析：f(x)dx=F(x)+C，这里的 C 是任意实
11、数故选 D.10.极限 （分数：2.00）A.一 1B.0C.1 D.2解析：解析：二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：所给幂级数为不缺项情形， 可知 =1，因此收敛半径12.设 f(x)=e sinx ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：由 f(x)=e sinx ，则 f(x)=cox xe sinx 再根据导数定义有 13.已知当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：14.y“+8y=0 的特征方程是
12、1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r 2 +8r=0）解析：解析：本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念y“+8y=0 的特征方程为 r 2 +8r=015.若 f(e x )=1+e 2x ，且 f(0)=1，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 f(e x )=1+e 2x ，则等式两边对 e x 积分有 16.已知 f(0)=1，f(1)=2，f(1)=3，则 0 1 xf“(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设有 0 1 xf“(x)
13、dx= 0 1 xdf(x)=xf(x)| 0 1 一 0 1 f(x)dx=f(1)一 f(x)| 0 1 =f(1)一 f(1)+f(0)=32+1=217.空间直角坐标系中方程 x 2 +y 2 =9 表示的曲线是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：以 Oz 为轴的圆柱面）解析：解析：方程 F(x，y)=0 表示母线平行于 Oz 轴的柱面，称之为柱面方程方程 x 2 +y 2 一 3 2 =0表示母线平行 Oz 轴的圆柱面方程18.直线 l： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2，1，2）解析：解析：直线 l 的方向向量为19.设 z=x
14、 2 y+sin y，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x）解析：解析：由于 z=x 2 y+sin y，可知 20.已知 0 1 f(x)dx=，则 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2）解析：解析：因为 0 1 f(x)dx=，所以 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)dy= 0 1 f(x)dx 0 1 f(y)dy =( 0 1 f(x)dx) 2 = 2三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.当 x时，f(x)与 为等价无穷小量，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
15、由于当 x时，f(x)与 为等价无穷小量，因此 )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(cos 2 x)=sin 2 x=1 一 cos 2 x，所以 f(x)=1 一 x， f(x)=f(x)dx=(1-x)dx= 又因为 f(0)=0，所以 C=0，f(x)= )解析：24.欲围一个面积为 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米 6 元，其余三面是每平方米 3 元问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少?（分数
16、：2.00）_正确答案：(正确答案：设所围场地正面长为 x，另一边为 y，则 xy=150从而 y= 设四面围墙高度相同，都是 h，则四面围墙所使用的材料总费用为 f(x)=6xh+3(2yh)+3xh 令 f(x)=0，得驻点 x 1 =10，x 2 =一 10(舍去) )解析：25.已知 f(x)连续，证明 0 x f(t)(x-t)dt= 0 x 0 t f(u)dudt.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：右边= 0 x 0 t f(u)dudt=t 0 t f(u)du| 0 x 一 0 x tf(t)dt=x 0 x f(u)du- 0 x tf(t)dt=x 0 x f(t
17、)dt 一 0 x tf(t)dt= 0 x xf(t)dt- 0 x tf(t)dt= 0 x (x一 t)f(t)dt=左边)解析：26.已知直线 l： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，直线 l 的方向向量 s=3，4，一 7必定平行于所求平面丌的法向量n，因此可取 n=s=3，4，一 7 利用平面的点法式方程可知 3x 一(一 2)+4(y 一 9)一 7(z 一 5)=0， 即 3(x+2)+4(y 一 9)一 7(z 一 5)=0 为所求平面方程 或写为一般式方程：3x+4y 一 7z+5=0)解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给函数的定义域为(一，+)， 令 y=0，得驻点 x 1 =一 2，x 2 =0当 x=一 1 时，y不存在 在 x=一 1 处 y“不存在，当 x一 1 时，y“0 列表分析 )解析：28.求 y“一 2y一 3y=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：其对应的齐次方程的特征方程为 r 2 一 2r 一 3=0，特征根为 r 1 =一 1，r 2 =3，相应齐次方程的通解为 Y=C 1 e -x +C 2 e 3x 设方程的特解为 y*=Ae x ，代入 y“一 2y一 3y=e x ， 原方程的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 3x 一 )解析：
