1、专升本（高等数学一）-试卷 94 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.极限 （分数：2.00）A.0B.C.1D.22.下列关系式正确的是 ( )（分数：2.00）A.df(x)dx=f(x)+CB.f(x)dx=f(x)C.D.3. （分数：2.00）A.一 2B.一 1C.0D.14.方程 z=x 2 +y 2 表示的二次曲面是 ( )（分数：2.00）A.椭球面B.柱面C.圆锥面D.抛物面5.若 D 为 x 2 +y 2 1 所确定的区域，则 （分数：2.00）A.2B.C.4D.86.已知导函数 y=ktan2x 的一个原
2、函数为 ，则 k= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 a 有关8.设 f(x 0 )=1，则 （分数：2.00）A.2B.1C.D.09.函数 y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内 ( )（分数：2.00）A.单调增加且上凹B.单调增加且下凹C.单调减少且上凹D.单调减少且下凹10.设 f(x)为连续函数，则 （分数：2.00）A.f(b)=f(a)B.f(b)C.一 f(a)D.0二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.函数 （分数：2.
3、00）填空项 1:_12.设 y=(1+x 2 )arctan x，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)在 x=1 处连续， （分数：2.00）填空项 1:_14.极限 （分数：2.00）填空项 1:_15.(x 2 一 1)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设 z=x 3 y 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设区域 D：x 2 +y 2 a 2 (a0)，y0，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 y=f(x)在点 x 0 处可导，且在点 x 0 处取得极小值，则曲线 y=f(x)在点(x
4、 0 ，f(x 0 )处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21. （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 f(x)=e 3x ，求 （分数：2.00）_24.试证：|arctan barctan a|ba|（分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.设 z=f(u，v)，而 u=x 2 y，v= 其中 f(u，v)存在偏导数，求 （分数：2.00）_27.判定级数 （分数：2.00）_28.求 y“+6y+13y=0 的通解（分数：2.00）_专升本（高等数学一
5、）-试卷 94 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.极限 （分数：2.00）A.0 B.C.1D.2解析：解析：注意所给极限为 x，它不是重要极限的形式，由于 即当 x时， 为无穷小量而 sin2x 为有界函数，利用无穷小量性质可知2.下列关系式正确的是 ( )（分数：2.00）A.df(x)dx=f(x)+CB.f(x)dx=f(x)C. D.解析：解析：A，df(x)dx=f(x)dx；B，f(x)dx=f(x)+C；C3. （分数：2.00）A.一 2B.一 1C.0 D.1解析：解析：因为被积函数 是奇函数，所以在对称区间内
6、4.方程 z=x 2 +y 2 表示的二次曲面是 ( )（分数：2.00）A.椭球面B.柱面C.圆锥面D.抛物面 解析：解析：要熟记主要的几个二次曲面的方程表达式，根据旋转抛物面的方程知本题应选 D5.若 D 为 x 2 +y 2 1 所确定的区域，则 （分数：2.00）A.2B. C.4D.8解析：解析：因为 D：x 2 +y 2 1，所以此圆的面积 S D =1 2 =， 6.已知导函数 y=ktan2x 的一个原函数为 ，则 k= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题意 所以有7.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.收敛性与 a 有关解析
7、：解析：因为原级数为 的 p 级数，收敛所以级数8.设 f(x 0 )=1，则 （分数：2.00）A.2 B.1C.D.0解析：解析：由 f(x 0 )=1 可知应考虑将 化为导数定义的等价形式 9.函数 y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内 ( )（分数：2.00）A.单调增加且上凹B.单调增加且下凹 C.单调减少且上凹D.单调减少且下凹解析：解析：因为 f(x)0，所以函数 f(x)在区间(a，b)内是单调增加的,又 f“(x)0，所以函数 f(x)是下凹的，即曲线 f(x)在(a，b)内是单调增加且下凹故选 B10.设 f(
8、x)为连续函数，则 （分数：2.00）A.f(b)=f(a)B.f(b)C.一 f(a)D.0 解析：解析：由于 f(x)为连续函数，可知 a b f(x)dx 存在，它表示一个确定的常数值，因此 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由拉格朗日中值定理有12.设 y=(1+x 2 )arctan x，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1+2xarctan x）解析：解析：因为 y=(1+x 2 )arctan x，所以 y=2xarctan x+(1+x 2 ). 13
9、.设 f(x)在 x=1 处连续， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由连续函数的充要条件知 f(x)在 x 0 处连续，则 14.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为所求极限中的 x 的变化趋势是趋近于无穷，因此它不是重要极限的形式，由于 为无穷小量而 cos x 一 1 为有界函数利用无穷小量性质知15.(x 2 一 1)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(x 2 1)dx=x 2 dx 一dx= 16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
10、：2xsinx 4）解析：解析：17.设 z=x 3 y 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12dx+4dy）解析：解析：由 z=x 3 y 2 ,得 ，故 dz=3x 2 y 2 dx+2x 3 ydy， 18.设区域 D：x 2 +y 2 a 2 (a0)，y0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 d 0 a r 3 cos 2 dr）解析：解析：因为 D：x 2 +y 2 a 2 (a0)，y0，所以令 且 0ra，00，则 19.设 y=f(x)在点 x 0 处可导，且在点 x 0 处取得极小值，则曲线 y=f(x)在点(x
11、 0 ，f(x 0 )处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=f(x 0 )）解析：解析：y=f(x)在点 x 0 处可导，且 y=f(x)有极小值 f(x 0 )，这意味着 x 0 为 f(x)的极小值点由极值的必要条件可知，必有 f(x 0 )=0，因此曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线方程为 y一 f(x 0 )=f(x 0 )(xx 0 )=0，即 y=f(x 0 )为所求切线方程20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为级数为 所以用比值判别法有三、解答题(总题数：8，分数：1
12、6.00)21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=x 2 ，则 f(x 2 )=f(u)由于 )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=t 2 ，dx=2tdt 当 x=4 时，t=2；当 x=9 时，t=3 则有 )解析：23.设 f(x)=e 3x ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=3e 3x ， f(ln x)=3e 3lnx =3x 3 ， )解析：24.试证：|arctan barctan a|ba|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系因此可以设 y=f
13、(x)=arctan x，不妨设 ab则 y=arctan x 在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导进而可知，y=arctan x 在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，因此必定存在点 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f()(b-a)由于 )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：采用极坐标，则 D 可表示为 0 ，0r2sin ， )解析：26.设 z=f(u，v)，而 u=x 2 y，v= 其中 f(u，v)存在偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数的链式法则有 由于所给 z=f(u，v)为抽象函数，而 于是)解析：27.判定级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给级数是任意项级数，不是交错级数由于 又由于 的 p 级数,因而收敛由正项级数的比较判别法可知 )解析：28.求 y“+6y+13y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 r 2 +6r+13=0，故 r=一 32i 为共轭复根， 于是通解为 y=e -3x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)解析：
