1、专升本（高等数学一）-试卷 93 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设 f(x)=arctan x，则 （分数：2.00）A.1B.一 1C.D.2.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 （分数：2.00）A.arctanx+CB.arccot x+CC.D.4.设 z=ln(x 2 +y)，则 （分数：2.00）A.B.C.D.5.已知 f(cos x)=sin x，则 f(cos x)= ( )（分数：2.00）A.一 cos x+CB.cos x+CC.D.6. （分数
2、：2.00）A.B.C.D.7.在空间直角坐标系中，表示圆柱面的方程是 ( )（分数：2.00）A.x 2 +y 2 一 z 2 =0B.x 2 +y 2 =4C.x=y 2D.x 2 +y 2 +z 2 =18.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，x0，y0，则在极坐标系下，二重积分 可表示为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.下列级数中，条件收敛的级数是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.微分方程 y“+2y+y=0 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=(C 1 +C 2 x)e xB.y=(C 1 +C 2 x)e -xC.y=(C 1 +C 2
3、 )e -xD.y=(C 1 +C 2 )e x二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14. -1 1 xcosx 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知平面 ：2x+y 一 3z+2=0，则过原点且与 垂直的直线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设区域 D：x 2 +y 2 a 2 ，x0，则直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积
4、分，有 （分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_20.设区域 D 由曲线 y=x 2 ，y=x 围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21. （分数：2.00）_22.计算sin3xdx（分数：2.00）_23.将边长为 a 的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图所示的阴影部分)，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖正三棱柱盒子问当图中的 x 取何值时，该盒子的容积最大?并求出最大容积 （分数：2.00）_24.求过点 M 0 (0，2，4)，且与两个平面 1 ， 2 都平行的直线方程，其中 1 ：x+
5、y 一 2z 一1=0， 2 ：x+2yz+1=0（分数：2.00）_25.设 x 2 +y 2 +z 2 一 4z=0，求 （分数：2.00）_26.计算二重积分 （分数：2.00）_27.求椭圆 （分数：2.00）_28.求微分方程 xy+y=e x 满足初始条件 y| x=1 =e 的特解（分数：2.00）_专升本（高等数学一）-试卷 93 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设 f(x)=arctan x，则 （分数：2.00）A.1B.一 1C. D.解析：解析：因为 f(x)=(arctan x)= 再由导数定义知2.下
6、列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：注意罗尔定理有三个条件：(1)f(x)在a,b上连续；(2)f(x)在(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b)逐一检查三个条件即可为了简便起见先检查 f(a)=f(b)故选 A.3.设 （分数：2.00）A.arctanx+C B.arccot x+CC.D.解析：解析：4.设 z=ln(x 2 +y)，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：5.已知 f(cos x)=sin x，则 f(cos x)= ( )（分数：2.00）A.一 cos x+CB.cos x+CC. D.解析：
7、解析：已知 f(cos x)=sin x，在此式两侧对 cos x 求积分，得 f(cos x)d(cos x)=sinxd(cos x)，6. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：本题考查定积分的运算7.在空间直角坐标系中，表示圆柱面的方程是 ( )（分数：2.00）A.x 2 +y 2 一 z 2 =0B.x 2 +y 2 =4 C.x=y 2D.x 2 +y 2 +z 2 =1解析：解析：方程 F(x，y)=0 表示母线平行于 Oz 轴的柱面，称之为柱面方程方程 x 2 +y 2 一 a 2 =0表示母线平行 Oz 轴的圆柱面方程同理，F(y，z)=0 及 F(x，z)=0
8、都表示柱面，它们的母线分别平行于Ox 轴及 Oy 轴故选 B8.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，x0，y0，则在极坐标系下，二重积分 可表示为 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为区域 D：x 2 +y 2 1，x0，y0，令 有 0r1，0 则 9.下列级数中，条件收敛的级数是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：10.微分方程 y“+2y+y=0 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=(C 1 +C 2 x)e xB.y=(C 1 +C 2 x)e -x C.y=(C 1 +C 2 )e -xD.y=(C 1 +C 2 )e x
9、解析：解析：微分方程的特征方程为 r 2 +2r+1=0，解得 r=一 1，为二重根，由通解公式可知其通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -x 故选 B二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14. -1 1 xcosx 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于积分区间-1，1关于原点对称，被积函数
10、 xcosx 2 为奇函数，因此 -1 1 xcosx 2 dx=015.已知平面 ：2x+y 一 3z+2=0，则过原点且与 垂直的直线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知平面 ：2x+y 一 3z+2=0其法向量 n=2，1一 3又知直线与平面 垂直，则直线的方向向量为 s=2，1，-3，所以直线方程为16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17.设 f(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由导数定义有18.设区域 D：x 2 +y 2 a 2 ，x0
11、，则直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分，有 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 D：x 2 +y 2 a 2 ，x0，令 则 r 2 a 2 ，0ra， 19.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由一阶线性微分方程的通解公式有20.设区域 D 由曲线 y=x 2 ，y=x 围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 D：y=x 2 ，y=x， 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
12、22.计算sin3xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t=3x，则 dt=3dx )解析：23.将边长为 a 的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图所示的阴影部分)，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖正三棱柱盒子问当图中的 x 取何值时，该盒子的容积最大?并求出最大容积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：正三棱柱盒子的高为 正三棱柱盒子的底面积为 正三棱柱盒子的容积为令 V(x)=0，得驻点 由所给问题的实际意义知 为最大值点，所以 x= 时容积最大，最大容积为 )解析：24.求过点 M 0 (0，2，4)，且与两个平面 1 ， 2 都平行的直线方程，其中 1 ：x+y
13、 一 2z 一1=0， 2 ：x+2yz+1=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果直线 l 平行于 1 ，则平面 1 的法线向量 n 1 必定垂直于直线 l 的方向向量 s同理，直线 l 平行于 2 ，则平面 2 的法线向量 n 2 必定满足 n 2 s由向量积的定义可知，取 由于直线 l 过点 M 0 (0，2，4)，由直线的标准方程可知 )解析：25.设 x 2 +y 2 +z 2 一 4z=0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 一 4z，则 )解析：26.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作出
14、积分区域 D 的草图，如图所示，则积分区域可以不用不等式 0xy 2 +1，0y1 表示，故 )解析：27.求椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：椭圆关于两坐标轴都对称，所以椭圆所围成的图形面积 A=4A 1 ，其中 A 1 为该椭圆在第一象限的曲线与两坐标轴所围成图形面积，所以 A=4A 1 =4 0 a ydx 令 x=acos t，则dx=一 asin tdt，且当 x=0 时， 当 x=a 时，t=0，则 )解析：28.求微分方程 xy+y=e x 满足初始条件 y| x=1 =e 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给方程为一阶线性微分方程，将其化为标准方程 将初始条件 y| x=1 =e代入上式，可得 C=0，故 )解析：
