1、专升本高等数学(二)分类模拟 33 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：4.00)1.在-1，1上满足罗尔中值定理的所有条件的函数 f(x)是_ A （分数：0.50）A.B.C.D.2.在1，e上满足拉格朗日中值定理条件的函数 f(x)是_ Aln(x-1) Blnx C （分数：0.50）A.B.C.D.3.设 在1，2满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的 等于_ A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.4.函数 （分数：0.50）A.(-，-2)，(2，+)B.(-2，2)C.(-，0)，(0，+)D.(-2，0)，(0，2)5
2、.设 （分数：0.50）A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点6.设 axb，f“(x)0，f“(x)0，则曲线 f(x)在区间(a，b)内沿 x 轴正向_（分数：0.50）A.下降且上凹B.下降且下凹C.上升且上凹D.上升且下凹7.设 f“(x)0，f“(x)0，x0，y=f(x+x)-f(x)，dy=f“(x)x，则_（分数：0.50）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy08.若点(1，3)是曲线 y=ax 3 +bx 3 的拐点，则_ A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，
3、分数：4.00)9.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f(b)-f(a)= 1 （分数：0.50）10.函数 y=ln(x+1)在0，1上满足拉格朗日中值定理的 = 1 （分数：0.50）11. （分数：0.50）12. （分数：0.50）13.设函数 （分数：0.50）14.函数 （分数：0.50）15.设函数 y=2x 2 +ax+3 在点 x=1 处取得极小值，则 a= 1 （分数：0.50）16.设函数 y=xe -x ，则它在点 x= 1 有极 2 值 3，曲线的拐点是 4 （分数：0.50）三、解答题(总题数：17，分数：92.0
4、0)求下列方程所确定的隐函数的导数（分数：18.00）(1).cos(xy)=x（分数：3.00）_(2).y-sin-cos(x-y)=0（分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4).e y =xy（分数：3.00）_(5).sin(x 2 +y)=xy（分数：3.00）_(6).y 3 =x+arccos(xy)（分数：3.00）_17.证明，当 x0 时， （分数：3.00）_18.设函数 z=z(x)由方程 xz=e z 所确定，求 （分数：3.00）_19.设函数 f(x)=e x ，g(x)=sinx，且 y=fg“(x)，求 （分数：3.00）_用对数求导法求下列函数
5、的导数（分数：15.00）(1). （分数：3.00）_(2).y=(sinx) cosx（分数：3.00）_(3).y=(lnx) lnx（分数：3.00）_(4). （分数：3.00）_(5). （分数：3.00）_20.设函数 f(x)=xe x ，求 f“(v) （分数：3.00）_求下列函数的一阶微分（分数：12.00）(1).y= e +e x +x （分数：3.00）_(2).y= e e x （分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4).x 3 +y 3 -3axy=0(a0，是常数)（分数：3.00）_21.计算 （分数：3.00）_22.计算 （分数：3.00）
6、_23.计算 （分数：3.00）_24.计算 （分数：3.00）_25.计算 （分数：3.00）_26.计算 （分数：3.00）_27.计算 （分数：3.00）_求下列函数的单调增减区间（分数：6.00）(1).f(x)=2x 3 -6x 2 -18x+l（分数：3.00）_(2).f(x)=2x 2 -lnx（分数：3.00）_28.判断函数 f(x)=x+arctanx 的增减性 （分数：4.00）_29.证明当 x0 时，xarctanx （分数：4.00）_专升本高等数学(二)分类模拟 33 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：4.00)1
7、.在-1，1上满足罗尔中值定理的所有条件的函数 f(x)是_ A （分数：0.50）A.B.C. D.解析：解析 罗尔中值定理有三个条件：(1)函数 y=f(x)在a，b上连续；(2)在(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b) 对 A， 在 x=0 不连续 对 B， 2.在1，e上满足拉格朗日中值定理条件的函数 f(x)是_ Aln(x-1) Blnx C （分数：0.50）A.B. C.D.解析：解析 当 x=1 时，函数 ln(x-1)无定义，ln(x-1)在1，e不连续，故不选 A 对 B，f(x)=lnx 在1，e连续，在(1，e)内可导，故 y=lnx 在1，e上满足拉格朗日中值定
8、理的条件，应选 B 对 C， 3.设 在1，2满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的 等于_ A B C D （分数：0.50）A.B.C. D.解析：解析 因 ，又 a=1，b=2；f(a)=1， ，故 ，于是 ，故4.函数 （分数：0.50）A.(-，-2)，(2，+)B.(-2，2)C.(-，0)，(0，+)D.(-2，0)，(0，2) 解析：解析 由 ，定义域是(-，0)(0，+)， 5.设 （分数：0.50）A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点 C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点解析：解析 f(x)=x 2 -1令 f“(x)=0，得驻点 x 1
9、 =-1，x 2 =1f“(x)=2x，f“(1)=20，故 x=1 是极小值点但 6.设 axb，f“(x)0，f“(x)0，则曲线 f(x)在区间(a，b)内沿 x 轴正向_（分数：0.50）A.下降且上凹 B.下降且下凹C.上升且上凹D.上升且下凹解析：解析 当 axb 时，f“(x)0，曲线 f(x)在(a，b)内沿 x 轴下降；由 f“(x)0，知曲线 f(x)在(a，b)内沿 x 轴正向上凹，故曲线 f(x)在(a，b)内下降且上凹，选 A7.设 f“(x)0，f“(x)0，x0，y=f(x+x)-f(x)，dy=f“(x)x，则_（分数：0.50）A.ydy0B.ydy0 C.d
10、yy0D.dyy0解析：解析 由于 f“(x)0，x0，知道 dy=f“(x)x0，故排除 A，C 由 f“(x)0，f“(x)0，则曲线 y=f(x)是单调下降且上凸，如图所示从图中可知 ydy0，故选B 8.若点(1，3)是曲线 y=ax 3 +bx 3 的拐点，则_ A B C D （分数：0.50）A. B.C.D.解析：解析 y“=3ax 2 +2bx，y“=6ax+2b，因(1，3)是曲线的拐点，则 y“| x=1 =6a+2b=0；又点(1，3)在曲线上，故 3=a+b 解方程 二、填空题(总题数：8，分数：4.00)9.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则在(a，
11、b)内至少存在一点 ，使得 f(b)-f(a)= 1 （分数：0.50）解析：f“()(b-a)解析 此题满足拉格朗日中值定理的条件，应填 f“()(b-a)10.函数 y=ln(x+1)在0，1上满足拉格朗日中值定理的 = 1 （分数：0.50）解析： 解析 设 f(x)=ln(x+1)，则 f(0)=0，f(1)=ln2， 由 11. （分数：0.50）解析： 解析 解 1 原式= 解 2 该式为“ ”型未定式，且满足洛必达法则： 12. （分数：0.50）解析：0 解析 该式为“ ”型未定式，且满足洛必达法则： 13.设函数 （分数：0.50）解析：增加 解析 根据导数的正负判别函数是严
12、格单调增加或是严格单调减少由于 14.函数 （分数：0.50）解析： 解析 f“(x)=x 2 -6x+9=(x-3) 2 0，故 f(x)在0，4上单调增加，当 x=4 时，f(x)在0，4上取得最大值，故最大值点 15.设函数 y=2x 2 +ax+3 在点 x=1 处取得极小值，则 a= 1 （分数：0.50）解析：-4解析 y“=4x+a，y“=40，当 x=1 时，y 取极小值，此时由 4x+a=0，a=-4x=-416.设函数 y=xe -x ，则它在点 x= 1 有极 2 值 3，曲线的拐点是 4 （分数：0.50）解析：1，大， ， 解析 y=xe -x 的定义域是(-，+)
13、由 y“=(1-x)e -x ，令 y“=0，得驻点 x=1 y“=(x-2)e -x ， ，故当 x=1 时有极大值 令 y“=0，得 x=2，且当 x2 时，y“0，曲线向下凹；当 x2 时，y“0，曲线向上凹故 三、解答题(总题数：17，分数：92.00)求下列方程所确定的隐函数的导数（分数：18.00）(1).cos(xy)=x（分数：3.00）_正确答案：()解析：由-sin(xy)(y+xy“)=1，得(2).y-sin-cos(x-y)=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：由 y“-cosx+sin(x-y)(1-y“)=0，得(3). （分数：3.00）_正确答案：()解
14、析：由(4).e y =xy（分数：3.00）_正确答案：()解析：由 e“y“=y+xy“，得(5).sin(x 2 +y)=xy（分数：3.00）_正确答案：()解析：由 cos(x 2 +y)(2x+y“)=y+xy“，得 (6).y 3 =x+arccos(xy)（分数：3.00）_正确答案：()解析：由17.证明，当 x0 时， （分数：3.00）_正确答案：()解析：证 设 ，f(0)=0，由 在(0，+)，f“(x)0，故 f(x)在(0，+)内严格单调增加，从而当 x0 时， f(x)f(0+0)，又函数 f(x)在0，+)连续，故 f(0+0)=f(0) 又 f(0)=0，故
15、当 x0 时，f(x)0，即 18.设函数 z=z(x)由方程 xz=e z 所确定，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：由 z+xz x “=e z z x “，得 19.设函数 f(x)=e x ，g(x)=sinx，且 y=fg“(x)，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：因 g“(x)=cosx，故 y=f(cosx)=e cosx ， 用对数求导法求下列函数的导数（分数：15.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：由 对 y 求导， 整理得 (2).y=(sinx) cosx（分数：3.00）_正确答案：()解析：y“=-(sinx) 1+cosx
16、ln(sinx)+cos 2 x(sinx) -1+cosx =(sinx) cosx cos 2 xcscx-sinxln(sinx)(3).y=(lnx) lnx（分数：3.00）_正确答案：()解析：(4). （分数：3.00）_正确答案：()解析：(5). （分数：3.00）_正确答案：()解析：20.设函数 f(x)=xe x ，求 f“(v) （分数：3.00）_正确答案：()解析：f“(x)=(x+1)e x ，f“(x)=(x+2)e x ，f“(0)=2求下列函数的一阶微分（分数：12.00）(1).y= e +e x +x （分数：3.00）_正确答案：()解析：dy=(e
17、 x +x -1 )dx(2).y= e e x （分数：3.00）_正确答案：()解析：dy= e e x x -1 (x+)dx(3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：(4).x 3 +y 3 -3axy=0(a0，是常数)（分数：3.00）_正确答案：()解析：21.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 1 该式为“ ”型，由洛必达法则，有 解 2 原式= 22.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 23.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 该式为“-”型，先通分后分为两项乘积： 对前一因式用初等办法求极限 对后一因式用洛必达法则求极限 故
18、 24.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 未定式为“ ”型，使用洛必达法则得 25.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 未定式为“0”型，将其化为“ ”型，再应用洛必达法则求极限 26.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 27.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 此极限为“ ”型，但分子和分母的导数之比的极限不是 A(或)，即 极限不存在，此时，洛必达法则失效事实上， 求下列函数的单调增减区间（分数：6.00）(1).f(x)=2x 3 -6x 2 -18x+l（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f(x)的定义域为(-，+)，f
19、“(x)=6x 2 -12x-18=6(x+1)(x-3) 令 f“(x)=0，得驻点 x 1 =-1，x 2 =3 当 x(-，-1)时，f“(x)0，故 f(x)在(-，-1)内单调增加； 当 x(-1，3)时，f“(x)0，故 f(x)在(-1，3)内单调减少； 当 x(3，+)时，f“(x)0，故 f(x)在(3，+)内单调增加(2).f(x)=2x 2 -lnx（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f(x)的定义域为(0，+) 令 f“(x)=0，得驻点 ，舍去 当 时，f“(x)0，故 f(x)在 内单调减少； 当 时，f“(x)0，故 f(x)在 28.判断函数 f(x)=x+arctanx 的增减性 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 f(x)=x+arctanx 的定义域是(-，+) 29.证明当 x0 时，xarctanx （分数：4.00）_正确答案：()解析：证 设 f(x)=x-arctanx(x0)，f(0)=0-arctan0=0 由
