1、专升本（高等数学一）-试卷 95 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设 f(0)=0，且 f(0)存在，则 （分数：2.00）A.f(0)B.2f(0)C.f(0)D.2.设有直线 l 1 : （分数：2.00）A.1B.0C.D.一 13.设 0 x f(t)dt=xsinx，则 f(x)= ( )（分数：2.00）A.sin x+xcos xB.sin xxcos xC.xcos xsin xD.一(sin x+xcosx)4.设 f(x)=sin2x，则 f(0)= ( )（分数：2.00）A.一 2B.一 1C.0D.2
2、5.设 z=x y +y， （分数：2.00）A.e+1B.C.2D.16.设函数 f(x)在区间x，1上可导，且 f(x)0，则 ( )（分数：2.00）A.f(1)f(0)B.f(1)f(0)C.f(1)=f(0)D.f(1)与 f(0)的值不能比较7.曲线 y=x -3 在点(1，1)处的切线斜率为 ( )（分数：2.00）A.一 1B.一 2C.一 3D.一 48.方程 x 2 +2y 2 一 z 2 =0 表示的二次曲面是 ( )（分数：2.00）A.椭球面B.锥面C.旋转抛物面D.柱面9.设 y 1 ，y 2 为二阶线性常系数微分方程 y“+p 1 y+p 2 y=0 的两个特解，
3、则 C 1 y 1 +C 2 y 2 ( )（分数：2.00）A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解10.设 u n av n (n=1，2，)(a0)，且 （分数：2.00）A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与 a 有关D.上述三个结论都不正确二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12.比较积分大小： 1 2 ln xdx 1 1 2 (ln x) 3 dx（分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 z=y 2x ，则 （分数：2.00）填空
4、项 1:_15.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 y“+y+y=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_18.过点 M 0 (1，一 2，0)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_19.级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.设二元函数 z=ln(x+y 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.求函数 （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.求
5、由曲线 y=2 一 x 2 ，y=x(x0)与直线 x=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积（分数：2.00）_25.将 f(x)= （分数：2.00）_26.计算 ，其中 D 如图所示，由 y=x，y=1 与 y 轴围成 （分数：2.00）_27.证明方程 3x 一 1 一 （分数：2.00）_28.设 f(x)=x 3 +1 一 x 0 x f(t)dt+ 0 x tf(t)dt，其中 f(x)为连续函数，求 f(x)（分数：2.00）_专升本（高等数学一）-试卷 95 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设
6、 f(0)=0，且 f(0)存在，则 （分数：2.00）A.f(0)B.2f(0) C.f(0)D.解析：解析：此极限属于 型，可用洛必达法则，即2.设有直线 l 1 : （分数：2.00）A.1B.0C. D.一 1解析：解析：本题考查的知识点为直线间的关系直线 其方向向量分别为 s 1 =1，2，s 2 =2，4，一 1又 l 1 l 2 ，则 3.设 0 x f(t)dt=xsinx，则 f(x)= ( )（分数：2.00）A.sin x+xcos x B.sin xxcos xC.xcos xsin xD.一(sin x+xcosx)解析：解析：在 0 x f(t)dt=xsin x
7、两侧关于 x 求导数，有 f(x)=sin x+xcos x故选 A4.设 f(x)=sin2x，则 f(0)= ( )（分数：2.00）A.一 2B.一 1C.0D.2 解析：解析：由 f(x)=sin2x 可得 f(x)=cos2x.(2x)=2cos2x，f(0)=2cos0=2故选 D5.设 z=x y +y， （分数：2.00）A.e+1 B.C.2D.1解析：解析：因为6.设函数 f(x)在区间x，1上可导，且 f(x)0，则 ( )（分数：2.00）A.f(1)f(0) B.f(1)f(0)C.f(1)=f(0)D.f(1)与 f(0)的值不能比较解析：解析：由 f(x)0 说明
8、 f(x)在0，1上是增函数，因为 10，所以 f(1)f(0)故选 A7.曲线 y=x -3 在点(1，1)处的切线斜率为 ( )（分数：2.00）A.一 1B.一 2C.一 3 D.一 4解析：解析：由导数的几何意义知，若 y=f(x)可导，则曲线在点(x 0 ，f(x 0 )处必定存在切线，且该切线的斜率为 f(x 0 )由于 y=x -3 ，y=一 3x -4 ，y| x=1 =一 3，可知曲线 y=x -3 在点(1，1)处的切线斜率为一 3故选 C8.方程 x 2 +2y 2 一 z 2 =0 表示的二次曲面是 ( )（分数：2.00）A.椭球面B.锥面 C.旋转抛物面D.柱面解析
9、：解析：对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面故选 B9.设 y 1 ，y 2 为二阶线性常系数微分方程 y“+p 1 y+p 2 y=0 的两个特解，则 C 1 y 1 +C 2 y 2 ( )（分数：2.00）A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解 C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解解析：解析：如果 y 1 ，y 2 这两个特解是线性无关的，即 10.设 u n av n (n=1，2，)(a0)，且 （分数：2.00）A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与 a 有关D.上述三个结论都不正确 解析：解析：由正项级数的比较判定法知，若 u n v n ，则当
10、 发散时，则 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由于所给极限为 型极限，由极限的四则运算法则有12.比较积分大小： 1 2 ln xdx 1 1 2 (ln x) 3 dx（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：因为在1，2上 ln x(ln x) 3 ，所以 1 2 ln xdx 1 2 (ln x) 3 dx13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 z=y 2x ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
11、：2xy 2x-1）解析：解析： 只需将 x 看作常数，因此 y 2x 可看作是幂函数，故 15.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 所以 y 在0，2上单调递减于是 y max =y| x=0 = 16.微分方程 y“+y+y=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：征方程为 r 2 +r+1=0，解得： 17.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=f(1)）解析：解析：因为曲线 y=f(x)在(
12、1，f(1)处的切线平行于 x 轴，所以 y(1)=0，即斜率 k=0，则此处的切线方程为 y-f(1)=0(x-1)=0，即 y=f(1)18.过点 M 0 (1，一 2，0)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3(x 一 1)一(y+2)+z=0(或 3xy+z=5)）解析：解析：因为直线的方向向量 s=3，一 1，1，且平面与直线垂直，所以平面的法向量 n=3，一1，1由点法式方程有平面方程为：3(x 一 1)一(y+2)+(z 一 0)=0，即 3(x 一 1)一(y+2)+z=019.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，3
13、)）解析：解析：20.设二元函数 z=ln(x+y 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：dx）解析：解析：由于 函数 z=ln(x+y 2 )的定义域为 x+y 2 0在 z 的定义域内 为连续函数，因此 dz 存在，且 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用洛必达法则： )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，可知 y=2 为水平渐近线； 由 )解析：24.求由曲线 y=2 一 x 2 ，y=x(x0)与直线 x
14、=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由平面图形 axb，0yy(x)所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积为 V x = a b y 2 (x)dx 画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为0x1，0y2 一 x 2 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积减去 0x1，0yx所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积 V= 0 1 (2 一 x 2 ) 2 -x 2 dx= 0 1 (45x 2 +x 4 )dx )解析：25.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给
15、 f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于 )解析：26.计算 ，其中 D 如图所示，由 y=x，y=1 与 y 轴围成 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.证明方程 3x 一 1 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= 则 f(x)在区间0，1上连续 根据连续函数的介值定理，函数 f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点，即所给方程在(0，1)内至少有一个实根 又 ，当0x1 时，f(x)0 因此，f(x)在0，1上单调增加，由此知 f(x)在区间(0，1)内至多有一个零点 综上可知，方程 )解析：28.设 f(x)=x 3 +1 一 x 0 x
16、f(t)dt+ 0 x tf(t)dt，其中 f(x)为连续函数，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将所给表达式两端关于 x 求导，得 f(x)=3x 2 一 0 x f(t)dt-xf(x)+xf(x)=3x 2 一 0 x f(t)dt， 两端关于 x 再次求导，得 f“(x)=6x 一 f(x) 即 f“(x)+f(x)=6x 将此方程认作为二阶常系数非齐次线性微分方程，相应的齐次微分方程的特征方程为 r 2 +1=0 特征根为 r 1 =i，r 2 =-i 齐次方程的通解为 C 1 cos x+C 2 sin x 设非齐次方程的一个特解为 f 0 (x)由于 =0 不为特征根，可设 f 0 (x)=Ax，将 f 0 (x)代入上述非齐次微分方程可得 A=6因此 f 0 (x)=6x非齐次方程的通解为 f(x)=C 1 cosx+C 2 sin x+6x 由初始条件 f(0)=1，f(0)=0，可得出 C 1 =1，C 2 =一 6 故 f(x)=cosx 一 6sin x+6x 为所求函数)解析：
