1、专升本（高等数学一）-试卷 91 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.若 x 0 为 f(x)的极值点，则 ( )（分数：2.00）A.f(x 0 )必定存在，且 f(x 0 )=0B.f(x 0 )必定存在，但 f(x 0 )不一定等于零C.f(x 0 )可能不存在D.f(x 0 )必定不存在2.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线 y=f(x)的所有切线中 ( )（分数：2.00）A.至少有一条平行于 x 轴B.至少有一条平行于 y 轴C.没有一条平行于 x 轴D.可能有
2、一条平行于 y 轴3.设 f(x)在点 x 0 处连续，则下面命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.可能不存在B.C.D.f(x)在点 x 0 处一定可导4.由点 A(x 1 ，y 1 ，z 1 )，B(x 2 ，y 2 ，z 2 )确定向量 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2D.36.幂级数 在点 x=3 处收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 a n 有关7.设 y=lnx，则 y“= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.曲线 y=xe -x 的拐点是 ( )（分数：2.
3、00）A.(2，2e -2 )B.(0，0)C.(1，e -1 )D.(2，e -2 )9.设函数 f(x)=e 2x ，则不定积分 （分数：2.00）A.2e x +CB.e x +CC.2e 2x +CD.e 2x +C10.设 f(x+y，xy)= 则 f(x，y)= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12.设 sin x 为 f(x)的原函数，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.则 y= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.x(x 2 5) 4 dx= 1（分数：2.0
4、0）填空项 1:_15.如果函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f(b)一 f(a)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 z=sin(x 2 y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.二元函数 z=x 2 +3xy+y 2 +2x，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.交换二重积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 (x)= 0 x ln(1+t)dt，则 “(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 y=x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)
5、21.求证：当 x0 时，e x 1+x（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 (x)=一 2+ -1 x (t 2 -1)dt，试求 (x)的极值（分数：2.00）_24.设 y=y(x)满足 （分数：2.00）_25.已知平面 1 ：kx 一 2y+3z-2=0 与平面 2 ：3x-2y-z+5=0 垂直，试求参数 k 的值（分数：2.00）_26.要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料已知下底面材料每平方厘米的价格为 3 元，侧面材料每平方厘米的价格为 1 元问该容积的底面半径 r 与高h 各为多少时，造这个容器所用的材
6、料费用最少?（分数：2.00）_27.设平面薄片的方程可以表示为 x 2 +y 2 R 2 ，x0，薄片上点(x，y)处的密度 (x，y)= （分数：2.00）_28.设函数 f(x)在一 a，a(a0)上连续，证明 -a a f(x)dx= 0 a f(x)+f(-x)dx（分数：2.00）_专升本（高等数学一）-试卷 91 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.若 x 0 为 f(x)的极值点，则 ( )（分数：2.00）A.f(x 0 )必定存在，且 f(x 0 )=0B.f(x 0 )必定存在，但 f(x 0 )不一定等于零C
7、.f(x 0 )可能不存在 D.f(x 0 )必定不存在解析：解析：虽然 x 0 为 f(x)的极值点，但在此点处导数可能存在也可能不存在故选 C.2.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线 y=f(x)的所有切线中 ( )（分数：2.00）A.至少有一条平行于 x 轴 B.至少有一条平行于 y 轴C.没有一条平行于 x 轴D.可能有一条平行于 y 轴解析：解析：所设条件正好是罗尔定理的条件，则由罗尔定理的结论可知应选 A3.设 f(x)在点 x 0 处连续，则下面命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.可能不存在B.C. D.f(x)在
8、点 x 0 处一定可导解析：解析：由连续函数定义可知：f(x)在 x 0 处连续应有 4.由点 A(x 1 ，y 1 ，z 1 )，B(x 2 ，y 2 ，z 2 )确定向量 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由 A(x 1 ，y 1 ，z 1 )，B(x 2 ，y 2 ，z 2 )，可知 =x 2 一 x 1 ，y 2 y 1 ，z 2 一 z 1 ，则 5.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：本题主要是讨论没有定义的点因为 x=0，x=1 处没有定义，所以在 x=0 和 x=1 处间断故选 C6.幂级数 在点 x=3 处收敛，则级
9、数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.收敛性与 a n 有关解析：解析：因为 在 x=3 处收敛，即 ，所以由常数级数中几何级数7.设 y=lnx，则 y“= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：y=ln x，8.曲线 y=xe -x 的拐点是 ( )（分数：2.00）A.(2，2e -2 ) B.(0，0)C.(1，e -1 )D.(2，e -2 )解析：解析：y=xe -x ，y=e -x xe -x ，y“=一 e -x e -x +xe -x =e -x (x 一 2)，令 y“=0 得 x=2因为在 x=2 左侧 y“0，在 x=2 右侧 y
10、“0，所以 x=2，y=2e -2 为拐点故选 A9.设函数 f(x)=e 2x ，则不定积分 （分数：2.00）A.2e x +CB.e x +C C.2e 2x +CD.e 2x +C解析：解析：f(x)=e 2x ，令 10.设 f(x+y，xy)= 则 f(x，y)= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：f(x+y，xy)= 令 x+y=u，xy=v，则有 f(u，v)=二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：12.设 sin x 为 f(x)的原函数，则 f(x)= 1（分数：
11、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 sin x）解析：解析：因为 sin x 为 f(x)的一个原函数，所以 f(x)=(sin x)=cos x，f(x)=一 sinx13.则 y= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.x(x 2 5) 4 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.如果函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f(b)一 f(a)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f()(b-a)）解析：解析：由
12、题目条件可知函数 f(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理的条件，因此必定存在一点(a，b)，使 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)16.设 z=sin(x 2 y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 cos(x 2 y)）解析：解析：设 u=x 2 y，则 z=sinu，因此 17.二元函数 z=x 2 +3xy+y 2 +2x，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因为 z=x 2 +3xy+y 2 +2x， 18.交换二重积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：19.设
13、 (x)= 0 x ln(1+t)dt，则 “(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用变上限积分公式( 0 t f(t)dt)=f(x)，则 (x)=ln(1+x)，“(x)= 20.微分方程 y=x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查可分离变量的微分方程分离变量得 dy=xdx，两端分别积分，dy=xdx,y=三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.求证：当 x0 时，e x 1+x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作辅助函数 f(t)=e t ，则 f(t)在区间0，x上
14、满足拉格朗日中值定理的条件，于是 f(x)一 f(0)=f()(x 一 0)(0x)， e x 一 1=e x(0x) 又当 0x 时，1e e x ，故有 e x 一 1=e x1.x=x，即 e x 1+x(x0)解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 (x)=一 2+ -1 x (t 2 -1)dt，试求 (x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 (x)=x 2 一 1=0，得 x=一 1 或 x=1 又 “(x)=2x，且 “(一 1)=一20，”(1)=20， 故当 x=一 1 时，(x)取极大值 (一 1)=一 2+ -1 1 (
15、t 2 一 1)dt=一 2； 当x=1 时，(x)取极小值 (1)=一 2+ -1 1 (t 2 一 1)dt= )解析：24.设 y=y(x)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于当x0 时， 为无穷小，可知 ln y=arctan x+C 1 ， y=Ce arctanx )解析：25.已知平面 1 ：kx 一 2y+3z-2=0 与平面 2 ：3x-2y-z+5=0 垂直，试求参数 k 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：平面 1 ， 2 的法向量分别为 n 1 =k，一 2，3，n 2 =3，一 2，一 1，由题设知，n 1 与 n 2 垂直，于是有 n 1
16、.n 2 =0，即 3k+(一 2).(一 2)+3.(一 1)=0， 解得 )解析：26.要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料已知下底面材料每平方厘米的价格为 3 元，侧面材料每平方厘米的价格为 1 元问该容积的底面半径 r 与高h 各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 S 为材料费用函数，则 S=2rh+r 2 +3r 2 ，且满足条件 r 2 h=32， 令 S(r)=0，得驻点 r=2 因 S“(2)=240，且驻点唯一，所以 r=2 为 s(r)的最小值点， 此时 )解析：27.设平
17、面薄片的方程可以表示为 x 2 +y 2 R 2 ，x0，薄片上点(x，y)处的密度 (x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题设 由于区域 D 关于 x 轴对称， 为 x，的偶函数，记 D 在 x 轴上方的部分为 D 1 ，则 )解析：28.设函数 f(x)在一 a，a(a0)上连续，证明 -a a f(x)dx= 0 a f(x)+f(-x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： -a a f(x)dx= -a 0 f(x)dx+ 0 a f(x)dx 对于 -a 0 f(x)dx，令 x=一t，则 -a 0 f(x)dx=一 a 0 f(-t)dt = 0 a f(-t)dt= 0 a f(-x)dx 所以 -a a f(x)dx= 0 a f(一 x)dx+ 0 a f(x)dx = 0 a f(-x)+f(x)dx)解析：
