1、专升本高等数学(二)分类模拟 41 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：9.00)1.设 ，则 f(x，y)等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.2.设 ，则 等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.3.设 z=sin 2 (ax+by)，则 （分数：1.00）A.B.C.D.4.设 ，则 dz 等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.5.设 F(x，y)=xy+2lnx+3lny-1=0，则 y“等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.6.已知 f(xy，x-y)=x 2
2、 +y 2 ，则 （分数：1.00）A.2+2yB.2-2yC.2x+2yD.2x-2y7.下列各事件的关系式正确的是_ A B(A+B)-A=B C D （分数：1.00）A.B.C.D.8.下列说法正确的是_ A若 A，B 为对立事件，则 B若 P(AB)=0，则 P(A)=0 或 P(B)=0 C若 A 与 B 互不相容，则 P(A)=1-P(B) D若 A 与 B 互斥，则 （分数：1.00）A.B.C.D.9.在 10 个乒乓球中，有 8 个白球，2 个黄球从中任意抽取 3 个的必然事件是_（分数：1.00）A.“三个都是白球”B.“三个都是黄球”C.“至少有一个黄球”D.“至少有一
3、个白球”二、填空题(总题数：14，分数：14.00)10.设 z=(1+x) y ，则 （分数：1.00）11.设 （分数：1.00）12.设 （分数：1.00）13.设 z=xy+x 3 ，则 （分数：1.00）14.设 z=f(x，y)由方程 yz+x 2 +z=0 所确定，则 dz= 1 （分数：1.00）15.设由方程(x 2 +y 2 +z 3 ) 2 -xyz=0 确定 z=f(x，y)，则 （分数：1.00）16.设 x+y+z-e -(x+y+z) =0，x+y+z0，则 （分数：1.00）17.设 z=ln(xy+lny)，则 （分数：1.00）18.设 （分数：1.00）1
4、9.设 z=cos(x 2 +y 2 )，则 （分数：1.00）20.函数 z=2xy-3x 2 -3y 2 +20 的极 1 值是 2 （分数：1.00）21.设 x+y+z-e -(x+y+z) =0，x+y+z0，则 （分数：1.00）22.设事件 A，B 满足 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(B|A)=0.5，则 P(A+B)= 1 （分数：1.00）23.若事件 A，B 为对立事件，且 P(A)0，则 P(B|A)= 1 （分数：1.00）三、解答题(总题数：15，分数：77.00)求下列函数的定义域，并画出图形（分数：13.50）(1). （分数：4.50）_(2). （分
5、数：4.50）_(3). （分数：4.50）_24.设 f(x，y)=x(x+y 2 )，求 f(x+y，xy) （分数：4.50）_25.设 f(x+y，x-y)=x(x+y 2 )，求 f(x，y) （分数：4.50）_26.求 z=3x 2 +5xy+y 3 在点(0，2)的偏导数 （分数：4.50）_27.求 （分数：4.50）_28.求 （分数：4.50）_29.求 z=(x 2 +y 2 ) xy 的偏导数 （分数：4.50）_30.设 （分数：4.50）_31.设 （分数：4.50）_32.设 （分数：4.50）_33.求 （分数：4.50）_34.求由 （分数：4.50）_35
6、.设由方程 xy+yz+zx=2 确定函数 z=f(x，y)，求 （分数：4.50）_36.设 z=f(x，y)是由 F(x+mz，y+nz)=0 确定，其中 F 是可微函数，m，n 是常数，mF“ 1 +nF“ 2 0，F“ 1 表示 F 对 x+mz 求偏导数，F“ 2 表示 F 对 y+nz 求偏导数，求 （分数：4.50）_37.设方程 x 2 z+y+2y 2 z 2 =0 确定函数 z=f(x，y)，求 dz （分数：5.00）_专升本高等数学(二)分类模拟 41 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：9.00)1.设 ，则 f(x，y)
7、等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：2.设 ，则 等于_ A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：3.设 z=sin 2 (ax+by)，则 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：4.设 ，则 dz 等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：5.设 F(x，y)=xy+2lnx+3lny-1=0，则 y“等于_ A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：6.已知 f(xy，x-y)=x 2 +y 2 ，则 （分数：1.00）A.2+2y B.2-2yC.2x+2yD.2x-2y解析：解析 因 f(xy，
8、x-y)=x 2 +y 2 =(x-y) 2 +2xy，设 u=xy，v=x-y，则 f(u，v)=v 2 +2u，即f(x，y)=2x+y 2 由此得 7.下列各事件的关系式正确的是_ A B(A+B)-A=B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：8.下列说法正确的是_ A若 A，B 为对立事件，则 B若 P(AB)=0，则 P(A)=0 或 P(B)=0 C若 A 与 B 互不相容，则 P(A)=1-P(B) D若 A 与 B 互斥，则 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：9.在 10 个乒乓球中，有 8 个白球，2 个黄球从中任意抽取 3 个的必然事件是_（分数：1.
9、00）A.“三个都是白球”B.“三个都是黄球”C.“至少有一个黄球”D.“至少有一个白球” 解析：二、填空题(总题数：14，分数：14.00)10.设 z=(1+x) y ，则 （分数：1.00）解析：1+21n211.设 （分数：1.00）解析：12.设 （分数：1.00）解析：13.设 z=xy+x 3 ，则 （分数：1.00）解析：x+y+3x 214.设 z=f(x，y)由方程 yz+x 2 +z=0 所确定，则 dz= 1 （分数：1.00）解析：15.设由方程(x 2 +y 2 +z 3 ) 2 -xyz=0 确定 z=f(x，y)，则 （分数：1.00）解析：16.设 x+y+z
10、-e -(x+y+z) =0，x+y+z0，则 （分数：1.00）解析：17.设 z=ln(xy+lny)，则 （分数：1.00）解析：18.设 （分数：1.00）解析：19.设 z=cos(x 2 +y 2 )，则 （分数：1.00）解析：-2xsin(x 2 +y 2 )20.函数 z=2xy-3x 2 -3y 2 +20 的极 1 值是 2 （分数：1.00）解析：大 20 解析 由 21.设 x+y+z-e -(x+y+z) =0，x+y+z0，则 （分数：1.00）解析：0解析 由22.设事件 A，B 满足 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(B|A)=0.5，则 P(A+B)=
11、 1 （分数：1.00）解析：0.523.若事件 A，B 为对立事件，且 P(A)0，则 P(B|A)= 1 （分数：1.00）解析：0三、解答题(总题数：15，分数：77.00)求下列函数的定义域，并画出图形（分数：13.50）(1). （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 由 ，得 y 2 x，再由 x0，得所求函数的定义域 D=(x，y)|y 2 x0 D 是一个无界闭区域(如图) (2). （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 在 ，y0 在 arccos(1-y)中，由-11-y1 0y2 所求定义域 D=(x，y)|-y 2 xy 2 ，0y2 D 是一个有界区域(如图
12、)，注意 D 不含(0，0)点 (3). （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 注意到 x0 及 1+xy0，所求定义域为 D=(x，y)|xy-1，x0 D 是一个无界区域(如图)，D 不含 y 轴及 xy=-1 24.设 f(x，y)=x(x+y 2 )，求 f(x+y，xy) （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 函数的要素之一是对应法则，而用什么字母表示是不重要的，因此，所给函数关系可表示为 f(u，v)=u(u+v 2 ) 令 u=x+y，v=xy，代入上式得 f(x+y，xy)=(x+y)(x+y+x 2 y 2 )25.设 f(x+y，x-y)=x(x+y 2 )，求
13、 f(x，y) （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 设 代入所给函数，则 再将 u，v 换为 x，y，得 26.求 z=3x 2 +5xy+y 3 在点(0，2)的偏导数 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 27.求 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 1 下面给出一种方法，它可以化简本题的计算 设 z=f(x，y)的一阶偏导数存在，则 证明是简单的，从略 上述结果表明，求 f(x，y)在(a，b)关于 x 的偏导数值时，可先将 y=b 代入得 f(x，b)，再对 x 求导数后，代入 x=a 即可对 y 的情形类似这在实际计算中，可使求偏导数的工作量减少对本题，我们有
14、解 2 设 28.求 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 29.求 z=(x 2 +y 2 ) xy 的偏导数 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 1 将函数变形 z=e xyln(x2+y2) ，把 y 看作常数， 又因 x 与 y 轮换对称，在上式中，将 x 换为 y，y 换为 x，可得 解 2 引入中间变量，设 u=x 2 +y 2 ，v=xy，则 z=u v 是 x 与 y 的复合函数，由复合函数求导法 解 3 用全微分不变性求解： dz=d(u v )=vu v-1 du+u v lnudv 其中 du=d(x 2 +y 2 )=2xdx+2ydy dv=d(xy)=
15、ydx+xdy 故 因全微分形式不变性 将上面两个 dz 比较即得 解 4 由 z=u v ，取对数得 lnz=vlnu，再利用隐函数求导法，得 类似可得 30.设 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 1 解 2 将 u 和 v 代入 z，得 ，对 x 求导即得 31.设 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 32.设 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 1 把 x 和 y 分别看作常数 解 2 33.求 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 对该例，注意到 34.求由 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 1 直接利用公式，如隐函数 y=f(x)由方程 F(
16、x，y)=0 所确定，则 设 故 解 2 在方程的两端求 y 关于 x 的导数，视 y 为 x 的函数，利用复合函数求导法则求导，解出 整理得 解 3 利用全微分形式不变性，当求出全微分时，同时求出了偏导数 两端微分，得 整理即得 35.设由方程 xy+yz+zx=2 确定函数 z=f(x，y)，求 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 1 设 F(x，y，z)=xy+yz+zx-2=0， 则 F“ x =y+z，F“ y =x+z，F“ z =y+x 故 解 2 在方程的两端求 z 关于 x 的偏导数， 故 类似可由 36.设 z=f(x，y)是由 F(x+mz，y+nz)=0 确定，
17、其中 F 是可微函数，m，n 是常数，mF“ 1 +nF“ 2 0，F“ 1 表示 F 对 x+mz 求偏导数，F“ 2 表示 F 对 y+nz 求偏导数，求 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 1 F“ x =F“ 1 ，F“ y =F“ 2 ，F“ z =mF“ 1 +nF“ 2 ， 由隐函数求偏导数公式，有 故 解 2 37.设方程 x 2 z+y+2y 2 z 2 =0 确定函数 z=f(x，y)，求 dz （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 1 两端微分，得 d(x 2 z)+dy+d(2y 2 z 2 )=2xzdx+x 2 dz+dy+4yz 2 dy+4y 2 zdz=0 由此解出 解 2 对 x，y 分别求偏导数，得 故由全微分公式，
