1、专升本高等数学(二)-多元函数微分学、排列与组合、概率初步、随机变量及其概率分布(一)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：16，分数：32.00)1.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.2.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 ，则 =_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 ，则 f(x，y)=_A B C （分数：2.00）A.B.C.D.5.二元函数 x=(1+3x)2y，则 （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知 f(xy，x-y)=x 2+y2，则 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 z=(lny
2、)xy，则 （分数：2.00）A.B.C.D.8.z=3xy，则 （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 x=sin(xy2)，则 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 ，则 等于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.在一次共有 20 人参加的老同学聚会上，如果每两个人握手一次，那么这次聚会共握手_ A.400 次 B.380 次 C.240 次 D.190 次（分数：2.00）A.B.C.D.12.若从 n 个不同的元素中取出 2 个元素的排列数为 132，则 n=_。 A.11 B.12 C.13 D.14（分数：2.00）A.B.C.D.13.用 1，2，3
3、，4，5，6 组成没有重复数字的不同的三位数共有_。 A.120 种 B.60 种 C.20 种 D.10 种（分数：2.00）A.B.C.D.14.1 名教师和 4 名学生排成一排，若老师不排在两边，则不同的排法共有_。 A.96 种 B.72 种 C.84 种 D.36 种（分数：2.00）A.B.C.D.15.从 13 名学生中选出两人担任正、副班长，不同的选举结果共有_。 A.26 种 B.78 种 C.156 种 D.169 种（分数：2.00）A.B.C.D.16.从 9 个学生中选出 3 个做值日，不同的选法的种数是_。 A.3 种 B.9 种 C.84 种 D.504 种（分数
4、：2.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：12.00)17.函数 （分数：2.00）填空项 1:_18.函数 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_22.设 z=ln(xy+lny)，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：5，分数：56.00)求下列函数的偏导数（分数：8.00）(1).设 ，求 （分数：2.00）_(2).设 ，求 （分数：2.00）_(3).设 z=tan(xy2+x3y)，求 （分数：2.00）_
5、(4).设 ，求 （分数：2.00）_求全微分（分数：12.00）(1).设 （分数：3.00）_(2).设 z=arctan(xy)，求 dz。（分数：3.00）_(3).设 （分数：3.00）_(4).设 z=xe-xy+sin(xy)，求 dz。（分数：3.00）_求由方程所确定的隐函数的偏导数或全微分（分数：9.00）(1).设 z=f(xy)是由方程 xz=y+ez所确定的隐函数，求 （分数：3.00）_(2).设 z=f(xy)是由方程 e-xy-2z+ex=0 所确定的隐函数，求 dz。（分数：3.00）_(3).设 z=f(xy)是由方程 x2+z2=2yez所确定的隐函数，求
6、 dz。（分数：3.00）_求二阶偏导数（分数：12.00）(1).设 z=xlny，求 （分数：3.00）_(2).设 z=sin(x2-y2)，求 （分数：3.00）_(3).设 ，求 （分数：3.00）_(4).设 z=ln(x-y2)，求 （分数：3.00）_求下列二元函数的极值（分数：15.00）(1).求函数 f(x，y)=x 2-6x+y2的极值。（分数：3.00）_(2).求函数 f(x，y)=x 3-y3+3x2+3y2-9x 的极值。（分数：3.00）_(3).求函数 f(x，y)=xy 在约束条件 x+y=1 的极值（分数：3.00）_(4).从斜边长为 a 的一切直角三
7、角形中，求有最大周长的直角三角形。（分数：3.00）_(5).在所有对角线为 （分数：3.00）_专升本高等数学(二)-多元函数微分学、排列与组合、概率初步、随机变量及其概率分布(一)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：16，分数：32.00)1.函数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 解不等式组*，得 0x 2+y24 且 x0。2.函数 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 解不等式组*，得 0x 2+y22。3.设 ，则 =_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 *4.设 ，则 f(x，y)=_
8、A B C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 *。 作变量代换，令*解得*代入给定函数表达式， 则有*，即*。5.二元函数 x=(1+3x)2y，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 *6.已知 f(xy，x-y)=x 2+y2，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 作变量代换：令 u=xy，v=x-y，由于 f(xy，x-y)=x 2+y2=(x-y)2+2xy，即 f(u，v)=2u+v 2，所以 f(x，y)=2x+y 2，*。*7.设 z=(lny)xy，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 *8.z=3xy，则 （分数：2.00
9、）A.B.C.D. 解析：解析 *9.设 x=sin(xy2)，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 *10.设 ，则 等于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 *11.在一次共有 20 人参加的老同学聚会上，如果每两个人握手一次，那么这次聚会共握手_ A.400 次 B.380 次 C.240 次 D.190 次（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 *12.若从 n 个不同的元素中取出 2 个元素的排列数为 132，则 n=_。 A.11 B.12 C.13 D.14（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 *，由 n(n-1)=1
10、32 解得 n=12，故选(B)。13.用 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的不同的三位数共有_。 A.120 种 B.60 种 C.20 种 D.10 种（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 *种。故选(A)。14.1 名教师和 4 名学生排成一排，若老师不排在两边，则不同的排法共有_。 A.96 种 B.72 种 C.84 种 D.36 种（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 *种。故选(B)。15.从 13 名学生中选出两人担任正、副班长，不同的选举结果共有_。 A.26 种 B.78 种 C.156 种 D.169 种（分数：2.00）A.B.C. D.解析
11、：解析 *种。故选(C)。16.从 9 个学生中选出 3 个做值日，不同的选法的种数是_。 A.3 种 B.9 种 C.84 种 D.504 种（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 *种。故选(C)。二、B填空题/B(总题数：6，分数：12.00)17.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1x 2+y22）解析：解析 解不等式组*，得 1x 2+y22。18.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x 2+y20）解析：解析 解不等式组*得*即 yx，x 2+y21，且 x2+y20。19.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：
12、解析 *20.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 因为*，所以*。21.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *。22.设 z=ln(xy+lny)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *三、B解答题/B(总题数：5，分数：56.00)求下列函数的偏导数（分数：8.00）(1).设 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(2).设 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(*。 *)解析：(3).设 z=tan(xy2+x3y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(4).设 ，求 （
13、分数：2.00）_正确答案：(*。)解析：求全微分（分数：12.00）(1).设 （分数：3.00）_正确答案：(*， *。)解析：(2).设 z=arctan(xy)，求 dz。（分数：3.00）_正确答案：(*， *。)解析：(3).设 （分数：3.00）_正确答案：(*， *， *。)解析：(4).设 z=xe-xy+sin(xy)，求 dz。（分数：3.00）_正确答案：(*， *。)解析：求由方程所确定的隐函数的偏导数或全微分（分数：9.00）(1).设 z=f(xy)是由方程 xz=y+ez所确定的隐函数，求 （分数：3.00）_正确答案：(解法一：(公式法)令 F(x，y，z)=
14、xz-y-e z，则*。解法二：等式两边分别对 x 求偏导数，得*，经整理，得*。)解析：(2).设 z=f(xy)是由方程 e-xy-2z+ex=0 所确定的隐函数，求 dz。（分数：3.00）_正确答案：(解法一：(公式法)令 F(x，y，z)=e -xy-2z+ez，分别求出三元函数 F(x，y，z)对 x，y，z 的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数。*，*。解法二：(直接微分法)方程两边同时求微分，有 e-xy(-ydx-xdy)-2dz+ezdz=0，经理整，得*。)解析：(3).设 z=f(xy)是由方程 x2+z2=2yez所确定的隐函数，求 dz。（分数：3.0
15、0）_正确答案：(解法一：(公式法)令 F(x，y，z)=x 2+z2-2yez，*。解法二：(直接微分法)方程两边同时求微分，有 2xdx+2zdz=2ezdy+2yezdz，经整理，得*。)解析：求二阶偏导数（分数：12.00）(1).设 z=xlny，求 （分数：3.00）_正确答案：(*。)解析：(2).设 z=sin(x2-y2)，求 （分数：3.00）_正确答案：(*。)解析：(3).设 ，求 （分数：3.00）_正确答案：(*。)解析：(4).设 z=ln(x-y2)，求 （分数：3.00）_正确答案：(*。)解析：求下列二元函数的极值（分数：15.00）(1).求函数 f(x，
16、y)=x 2-6x+y2的极值。（分数：3.00）_正确答案：(解方程组*得驻点(3，0)，计算*，B2-AC=-40，A=20，所以 f(3，0)=-9 为极小值。)解析：(2).求函数 f(x，y)=x 3-y3+3x2+3y2-9x 的极值。（分数：3.00）_正确答案：(*得驻点(1，0)，(1，2)，(-3，0)，(-3，2)故f“xx(x，y)=6x+6，f“ xy(x，y)=0，f“ yy(x，y)=-6y+6，对于驻点(1，0)A=f“ xx(1，0)=12，B=f“ xy(1，0)=0，C=f“ yy(1，0)=6。B2-AC=02-126=-720，所以驻点(1，0)是极小
17、值点，极小值 f(1，0)=-5。对于驻点(1，2)A=f“ xx(1，2)=12，B=f“ xy(1，2)=0，C=f“ yy(1，2)=-6，B2-AC=02-12x(-6)=720，所以驻点(1，2)不是极值点。对于驻点(-3，0)，A=f“ xx(-3，0)=-12，B=f“ xy(-3，0)=0，C=f“ yy(-3，0)=6，B2-AC=02-(-12)6=720，所以驻点(-3，0)不是极值点。对于驻点(-3，2)，A=f“ xx(-3，2)=-12，B=f“ xy(-3，0)=0，C=f“ yy(-3，0)=-6，B2-AC=02-(-12)6=-720，所以驻点(-3，2)是
18、极大值点，极大值 f(-3，2)=31。)解析：(3).求函数 f(x，y)=xy 在约束条件 x+y=1 的极值（分数：3.00）_正确答案：(构造拉格朗日函数 F(x，y，)=xy+(x+y-1) 求出 F 的所有一阶偏导数并令其等于零，得联立方程组* 所以极值点为*，函数的极值为*。)解析：(4).从斜边长为 a 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。（分数：3.00）_正确答案：(设直角三角形的两条直角边的长分为 x，y，则求周长函数为 S=x+y+a 在满足约束条件x2+y2=a2下的最大值点。F(x+y+)=(x+y+a)+(x 2+y2-a2)，*解得*，此时只有唯一的驻点，根据实际问题必有所求，即当直角三角形为等腰直角三角形，即两直角边的边长各为*时，周长最大、且最大周长为*)解析：(5).在所有对角线为 （分数：3.00）_正确答案：(设长、宽、高分为 x，y，z，长方体的体积为 V=xyz，对角线的长应满足关系式 d2=x2+y2+z2，本题为求体积函数 V=xyz 在约束条件 d2=x2+y2+z2下的极大值。作拉格朗日函数F(x，y，)=xyz+(x 2+y2+z2-d2)，*解题*，此时只有唯一的驻点，根据实际问题必有最大值，即当长、宽、高各为 2 时，体积最大，且最大体积 V=8。)解析：
