1、专升本高等数学(二)-一元函数微分学(二)及答案解析(总分：99.97，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：4，分数：8.00)1.椭圆 x2+2y2=27 上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为_A-1 B C （分数：2.00）A.B.C.D.2.设 y=x-3+3，则 y等于_ A.-3x-4 B.-3x-2 C.3x-4 D.-3x-4+3（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)=cos2x，则 f(0)等于_ A.-2 B.-1 C.0 D.2（分数：2.00）A.B.C.D.4.设函数 ，则 f“(x)等于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.
2、二、B填空题/B(总题数：9，分数：18.00)5.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_6.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_8.设函数 y=ecosx，则 y“= 1。（分数：2.00）填空项 1:_9.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_10.设函数 f(x)=x3lnx，则 f“(1)=_。（分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 y(n-2)=ax+xa+aa(a0，a1)，则 y(n)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 y=e2x，则 y“(0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 f(x
3、)=cos2(-x)，则 dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：7，分数：74.00)求下列函数的高阶导数。（分数：8.00）(1).设函数 y=xlnx，求 y“。（分数：2.00）_(2).设函数 （分数：2.00）_(3).设函数 y=(1+x2)arctanx，求 y“。（分数：2.00）_(4).设函数 （分数：2.00）_求微分。（分数：10.00）(1).设函数 y=x4sinx，求 dy。（分数：2.00）_(2).设函数 y=ln(1-x2)，求 dy。（分数：2.00）_(3).设函数 y=e-xcosx，求 dy。（分数：2.00）_(4)
4、.设函数 （分数：2.00）_(5).已知曲线 y=x3+ax2+bx 在其上一点(1，-2)处的切线平行于直线 5x+y-3=0，求曲线方程。（分数：2.00）_求下列 （分数：16.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_(3).求 （分数：2.00）_(4).求 （分数：2.00）_(5).求 （分数：2.00）_(6).求 （分数：2.00）_(7).求 （分数：2.00）_(8).。 （分数：2.00）_求下列 （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_求下列 0型未定式极限。（分数：4.00）(1).求 （分数：
5、2.00）_(2).。 （分数：2.00）_求下列-型未定式极限（分数：20.97）(1).求 （分数：2.33）_(2).求 （分数：2.33）_(3).求函数 （分数：2.33）_(4).求函数 y=x-ln(x+1)的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间。（分数：2.33）_(5).求函数 （分数：2.33）_(6).求函数 y=xe-x在区间0，2上的最大值与最小值。（分数：2.33）_(7).求函数 （分数：2.33）_(8).将边长为 a 的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图)，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱盒子，当图中的 x 取何值时，该盒子的容积最大? （分数：2.
6、33）_(9).要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器。其侧面与上底用同一种材料，下底面用另一种材料。已知下底面材料每平方厘米的价格为 3 元，侧面材料每平方厘米的价格为 1 元，问该容器的底面半径 r 与高 h 各为多少时，造这个容器所用的材料费用最省。（分数：2.33）_利用函数的单调性证明不等式。（分数：11.00）(1).证明： （分数：2.75）_(2).证明：当 x0 时， （分数：2.75）_(3).证明：当 x0 时，xartanx。（分数：2.75）_(4).证明方程经 x5+x-1=0 只有一个正根。（分数：2.75）_专升本高等数学(二)-一元函数微分学(二)答案解析
7、(总分：99.97，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：4，分数：8.00)1.椭圆 x2+2y2=27 上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为_A-1 B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 方程两边对 f(x)求导数，可得 2x+4yy=0，即*。由于切点处的横坐标与纵坐标相等，即 x=y。因此所求的切线斜率为*。2.设 y=x-3+3，则 y等于_ A.-3x-4 B.-3x-2 C.3x-4 D.-3x-4+3（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 y=-3x -43.设 f(x)=cos2x，则 f(0)等于_ A.-2 B.-1 C.0 D.2（
8、分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x)=-2sin2x，f(0)=-2sin0=0。4.设函数 ，则 f“(x)等于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 *。二、B填空题/B(总题数：9，分数：18.00)5.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 作变量代换，令*，则*，即*，所以*。6.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2xcosx 2）解析：解析 令*，x=t 2，则 f(t)=sint2，即 f(x)=sinx2，所以 f(x)=cosx2(x2)=2xcosx2。7.设函数 （分数：2.0
9、0）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 f(x)=ln(2-x)-ln(2+x)，*，*。8.设函数 y=ecosx，则 y“= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e cosxsin2x+ecosx(-cosx)=ecosx(sin2x-cosx)）解析：解析 y=e cosx(sinx)，y“=e cosxsin2x+ecosx(-cosx)=ecosx(sin2x-cosx)。9.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *。10.设函数 f(x)=x3lnx，则 f“(1)=_。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解
10、析 *， *，f“(1)=5。11.设函数 y(n-2)=ax+xa+aa(a0，a1)，则 y(n)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a xln2a+a(a-1)xa-2）解析：解析 y n-1=axlna+axa-1，y (n)=axln2a+a(a-1)xa-2。12.设函数 y=e2x，则 y“(0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析 y=e 2x(2x)=2e2x，y“=2e 2x(2x)=4e2x，y“(0)=4。13.设函数 f(x)=cos2(-x)，则 dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-sin2x
11、dx）解析：解析 y=2cos(-x)cos(-x)=2cos(-x)-sin(-x)(-x)=-sin2x，dy=-sin2xdx。三、B解答题/B(总题数：7，分数：74.00)求下列函数的高阶导数。（分数：8.00）(1).设函数 y=xlnx，求 y“。（分数：2.00）_正确答案：(*。)解析：(2).设函数 （分数：2.00）_正确答案：(*， *。)解析：(3).设函数 y=(1+x2)arctanx，求 y“。（分数：2.00）_正确答案：(*， *。)解析：(4).设函数 （分数：2.00）_正确答案：(*， *。)解析：求微分。（分数：10.00）(1).设函数 y=x4s
12、inx，求 dy。（分数：2.00）_正确答案：(y=4x 3sinx+x4cosx，dy=ydx=(4x 3sinx+x4cosx)dx。)解析：(2).设函数 y=ln(1-x2)，求 dy。（分数：2.00）_正确答案：(* *。)解析：(3).设函数 y=e-xcosx，求 dy。（分数：2.00）_正确答案：(y=e -x(-x)cosx+e-x(-sinx)=-e-x(sinx+cosx)dy=ydx=-e-x(sinx+cosx)dx。)解析：(4).设函数 （分数：2.00）_正确答案：(*，dy=ydx=cscx+exlnx(lnx+1)dx。)解析：(5).已知曲线 y=x
13、3+ax2+bx 在其上一点(1，-2)处的切线平行于直线 5x+y-3=0，求曲线方程。（分数：2.00）_正确答案：(把点(1，-2)代入曲线方程，得 a+b=-3，已知直线 5x+y-3=0 的斜率为-5，y=3x 2+2ax+b，则有 y(1)=3+2a+b=-5，即 2a+b=-8。解方程组*，得*所以，所求曲线方程为 y=x3-5x2+2x。)解析：求下列 （分数：16.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：(本题主要考查用洛必达法则求*型未定式极限。 *)解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(3).求 （分数：2.00）_正确答案：(*。)解析：
14、(4).求 （分数：2.00）_正确答案：(本题主要考查用洛必达法则求*型未定式极限。 *)解析：(5).求 （分数：2.00）_正确答案：(解法(洛必达法则)*。 解法(无穷小量代换)*。)解析：(6).求 （分数：2.00）_正确答案：(*。)解析：(7).求 （分数：2.00）_正确答案：(*。)解析：(8).。 （分数：2.00）_正确答案：(连续两次使用洛必达法求*型未定式极限。 *)解析：求下列 （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：(使用洛必达法则求*型未定式极限。 *)解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(选择进行变量代换，令*，当*时，t0。
15、有 *)解析：求下列 0型未定式极限。（分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：(本为 0型未定式极限，应先进行分式的恒等变形，化为*型未定式后，使用洛必达法则求出极限，即 *)解析：(2).。 （分数：2.00）_正确答案：(本题为 0型未定式极限，应先进行分式的恒等变形，化为*型未定式后，使用洛必达法则求出极限，即 *)解析：求下列-型未定式极限（分数：20.97）(1).求 （分数：2.33）_正确答案：(本题为-型未定式极限，就先通分，化为*型未定式后，连续两次使用洛必达法则求出极限，即*在解题过程中，分母使用了等价无穷小量代换定理，当 x0 时，e x-1x。)解析
16、：(2).求 （分数：2.33）_正确答案：(本题为-型未定式极限，应先通分，化为*型未定式后，连续两次使用洛必达法则求出极限。 *)解析：(3).求函数 （分数：2.33）_正确答案：(D(f)=(0，+)，*，当 0x1 时，lnx0，得*； 当 x=1 时，lnx=0，得 y=20； 当 x1 时，由于 xlnx，得*。 综上所述，当 x0 时，恒有 y0，所以函数*的单调增加区间为(0，+)。)解析：(4).求函数 y=x-ln(x+1)的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间。（分数：2.33）_正确答案：(D(f)=(-1，+)，*，令 y=0，得驻点 x=0， 当-1x0 时，y0，当
17、 x0 时，y0，*，恒有 y“0， 函数 y=x-ln(x+1)的单调减少区间为(-1，0)，单调增加区间为(0，+)，极小值为 f(0)=0，其曲线的凹区间为(-1，+)。)解析：(5).求函数 （分数：2.33）_正确答案：(D(f)=(0，+)，*，令 f(x)=0，得驻点 x=e。 *，令 f“(x)=0，得*。 以下列表进行讨论： * 函数*的单调增加区间为(0，e)，单调减少区间为(e，+)，极大值为*。 其曲线*的凸区间为*，凹区间为*，拐点为*。)解析：(6).求函数 y=xe-x在区间0，2上的最大值与最小值。（分数：2.33）_正确答案：(y=(1-x)e -x，令 y=
18、0，得驻点 x=1，y(0)=0，*，所以函数 y=xe-x在区间0，2上的最大值*，最小值 y(0)=0。)解析：(7).求函数 （分数：2.33）_正确答案：(D(f)=(-，0)(0，+)。 * 令 f(x)=0，得驻点 x=-2，令 f“(x)=0，得 x=-3。 以下列表讨论 * *，y=-1 为水平渐近线， *，x=0 为垂直渐近线。 所以函数 f(x)的单调增加区间为(-2，0)，单调减少区间为(-，-2)(0，+)，极小值为*。 其曲线*的凸区间为(-，-3)，凹区间为(-3，0)(0，+)，拐点为(-3，*)。 且 y=-1 为水平渐近线，x=0 为垂直渐近线。)解析：(8)
19、.将边长为 a 的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图)，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱盒子，当图中的 x 取何值时，该盒子的容积最大? （分数：2.33）_正确答案：(由于正三棱柱盒子的高为*， 正三棱柱盒子的底面积为*， 所以正三棱柱盒子的容积为*， *。 令 V(x)=0，得驻点*(舍去)， 由于*， 所以*为极大值点，由于实际问题存在最大值，所以*亦为最大值点，即*时容积最大，最大容积为*。)解析：(9).要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器。其侧面与上底用同一种材料，下底面用另一种材料。已知下底面材料每平方厘米的价格为 3 元，侧面材料每平方厘米的价格为 1 元，
20、问该容器的底面半径 r 与高 h 各为多少时，造这个容器所用的材料费用最省。（分数：2.33）_正确答案：(设 S 为材料费用函数，则 S=2rh+r 2+3r 2，且满足条件 r 2h=32，所以*，*，令 S(r)=0，得驻点 r=2，因 S“(2)=240，且驻点惟一，所以 r=2 为 S(r)的最小值点，此时*，所以 r=2 厘米，h=8 厘米时，材料费用最省。)解析：利用函数的单调性证明不等式。（分数：11.00）(1).证明： （分数：2.75）_正确答案：(证明：设*， 则*。 当 x0 时，f(x)0，f(x)为单调增加，f(x)f(0)。 即*， 亦即*。)解析：(2).证明
21、：当 x0 时， （分数：2.75）_正确答案：(证明：令*。 当 x0 时，*，函数 f(x)为单调减少函数， f(x)f(0)，所以*，即当x0 时，*。)解析：(3).证明：当 x0 时，xartanx。（分数：2.75）_正确答案：(证明：令 f(x)=x-artanx，f(0)=0，当 x0 时，*， 函数 f(x)为单调增加函数，f(x)f(0)，所以 f(x)=x-arctanx0，即当 x0 时，xarctanx。)解析：(4).证明方程经 x5+x-1=0 只有一个正根。（分数：2.75）_正确答案：(证明：f(x)=x 5+x-1，f(x)在(-，+)上连续可导，f(x)=5x 4+10，所以 f(x)在(-，+)上严格单调增加，f(x)=0 在(-，+)上至多有一个实根。又 f(x)=-10，f(1)=10，由零点定理可知，f(x)=0 在(0，1)内至少有一个实根。综上述原方程只有一个正根。)解析：
