1、专升本高等数学(二)分类模拟 31 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：5.00)1.设函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，且下列各极限都存在，其中一定成立的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.2.函数 y=f(x)在点 x 0 处的左导数 f“ - (x 0 )和右导数 f“ + (x 0 )存在且相等是 f(x)在点 x 0 可导的_（分数：1.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件3.设 y=f(x)在点 x 0 处不连续，则_ Af“(x 0 )存在 B Cf“(x 0 )不存在 D （
2、分数：1.00）A.B.C.D.4.设 y=f(x)在 x=x 0 处可导，且 f“(x 0 )=-2，则 等于_ A B2 C （分数：1.00）A.B.C.D.5.过椭圆 x 2 +2y 2 =27 上横、纵坐标相等的点的切线斜率为_ A-1 B C （分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：5.00)6.设 f(x)在点 x=x 0 处可导，则 （分数：0.50）7.设 f(x)在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分数：0.50）8.设 y= x +log x+sin(x)+arccos(ex)+e ，则 y“= 1 （分数：0.50）9.设 （分数：0.
3、50）10.设 f(x)=ln(1+x 2 )，则 f“(-1)= 1 （分数：0.50）11.设 f(1)=1，则 （分数：0.50）12.设 ，则 （分数：0.50）13.设 xy 2 -e xy +2=0，则 （分数：0.50）14.设 （分数：1.00）三、解答题(总题数：18，分数：90.00)15.按定义求 （分数：2.00）_16.讨论函数 f(x)=|sinx|在点 x=0 处的连续性与可导性 （分数：2.00）_17.讨论函数 （分数：2.00）_求下列函数的导数（分数：9.00）(1). （分数：2.25）_(2).f(x)=e x sinx（分数：2.25）_(3).f(
4、x)=cos(lnx)（分数：2.25）_(4). （分数：2.25）_求下列函数的导数（分数：18.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3).y=3 x e x（分数：3.00）_(4). （分数：3.00）_(5). （分数：3.00）_(6). （分数：3.00）_18.求 （分数：3.00）_19.求 （分数：3.00）_20.求 （分数：3.00）_设 f(x)可导，求（分数：12.00）(1).f 3 (x)“（分数：3.00）_(2).f(x 3 )“（分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4).lnf(x 3 )“（分数：3.00）_
5、21.求由方程 xy=e x+y 确定的函数 y(x)的导数 （分数：3.00）_22.求 y=ln|x|在 x0 和 x0 时的导数 （分数：3.00）_23.设 （分数：3.00）_24.求 y=x sinx 的导数 （分数：3.00）_25.求 （分数：3.00）_26.在曲线 y=4-x 2 (x0)上求一点 P，使过 P 点的切线在两个坐标轴上的截距相等 （分数：3.00）_求下列函数的二阶导数（分数：12.00）(1).y=xe x2（分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4).y=x 2 (lnx) 2（分数：3.00）_27.求下列函数
6、的微分 （分数：3.00）_28.设函数 z=z(x)由方程 x 2 +z 2 =xz 所确定，求 （分数：3.00）_专升本高等数学(二)分类模拟 31 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：5.00)1.设函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，且下列各极限都存在，其中一定成立的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 ，不一定等于 f“(a)，或 f“(a)不存在，故 A 不成立 对 B， 故 B 不正确 由定义，知 C 不成立，故应选 D事实上 2.函数 y=f(x)在点 x 0 处的左导数 f“ - (x
7、0 )和右导数 f“ + (x 0 )存在且相等是 f(x)在点 x 0 可导的_（分数：1.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析 由函数在点 x 0 处导数存在的充分必要条件是 f“ - (x 0 )=f“ + (x 0 )，故选 C3.设 y=f(x)在点 x 0 处不连续，则_ Af“(x 0 )存在 B Cf“(x 0 )不存在 D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由于可导函数必连续，不连续函数则不可导，故选 C4.设 y=f(x)在 x=x 0 处可导，且 f“(x 0 )=-2，则 等于_ A B2 C （分数：1.00）A
8、.B. C.D.解析：解析 5.过椭圆 x 2 +2y 2 =27 上横、纵坐标相等的点的切线斜率为_ A-1 B C （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 对椭圆 x 2 +2y 2 =27 两端使用隐函数求导法，得 2x+4yy“=0，故 因为 x=y，得 二、填空题(总题数：9，分数：5.00)6.设 f(x)在点 x=x 0 处可导，则 （分数：0.50）解析：f“(x 0 ) 解析 将其凑成导数定义中的极限形式： 7.设 f(x)在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分数：0.50）解析：f“(0) 解析 因 f(0)=0，由导数定义可知， 8.设 y= x +lo
9、g x+sin(x)+arccos(ex)+e ，则 y“= 1 （分数：0.50）解析：9.设 （分数：0.50）解析： 解析 用复合函数求导法， 10.设 f(x)=ln(1+x 2 )，则 f“(-1)= 1 （分数：0.50）解析：0解析 11.设 f(1)=1，则 （分数：0.50）解析：解析 12.设 ，则 （分数：0.50）解析：1 解析 解 1 y 是幂指函数，用对数求导法，两端取对数： ，两边对 x 求导，有 解 2 将 y 化为 ，用复合函数求导法，得 13.设 xy 2 -e xy +2=0，则 （分数：0.50）解析： 解析 利用隐函数求导法，两端对 x 求导： 解出
10、14.设 （分数：1.00）解析： 解析 利用一阶微分形式不变性，则 三、解答题(总题数：18，分数：90.00)15.按定义求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：(1) (2) 根据导数定义求函数的导数，如果是求在一点处的导数，用 求较方便；如果是求在任意一点处的导数，用 16.讨论函数 f(x)=|sinx|在点 x=0 处的连续性与可导性 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 可只考虑 x 在 内的情形，故 由于 即 f(0-0)=f(0+0)=f(0)=0，故 f(x)在点 x=0 处连续又 17.讨论函数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 f(x)
11、在点 x=0 处连续但是， 求下列函数的导数（分数：9.00）(1). （分数：2.25）_正确答案：()解析：解 (2).f(x)=e x sinx（分数：2.25）_正确答案：()解析：解 f“(x)=(e x )“sinx+e x (sinx)“=e x sinx+e x cosx=e x (sinx+cosx)(3).f(x)=cos(lnx)（分数：2.25）_正确答案：()解析：解 (4). （分数：2.25）_正确答案：()解析：解 求下列函数的导数（分数：18.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 先将函数化简为 (2). （分数：3.00）_正确答案：(
12、)解析：解 解 解 解 (3).y=3 x e x（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 y=(3e) x “=(3e) x ln(3e)=(3e) x (1+ln3)(4). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (5). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (6). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 18.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 19.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 此题如注意到 20.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 故 设 f(x)可导，求（分数：12.00）(1).f 3 (x)“（分数：3.00）_正
13、确答案：()解析：解 f 3 (x)“=3f 2 (x)f“(x)(2).f(x 3 )“（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f(x 3 )“=3x 2 f“(x 3 )(3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (4).lnf(x 3 )“（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 21.求由方程 xy=e x+y 确定的函数 y(x)的导数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 1 两端对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，则 y+xy“ x =e x+y (1+y“ x ) 化简得 解 2 利用微分形式不变性，得 ydx+xdy=e x+y (dx+dy) 化简
14、即得 解 3 设 F(x，y)=xy-e x+y =0，得 ，其中 F“ x (x，y)和 F“ y (x，y)分别表示 F(x，y)对 x 和 y 的偏导数 把 y 看作常数，对 x 求导，得 F“ x (x，y)=y-e x+y ， 把 x 看作常数，对 y 求导，得 F“ y (x，y)=x-e x+y ， 故 解 4 利用对数求导法，两端取对数，得 ln|x|+ln|y|=x+y (因 x 与 y 同号，此处取绝对值)， 两端对 x 求导，得 整理得 22.求 y=ln|x|在 x0 和 x0 时的导数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 对 x0，y=ln|x|=lnx， ；
15、 对 x0，y=ln|x|=ln(-x)， ， 故无论 x0，或 x0，均有 类似地，若 y=ln|f(x)|，则 23.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 显然，函数的定义域为 D=(-，12，3)(4，+)若 x4，对 y 取对数，得 两端对 x 求导，得 故 对 x1 或 2x3，上式仍成立如 2x3，对 y 取对数得 故 对只有相乘、相除、乘幂、根式和指数等运算的函数，用对数求导法常常比较方便对于幂指函数 y=u(x) v(x) (u(x)0)，可以利用指数函数与对数函数的关系，将其化为 y=e v(x)lnu(x) 再利用复合函数求导法则求导，得 24.求 y=x sin
16、x 的导数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 先对 y 取对数，则 lny=sinxlnx 两端对 x 求导，得 故 也可利用幂指函数 y=e sinxlnx 求导： 25.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将等式变形， ，则 若直接求导数，步骤繁杂且容易出现错误： 26.在曲线 y=4-x 2 (x0)上求一点 P，使过 P 点的切线在两个坐标轴上的截距相等 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 1 因为过 P 点的切线在两个坐标轴上的截距相等，故设在 P 点的切线方程为 其中 a 为截距，即 y=-x+a，于是，过 P 点的切线斜率是-1又曲线 y=4-x 2
17、 的斜率是 y“=-2x，故-2x=-1，解得 ，将其代入 y=4-x 2 ，得 因此，P 点坐标是 解 2 设切点 P 的坐标是(x 0 ，y 0 )，曲线 y=4-x 2 在 P 点的斜率为 y“| x=x0 =-2x| x=x0 =-2x 0 ，故过P 点的切线方程是 y-y 0 =-2x 0 (x-x 0 ) 即 令 y=0，得切线在 x 轴上的截距 ；令 x=0，得切线在 y 轴上的截距 由于截距相等，故 解出 求下列函数的二阶导数（分数：12.00）(1).y=xe x2（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 y“=(1+2x 2 )e x2 y“=4xe x2 +(1+2x
18、2 )2xe x2 =2x(3+2x 2 )e x2(2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (4).y=x 2 (lnx) 2（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 y“=2x(lnx) 2 +2xlnx y“=2(lnx) 2 +4lnx+2lnx+2 =2(lnx) 2 +3lnx+127.求下列函数的微分 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 求微分有两种方法：运用微分定义 dy=f“(x)dx，求出 f“(x)后代入即得；或利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分 (1)因为 y“=lnx+1+2xcosx 2 ，故 dy=(1+lnx+2xcosx 2 )dx 或 dy=d(xlnx+sinx 2 )=d(xlnx)+d(sinx 2 ) =lnxdx+xd(lnx)+cosx 2 d(x 2 ) =lnxdx+dx+2xcosx 2 dx =(1+lnx+2xcosx 2 )dx (2) 故 (3) (4) 28.设函数 z=z(x)由方程 x 2 +z 2 =xz 所确定，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：由 2x+2zz x “=z+xz x “，得
