1、专升本高等数学(二)分类模拟 34 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：4.00)1.在-1，1上满足罗尔中值定理的所有条件的函数 f(x)是_ A3 x Bln|x| Cx 2 -1 D （分数：0.50）A.B.C.D.2.设 y=e x 在0，1满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的 等于_（分数：0.50）A.e-1B.e+1C.ln(e-1)D.ln(e+1)3.函数 y=x-arctanx 在(-，+)内是_（分数：0.50）A.单调增加B.单调减少C.不单调D.不连续4.函数 y=3x 2 -x 3（分数：0.50）A.有极大值 0
2、 和极小值 4B.有极大值 4 和极小值 1C.有极小值 0 和极大值 4D.有极小值 4 和极大值 15.以下结论正确的是_（分数：0.50）A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点B.若 x0 是函数 f(x)的驻点，则 x0 必为 f(x)的极值点C.若函数 f(x)在点 x0 处有极值，且 f“(x0)存在，则必有 f“(x0)=0D.若函数 f(x)在点 x0 处连续，则 f“(x0)一定存在6.函数 y=e -x 在定义域内是严格单调_（分数：0.50）A.增加且凹(上凹)的B.增加且凸(下凹)的C.减少且凹(上凹)的D.减少且凸(下凹)的7.曲线 y=6x-
3、24x 2 +x 4 的上凸(下凹)区间是_（分数：0.50）A.(-2，2)B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)8.设 f(x)在0，1上有 f“(x)0，f“(x)0，则曲线 y=f(x)在0，1上_（分数：0.50）A.沿 x 轴正向上升向上凹(凹的，下凸的)B.沿 x 轴正向上升向下凹(凸的，上凸的)C.沿 x 轴正向下降向上凹(凹的，下凸的)D.沿 x 轴正向下降向下凹(凸的，上凸的)二、填空题(总题数：10，分数：5.00)9.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)内可导，则必存在 (a，b)，使 f“()= 1 （分数：0.50）10.设 b0，则 （分数：0.50）11.
4、 （分数：0.50）12.设 axb 时，f“(x)=g“(x)，则 f(x)与 g(x)的关系为 f(x)= 1 （分数：0.50）13.设函数 f(x)在 x 0 处可导，则 f(x)在 x 0 取得极值的 1 条件是 f“(x 0 )= 2 （分数：0.50）14.设函数 （分数：0.50）15.函数 （分数：0.50）16.函数 （分数：0.50）17.曲线 （分数：0.50）18.设在(a，b)内的曲线弧是上凹的(或凹的，下凸的)，则曲线弧必位于其每一点处的切线的 1 方 （分数：0.50）三、解答题(总题数：16，分数：91.00)19.求 f(x)=x 3 -6x 2 +9x-4
5、 的极值 （分数：3.00）_20.判断 （分数：3.00）_21.求 f(x)=2x 3 -12x 2 +4 在-1，7的最大值和最小值 （分数：3.00）_22.求 （分数：3.00）_23.设有一根长为 l 的铁丝，将其分为两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为 S 1 ，正方形面积为 S 2 ，证明当 S 1 +S 2 为最小时， （分数：3.00）_判定下列曲线的凹凸性（分数：6.00）(1).y=xe x2（分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_求下列曲线的拐点及凹凸区间（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_24.求 （分数：3
6、.00）_(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4). （分数：3.00）_(5). （分数：3.00）_(6). （分数：3.00）_判断下列函数的单调性（分数：12.00）(1).y=x-lnx（分数：3.00）_(2).y=x+e x（分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4). （分数：3.00）_证明下列不等式（分数：9.00）(1).当 x1 时， （分数：3.00）_(2).当 x0 时，2xarctanxln(1+x 2 )（分数：3.00）_(3).当 x0 时， （分数：3.00）_求下列函数的极值（分数：6
7、.00）(1).y=(x+1)e -x（分数：3.00）_(2).y=x 3 -3x+2（分数：3.00）_25.为测得量 A，做 n 次实验，得到 n 个数 a 1 ，a 2 ，a n 现在要确定一个量 （分数：3.00）_26.窗户的形状下部是矩形，上部是半圆形，周长是 15 米，问矩形的宽和高是多少米，窗户的面积 A 最大 （分数：3.00）_求下列曲线的凹凸区间和拐点（分数：8.00）(1).y=ln(1+x 2 )（分数：2.00）_(2).y=xe -x（分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_27.求函数 y=x 3 -3x 2 -1 的单调
8、区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点 （分数：2.00）_专升本高等数学(二)分类模拟 34 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：4.00)1.在-1，1上满足罗尔中值定理的所有条件的函数 f(x)是_ A3 x Bln|x| Cx 2 -1 D （分数：0.50）A.B.C. D.解析：2.设 y=e x 在0，1满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的 等于_（分数：0.50）A.e-1B.e+1C.ln(e-1) D.ln(e+1)解析：3.函数 y=x-arctanx 在(-，+)内是_（分数：0.50）A.单调增加 B.单调减少C.不单调D.
9、不连续解析：4.函数 y=3x 2 -x 3（分数：0.50）A.有极大值 0 和极小值 4B.有极大值 4 和极小值 1C.有极小值 0 和极大值 4 D.有极小值 4 和极大值 1解析：5.以下结论正确的是_（分数：0.50）A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点B.若 x0 是函数 f(x)的驻点，则 x0 必为 f(x)的极值点C.若函数 f(x)在点 x0 处有极值，且 f“(x0)存在，则必有 f“(x0)=0 D.若函数 f(x)在点 x0 处连续，则 f“(x0)一定存在解析：6.函数 y=e -x 在定义域内是严格单调_（分数：0.50）A.增加且凹(
10、上凹)的B.增加且凸(下凹)的C.减少且凹(上凹)的 D.减少且凸(下凹)的解析：7.曲线 y=6x-24x 2 +x 4 的上凸(下凹)区间是_（分数：0.50）A.(-2，2) B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)解析：8.设 f(x)在0，1上有 f“(x)0，f“(x)0，则曲线 y=f(x)在0，1上_（分数：0.50）A.沿 x 轴正向上升向上凹(凹的，下凸的)B.沿 x 轴正向上升向下凹(凸的，上凸的)C.沿 x 轴正向下降向上凹(凹的，下凸的)D.沿 x 轴正向下降向下凹(凸的，上凸的) 解析：二、填空题(总题数：10，分数：5.00)9.设 f(x)在a，b连续，在(a
11、，b)内可导，则必存在 (a，b)，使 f“()= 1 （分数：0.50）解析：10.设 b0，则 （分数：0.50）解析：11. （分数：0.50）解析：012.设 axb 时，f“(x)=g“(x)，则 f(x)与 g(x)的关系为 f(x)= 1 （分数：0.50）解析：g(x)+c，(c 是常数)13.设函数 f(x)在 x 0 处可导，则 f(x)在 x 0 取得极值的 1 条件是 f“(x 0 )= 2 （分数：0.50）解析：必要，014.设函数 （分数：0.50）解析：(1，2)，(0，1) 解析 的定义域是0，2 15.函数 （分数：0.50）解析：(0，+)，e 解析 的定
12、义域是(0，+) ，令 f“(x)=0，得驻点 x=e 16.函数 （分数：0.50）解析：(0，1)(1，+)，x=e，f(e)=e 解析 的定义域是(0，1)(1，+) ，令 f“(x)=0，得驻点 x=e 17.曲线 （分数：0.50）解析：(4，2) 解析 的定义域是(-，+) 18.设在(a，b)内的曲线弧是上凹的(或凹的，下凸的)，则曲线弧必位于其每一点处的切线的 1 方 （分数：0.50）解析：上三、解答题(总题数：16，分数：91.00)19.求 f(x)=x 3 -6x 2 +9x-4 的极值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：(1)f(x)的定义域是(-，+) (2)
13、f“(x)=3x 2 -12x+9=3(x-1)(x-3)=0，得驻点 x 1 =1，x 2 =3 (3)f“(x)=6x-12，f“(1)=-60，则 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)=0，f“(3)=60， 则 f“(x)在 x=3 处取得极小值 f(3)=-420.判断 （分数：3.00）_正确答案：()解析：f(x)的定义域是(-，+) (2) 21.求 f(x)=2x 3 -12x 2 +4 在-1，7的最大值和最小值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 f“(x)=6x 2 -24x=6x(x-4)=0，得驻点 x 1 =0，x 2 =4因 f(-1)=-10
14、，f(0)=4，f(4)=-60，f(7)=102，故 f(7)=102 是最大值，f(4)=-60 是最小值22.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得驻点 x=e，又 f(1)=1， ，故23.设有一根长为 l 的铁丝，将其分为两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为 S 1 ，正方形面积为 S 2 ，证明当 S 1 +S 2 为最小时， （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设圆形周长为 x，则正方形周长为 l-x，圆形面积和正方形面积之和为 令 ，则 是 S 的唯一驻点，是 S 的极小值点，也是 S 的最小值点，此时， 判定下列曲线的凹凸性（分数：6.00）(
15、1).y=xe x2（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 此函数的定义域是(-，+) y“=(1+2x 2 )e x2 ， 令 y“=4xe x2 +(1+2x 2 )2xe x2 =2x(3+2x 2 )e x2 =0，得 x=0 当 x(-，0)时，y“0，故曲线 y=xe x2 是下凹的；当 x(0，+)时，y“0，曲线 y=xe x2 是上凹的(2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=0，得 x=0 当 x(-，0)时，y“0，故曲线 是上凹的 当 x(0，+)时，y“0，故曲线 求下列曲线的拐点及凹凸区间（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_正确
16、答案：()解析：解 令 y“=0，解得 此三点将函数的定义域分为四个区间(-， 当 时，y“0，故曲线是下凹的； 当 时，y“0，故曲线是上凹的； 当 时，y“0，故曲线是下凹的； 当 时，y“0，故曲线是上凹的 曲线的拐点是 (2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 24.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 按定义分别计算即可(此时函数的定义域为 x0) 因为 所以曲线 (1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：(2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：(3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：(4). （分数：3.00）_正确答案：()解析：
17、(5). （分数：3.00）_正确答案：()解析：(6). （分数：3.00）_正确答案：()解析：判断下列函数的单调性（分数：12.00）(1).y=x-lnx（分数：3.00）_正确答案：()解析：函数 y=x-lnx 的定义域是0，+) (2).y=x+e x（分数：3.00）_正确答案：()解析：y“=1+e x 0，故函数在(-，+)单调增加(3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：函数的定义域是(0，+) (4). （分数：3.00）_正确答案：()解析：函数的定义域是0，4 证明下列不等式（分数：9.00）(1).当 x1 时， （分数：3.00）_正确答案：()解析：设
18、 ，当 x1 时，f“(x)0，故 f(x)单调增加又 f(1)=2-3+1=0，故当 x1 时，f(x)0，即(2).当 x0 时，2xarctanxln(1+x 2 )（分数：3.00）_正确答案：()解析：设 f(x)=2xarctanx-ln(1+x 2 )，因 (3).当 x0 时， （分数：3.00）_正确答案：()解析：设 知 f(x)在 x0 时是单调增加的又 f(0)=0，故 f(x)0(x0) 即 求下列函数的极值（分数：6.00）(1).y=(x+1)e -x（分数：3.00）_正确答案：()解析：y“=e -x -(x+1)e -x =-xe -x ，令 y“=0，得驻
19、点 x=0 y“=-e -x +xe -x =(x-1)e -x ，y“| x=0 =-10，故 y 在 x=0 时取得极大值 1(2).y=x 3 -3x+2（分数：3.00）_正确答案：()解析：y“=3x 2 -3，令 y“=0，得驻点 x 1 =-1，x 2 =1 y“=6x，y“| x=-1 =-60，y“| x=1 =60，故 y 在 x=-1 取得极大值 4，在 x=1 取得极小值 025.为测得量 A，做 n 次实验，得到 n 个数 a 1 ，a 2 ，a n 现在要确定一个量 （分数：3.00）_正确答案：()解析：设 ，令 s“=0，得驻点 又 s“=2n0，故当 时，s
20、取得极小值(此时 26.窗户的形状下部是矩形，上部是半圆形，周长是 15 米，问矩形的宽和高是多少米，窗户的面积 A 最大 （分数：3.00）_正确答案：()解析：设矩形的底宽为 x，高为 y，则窗户的周长是 ，窗户的面积 ，令 A“=0，得驻点 ，故当 米，y= 求下列曲线的凹凸区间和拐点（分数：8.00）(1).y=ln(1+x 2 )（分数：2.00）_正确答案：()解析：(2).y=xe -x（分数：2.00）_正确答案：()解析：y“=(1-x)e -x ，y“=(x-2)e -x ，令 y“=0，得 x=2 当-x2 时，y“0，曲线在(-，2)内是下凹的； 当 2x+时，y“0，
21、曲线在(2，+)内是上凹的 拐点是 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：定义域是 x0 (4). （分数：2.00）_正确答案：()解析： 当 时，y“0，曲线在 内是上凹的； 当 时，y“0，曲线在 内是下凹的； 当 时，y“0，曲线在 内是上凹的 拐点是 27.求函数 y=x 3 -3x 2 -1 的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点 （分数：2.00）_正确答案：()解析：函数的定义域是(-，+)y“=3x 2 -6x=3x(x-2)，y“=6x-6=6(x-1) 令 y“=0得 x 1 =0，x 2 =2今 y“=0得 x=1列表如下 x (-，0) 0 (0，1) 1 (1，2) 2 (2，+) y“ y“ + - 0 - - - - 0 - + 0 + + + 函数的单调递增区间是(-，0)(2，+)；单调递减区间是(0，2)；极大值是 f(0)=-1；极小值是 f(2)=-5 曲线的下凹区间是(-，1)；上凹区间(1，+)；拐点是(1，-3)
