1、专升本高等数学(二)-一元函数微分学(四)及答案解析(总分：98.04，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.函数 y=ln(1+x2)的单调增加区间是_ A.(-5，5) B.(-，0) C.(0，+) D.(-，+)（分数：2.00）A.B.C.D.2.函数 y=x-arctax 在(-，+)内_ A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续（分数：2.00）A.B.C.D.3.以下结论正确的是_ A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点 B.若 x0为 f(x)的驻点，则 x0必为 f(x)的极值点 C.若 f(x)在点 x
2、0处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D.若 f(x)在点 x0处连续，则 f(x0)一定存在（分数：2.00）A.B.C.D.4.曲线 y=6x-24x2+x4的上凸(下凹)区间是_ A.(-2，2) B.(-，0) C.(0，+) D.(-，+)（分数：2.00）A.B.C.D.5.函数 y=e-x在其定义区间内是严格单调_ A.增加且凹的 B.增加且凸的 C.减少且凹的 D.减少且凸的（分数：2.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：9，分数：18.00)6.函数 y=2x2的单调递增区间为_（分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 f(x)在 x0处的一阶
3、导数 f(x0)=0，二阶导数 f“(x0)0，则 f(x0)是 f(x)的极 1 值（分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 y=x3-3x+1 的拐点是_（分数：2.00）填空项 1:_9.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.曲线 y=x+ex在点(0，1)处的切线斜率 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y=x3-x 在点(1，0)处的切线方程为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 f(x)=sin2+x2+2x，则 f(x)=_（分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 f(x)=(1+x2)arctanx，则 f(0)=_（分
4、数：2.00）填空项 1:_14.设函数 f(x)=1+sin2x，求 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：5，分数：70.00)求下列 （分数：19.04）(1).求 （分数：2.38）_(2).求 （分数：2.38）_(3).求 （分数：2.38）_(4).求 （分数：2.38）_(5).求 （分数：2.38）_(6).求 （分数：2.38）_(7).求 （分数：2.38）_(8). （分数：2.38）_求下列 （分数：6.00）(1).求 （分数：3.00）_(2).求 （分数：3.00）_求下列 0型未定式极限（分数：6.00）(1).求 （分数：3
5、.00）_(2). （分数：3.00）_求下列-型未定式极限（分数：27.00）(1).求 （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3).求函数 （分数：3.00）_(4).求函数 y=x-ln(x+1)的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间（分数：3.00）_(5).求函数 （分数：3.00）_(6).求函数 y=xe-x在区间0，2上的最大值与最小值（分数：3.00）_(7).求函数 （分数：3.00）_(8).将边长为 a 的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图)，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱盒子，当图中的 x 取何值时，该盒子的容积最大? （分数：3.00）_(
6、9).要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器其侧面与上底用同一种材料，下底面用另一种材料已知下底面材料每平方厘米的价格为 3 元，侧面材料每平方厘米的价格为 1 元，问该容器的底面半径r 与高 h 各为多少时，造这个容器所用的材料费用最省（分数：3.00）_利用函数的单调性证明不等式（分数：12.00）(1).证明： （分数：3.00）_(2).证明：当 x0 时， （分数：3.00）_(3).证明：当 x0 时，xarctanx（分数：3.00）_(4).证明方程 x5+x-1=0 只有一个正根（分数：3.00）_专升本高等数学(二)-一元函数微分学(四)答案解析(总分：98.04，做题
7、时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.函数 y=ln(1+x2)的单调增加区间是_ A.(-5，5) B.(-，0) C.(0，+) D.(-，+)（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 函数的定义域为(-，+)*，令 y=0，得 x=0，当 x0 时，y0，函数 y=ln(1+x2)单调减少，当 x0 时，y0，函数 y=ln(1+x2)单调增加2.函数 y=x-arctax 在(-，+)内_ A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 函数的定义域为(-，+)* 函数 y=x-arctanx 在(
8、-，+)内单调增加3.以下结论正确的是_ A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点 B.若 x0为 f(x)的驻点，则 x0必为 f(x)的极值点 C.若 f(x)在点 x0处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D.若 f(x)在点 x0处连续，则 f(x0)一定存在（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 根据函数极值存在的必要条件，应选 C4.曲线 y=6x-24x2+x4的上凸(下凹)区间是_ A.(-2，2) B.(-，0) C.(0，+) D.(-，+)（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本小题主要考查利用导数求曲线的凹凸区间D
9、(f)=(-，+)y=6-48x+4x 3，y“=-48+12x 2=12(x+2)(x-2)，令 y“=0，得 x=-2，x=2，当-2x2 时，y“0，所以曲线 y=6x-24x2+x4的上凸(下凹)区间是(-2，2)5.函数 y=e-x在其定义区间内是严格单调_ A.增加且凹的 B.增加且凸的 C.减少且凹的 D.减少且凸的（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 函数的定义域为(-，+)y=-e -x0，y“=e -x0，函数 y=e-x在(-，+)内单调减少且凹的二、B填空题/B(总题数：9，分数：18.00)6.函数 y=2x2的单调递增区间为_（分数：2.00）填空项 1:
10、_ （正确答案：(0，+)）解析：函数的定义域为(-，+)y=2x2 x2ln2，当 x0 时，y0，函数 y=2x2的单调递增区间为(0，+)7.设函数 f(x)在 x0处的一阶导数 f(x0)=0，二阶导数 f“(x0)0，则 f(x0)是 f(x)的极 1 值（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：大）解析：根据极值的第二充分条件可知，f(x 0)是 f(x)的极大值8.曲线 y=x3-3x+1 的拐点是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(0，1)）解析：D(f)=(-，+)y=3x 2-3，y“=6x，令 y“=0，得 x=0，当 x0 时，y“0，当 x0 时，y
11、“0，所以曲线 y=x3-3x+1 的拐点是(0，1)9.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=1）填空项 1:_ （正确答案：x=0）解析：函数*的定义域为(-，0)(0，+)，*，则 y=1 为曲线的水平渐近线；*，则 x=0 为曲线的铅直渐近线10.曲线 y=x+ex在点(0，1)处的切线斜率 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：y=1+e x，*11.曲线 y=x3-x 在点(1，0)处的切线方程为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2(x-1)）解析：y=3x 2-1，*，切线方程为 y=2(x-1)12.设函数 f(
12、x)=sin2+x2+2x，则 f(x)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2x+2 xln2）解析：本题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数f(x)=2x+2xln213.设函数 f(x)=(1+x2)arctanx，则 f(0)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：本题主要考查乘积的导数运算法则 f(x)=2xarctanx+1 f(0)=114.设函数 f(x)=1+sin2x，求 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：f(x)=cos2x(2x)=2cos2x，f(0)=2三、B解答题/B(总题数：5，分数：70.
13、00)求下列 （分数：19.04）(1).求 （分数：2.38）_正确答案：(本题主要考查用洛必达法则求*型未定式极限 *)解析：(2).求 （分数：2.38）_正确答案：(*)解析：(3).求 （分数：2.38）_正确答案：(*)解析：(4).求 （分数：2.38）_正确答案：(本题主要考查用洛必达法则求*型未定式极限 *)解析：(5).求 （分数：2.38）_正确答案：(解法 (洛必达法则)* 解法 (无穷小量代换)*)解析：(6).求 （分数：2.38）_正确答案：(*)解析：(7).求 （分数：2.38）_正确答案：(*)解析：(8). （分数：2.38）_正确答案：(连续两次使用洛必
14、达法则求*型未定式极限 *)解析：求下列 （分数：6.00）(1).求 （分数：3.00）_正确答案：(使用洛必达法则求*型未定式极限 *)解析：(2).求 （分数：3.00）_正确答案：(先进行变量代换，令*时，t0有 *)解析：求下列 0型未定式极限（分数：6.00）(1).求 （分数：3.00）_正确答案：(本题为 0型未定式极限应先进行分式的恒等变形，化为*型未定式后，使用洛必达法则求出极限，即 *)解析：(2). （分数：3.00）_正确答案：(本题为 0型未定式极限应先进行分式的恒等变形，化为*型未定式后，使用洛必达法则求出极限，即 *)解析：求下列-型未定式极限（分数：27.00
15、）(1).求 （分数：3.00）_正确答案：(本题为-型未定式极限应先通分，化为*型未定式后，连续两次使用洛必达法则求出极限，即*在解题过程中，分母使用了等价无穷小量代换定理，当 x0 时，e x-1x)解析：(2). （分数：3.00）_正确答案：(本题为-型未定式极限应先通分，化为罟型未定式后，连续两次使用洛必达法则求出极限 *)解析：(3).求函数 （分数：3.00）_正确答案：(D(f)=(0，+)，*，当 0x1 时，lnx0，得* 当 x=1 时，lnx=0，得 y=20； 当x1 时，由于 xInx，得* 综上所述，当 x0 时，恒有 y0所以函数*的单调增加区间为(0，+)解析
16、：(4).求函数 y=x-ln(x+1)的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间（分数：3.00）_正确答案：(D(f)=(-1，+)*，令 y=0，得驻点 x=0， 当-1x0 时，y0，当 x0 时，y0. *，恒有 y“0， 函数 y=x-ln(x+1)的单调减少区间为(-1，0)，单调增加区间为(0，+)，极小值为f(0)=0，其曲线的凹区间为(-1，+)解析：(5).求函数 （分数：3.00）_正确答案：(D(f)=(0，+)*，令 f(x)=0，得驻点 x=e *，令 f“(x)=0，得* 以下列表讲行讨论： * 函数*的单调增加区间为(0，e)，单调减少区间为(e，+)，极大值为* 其
17、曲线*的凸区间为(0，*)，凹区间为(*，+)，拐点为*)解析：(6).求函数 y=xe-x在区间0，2上的最大值与最小值（分数：3.00）_正确答案：(y=(1-x)e -x令 y=0，得驻点 x=1，y(0)=0，y(1)=*，y(2)=*，所以函数 y=xe-x在区间0，2上的最大值 y(1)=*，最小值 y(0)=0)解析：(7).求函数 （分数：3.00）_正确答案：(D(f)=(-，0)(0，+) * 令 f(x)=0，得驻点 x=-2，令 f“(x)=0，得 x=-3 以下列表讨论 * *为水平渐近线， *为铅垂渐近线. 所以函数 f(x)的单调增加区间为(-2，0)，单调减少区
18、间为(-，-2)(0，+)，极小值为* 其曲线*的凸区间为(-，-3)，凹区间为(-3，0)(0，+)，拐点为(-3，*) 且 y=-1 为水平渐近线，x=0 为铅垂渐近线)解析：(8).将边长为 a 的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图)，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱盒子，当图中的 x 取何值时，该盒子的容积最大? （分数：3.00）_正确答案：(由于正三棱柱盒子的高为* 正三棱柱盒子的底面积为* 所以正三棱柱盒子的容积为* * 令 V(x)=0，得驻点*(舍去)， 由于* 所以*为极大值点，由于实际问题存在最大值，所以*亦为最大值点，即*时容积最大，最大容积为*)解析：(
19、9).要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器其侧面与上底用同一种材料，下底面用另一种材料已知下底面材料每平方厘米的价格为 3 元，侧面材料每平方厘米的价格为 1 元，问该容器的底面半径r 与高 h 各为多少时，造这个容器所用的材料费用最省（分数：3.00）_正确答案：(设 S 为材料费用函数，则 S=2rh+r 2+3r 2,且满足条件 r 2h=32，所以*，令 S(r)=0，得驻点 r=2，因 S“(2)=240，且驻点惟一，所以 r=2 为 S(r)的最小值点，此时*，所以 r=2 厘米，h=8 厘米时，材料费用最省)解析：利用函数的单调性证明不等式（分数：12.00）(1).证明：
20、 （分数：3.00）_正确答案：(证明：设* 则* 当 x0 时，f(x)0，f(x)为单调增加，f(x)f(0) 即* 亦即*)解析：(2).证明：当 x0 时， （分数：3.00）_正确答案：(证明：令*，f(0)=0. 当 x0 时，*，函数 f(x)为单调减少函数， f(x)f(0)，所以*，即当 x0 时，*)解析：(3).证明：当 x0 时，xarctanx（分数：3.00）_正确答案：(证明：令 f(x)=x-arctanx，f(0)=0，当 x0 时，* 函数 f(x)为单调增加函数，f(x)f(0)，所以 f(x)=x-arctanx0，即当 x0 时，xarctanx)解析：(4).证明方程 x5+x-1=0 只有一个正根（分数：3.00）_正确答案：(证明：f(x)=x 5+x-1，f(x)在(-，+)上连续可导，f(x)=5x 4+10，所以 f(x)在(-，+)上严格单调增加，f(x)=0 在(-，+)上至多有一个实根又 f(0)=-10，f(1)=10，由零点定理可知，f(x)=0 在(0，1)内至少有一个实根综上所述原方程只有一个正根)解析：
